例2: 如图, AD, CE 都是 $△ ABC$ 的高, $∠ BAC=70°, ∠ ACB=50°$, 求 $∠ AFC$ 的度数.
分析: $∠ AFC$ 既是 $△ AFC$ 的一个内角, 也是 $△ FDC$ 或 $△ AEF$ 的一个外角, 两种方法均可求出 $∠ AFC$ 的度数.
解: 方法一: 因为 AD, CE 都是 $△ ABC$ 的高, 所以 $∠ ADC=∠ AEC=90°$, 因为 $∠ BAC=70°, ∠ ACB=50°$, 在 $△ ADC$ 中, $∠ DAC=180°-90°-50°=40°$, 在 $△ AEC$ 中, $∠ ACE=180°-70°-90°=20°$, 在 $△ AFC$ 中, $∠ AFC=180°-20°-40°=120°$.
方法二: 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=70°$, $∠ ACB=50°$, 所以 $∠ B=180°-70°-50°=60°$, 因为 AD, CE 是 $△ ABC$ 的高, 所以 $∠ BEC=∠ ADC=90°$, 所以 $∠ BCE=180°-90°-60°=30°$, 所以 $∠ AFC=∠ ADC+∠ BCE=90°+30°=120°$.
例3: 如图, P 是 $△ ABC$ 内任意一点, $∠ BPC$ 一定比 $∠ A$ 大吗? 为什么?

分析: 思路一: $∠ BPC$ 是 $△ BPC$ 的一个内角, $∠ A$ 是 $△ ABC$ 的一个内角, 要比较 $∠ BPC$ 与 $∠ A$ 的大小, 可以先比较两个三角形中另外两个内角之和的大小, 由于点 P 是 $△ ABC$ 内部一点, 则有 $∠ PBC＜∠ ABC, ∠ PCB＜∠ ACB$, 所以 $∠ PBC+∠ PCB＜∠ ABC+∠ ACB$, 于是可得 $∠ BPC＞∠ A$.
思路二: 运用三角形外角的知识, 将 $∠ BPC$ 看成是某个三角形的一个外角, 利用外角的性质也能判断大小关系, 由于在图中不能直接看出 $∠ BPC$ 是哪个三角形的外角, 于是可以通过添辅助线构建三角形, 延长 BP 交 AC 于点 Q, 则 $∠ BPC$ 是 $△ PQC$ 的一个外角, 而 $∠ PQC$ 又是 $△ ABQ$ 的一个外角, 于是 $∠ BPC＞∠ PQC, ∠ PQC＞∠ A$, 所以 $∠ BPC＞∠ A$.
解: 方法一: 如图, 因为点 P 是 $△ ABC$ 内任意一点, 所以 $∠ PBC＜∠ ABC$, $∠ PCB＜∠ ACB$, 所以 $∠ PBC+∠ PCB＜∠ ABC+∠ ACB$, 因为 $∠ PBC+∠ PCB+∠ BPC=180°, ∠ ABC+∠ ACB+∠ A=180°$, 所以 $∠ BPC＞∠ A$.
方法二: 如图, 延长 BP 交 AC 于点 Q, 则 $∠ BPC$ 是 $△ PQC$ 的一个外角, 所以 $∠ BPC＞∠ PQC$, 因为 $∠ PQC$ 是 $△ ABQ$ 的一个外角, 所以 $∠ PQC＞∠ A$, 所以 $∠ BPC＞∠ A$.

解：
例2
方法一：
因为AD，CE都是△ABC的高，
所以∠ADC = ∠AEC = 90°。
因为∠BAC = 70°，∠ACB = 50°，
在△ADC中，∠DAC = 180° - 90° - 50° = 40°，
在△AEC中，∠ACE = 180° - 70° - 90° = 20°，
在△AFC中，∠AFC = 180° - 20° - 40° = 120°。
方法二：
在△ABC中，∠BAC = 70°，∠ACB = 50°，
所以∠B = 180° - 70° - 50° = 60°，
因为AD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC = ∠ADC = 90°，
所以∠BCE = 180° - 90° - 60° = 30°，
由三角形外角性质得∠AFC = ∠ADC + ∠BCE = 90° + 30° = 120°。
例3
∠BPC一定比∠A大，理由如下：
方法一：
因为点P是△ABC内任意一点，
所以∠PBC ＜ ∠ABC，∠PCB ＜ ∠ACB，
所以∠PBC + ∠PCB ＜ ∠ABC + ∠ACB。
因为∠PBC + ∠PCB + ∠BPC = 180°，∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°，
所以∠BPC ＞ ∠A。
方法二：
延长BP交AC于点Q，
则∠BPC是△PQC的一个外角，
所以∠BPC ＞ ∠PQC，
因为∠PQC是△ABQ的一个外角，
所以∠PQC ＞ ∠A，
所以∠BPC ＞ ∠A。