15. 如图所示，有三个论断：① $∠ 1=∠ 2$；② $∠ B=∠ D$；③ $∠ A=∠ C$，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.

选取条件①②，结论③，该命题为真命题。

选取条件①∠1=∠2、②∠B=∠D，结论为③∠A=∠C，证明如下：
∵∠1=∠2（已知），∠1=∠DMN（对顶角相等），
∴∠2=∠DMN（等量代换），
∴DE//BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠B=∠AED（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B=∠D（已知），
∴∠AED=∠D（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等），结论成立。

四、拓展题
16. 生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究：
| 项目主题 | 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” |
| --- | --- |
| 项目任务 | 项目A：测量锥形容器内部底面内径；项目B：测量斜坡的倾斜角度 |
| 所需材料 | 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等；正方形板、指针、重锤、3D打印机等 |
| 测量方案示意图 | |
| 实施步骤 | 1. 用螺丝钉将两根小棒AD、BC在它们的中点O处固定；
2. 再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端；
3. 用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离；
1. 利用正方形板、指针、重锤等材料，借助3D打印技术，制作“3D迷你测坡仪”；
2. 将“3D迷你测坡仪”置于斜坡OB上，待重锤与指针稳定；
3. 读出指针MC所对的∠CMD的度数 |
| 测量数据 | $CD=9\ \mathrm{cm}$；$∠ CMD=17°$ |
| 项目结论 | 锥形容器内部底面内径$AB=9\ \mathrm{cm}$；斜坡OB的倾斜角度为$17°$ |
（1）项目A中，利用图形对称性质：$\underline{\hspace{8cm}}$.就可以得到$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$.
（2）项目B中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质.如图是简化的测量方案示意图，其中，$MC// OA$，$MD// OB$，请你证明：$∠ CMD=∠ O$.

【解析】（1）在项目A中，O是AD、BC的中点，故OA=OD，OB=OC，且∠AOB与∠DOC是对顶角，相等，根据SAS可证△AOB≌△DOC，因此AB=CD，利用的是全等三角形对应边相等的性质。
（2）证明：延长CM交OB于点N，
∵ MC//OA，
∴ ∠CMD=∠CNB（两直线平行，同位角相等），
又∵ MD//OB，
∴ ∠CNB=∠O（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠CMD=∠O（等量代换）。
【答案】（1）全等三角形对应边相等；（2）证明如上，得∠CMD=∠O。