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1 填一填。
(1)20的因数和倍数各有哪些？找一找，填一填。
我的方法：
20的因数有
(
其中最小的因数
是(
的因数是(
我的方法：
20的倍数有(
(
数是(
“有”或“没有”)最大的
倍数。
(1)20的因数和倍数各有哪些？找一找，填一填。
我的方法：
20的因数有
(
1,2,4,5,10,20
)。其中最小的因数
是(
1
),最大的因数是(
20
)。我的方法：
20的倍数有(
20
),(40
),(
60
),…。其中最小的倍数是(
20
),(没有
)(填“有”或“没有”)最大的
倍数。
答案
(1)$20÷1=20$ $20÷2=10$ $20÷4=5$
1,2,4,5,10,20 1 20
$20×1=20$ $20×2=40$ $20×3=60$ ……
20 40 60 20 没有
(画线部分答案不唯一)
解析 找一个数的因数时,可用乘法或除法算式。
●乘法:两个整数相乘等于20,这两个整数就是20的因数。
●除法:固定被除数20,改变除数,看商是不是整数,若是,则商和除数都是被除数的因数。
$1×20=20$ $20÷1=20$ $20×1=20$
$2×10=20$
$20÷2=10$ $20×2=40$$4×5=20$ $20÷4=5$ $20×3=60$
20的因数 20的因数 …… 20的倍数
找一个数的倍数时,用乘法算式,将这个数依次乘1,2,3,…。因为乘的整数可以无限大,所以没有最大的倍数。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分别理清找一个数的因数和倍数的思路：
1. 找20的因数：可以采用除法法，固定被除数为20，从1开始依次尝试除数，若商是整数且无余数，那么除数和商都是20的因数；也可以用乘法法，找出所有乘积为20的整数组合，这些整数就是20的因数。之后从找到的因数中确定最小和最大的因数。
2. 找20的倍数：采用乘法法，将20依次乘1、2、3……得到的结果就是20的倍数，由于整数的个数是无限的，所以20没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
【解析】
找20的因数：
方法一（除法法）：
$20÷1=20$，可知1和20是20的因数；
$20÷2=10$，可知2和10是20的因数；
$20÷4=5$，可知4和5是20的因数；
整理可得20的因数为1,2,4,5,10,20，其中最小的因数是1，最大的因数是20。
方法二（乘法法）：
$1×20=20$，$2×10=20$，$4×5=20$，这些相乘的整数都是20的因数。
找20的倍数：
通过乘法计算：
$20×1=20$，$20×2=40$，$20×3=60$……
因此20的倍数有20,40,60,…，其中最小的倍数是20，没有最大的倍数。
【答案】
(1)$20÷1=20$ $20÷2=10$ $20÷4=5$
1,2,4,5,10,20 1 20
$20×1=20$ $20×2=40$ $20×3=60$ ……
20 40 60 20 没有
(画线部分答案不唯一)
【知识点】
因数的认识及找法
倍数的认识及找法
【点评】
本题是因数和倍数的基础题型，核心在于掌握因数和倍数的正确找法，理解一个数的因数是有限的，最小因数为1、最大因数是它本身；一个数的倍数是无限的，最小倍数是它本身且没有最大倍数，这是因数和倍数的关键特征。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们需要分别理清找一个数的因数和倍数的思路：
1. 找20的因数：可以采用除法法，固定被除数为20，从1开始依次尝试除数，若商是整数且无余数，那么除数和商都是20的因数；也可以用乘法法，找出所有乘积为20的整数组合，这些整数就是20的因数。之后从找到的因数中确定最小和最大的因数。
2. 找20的倍数：采用乘法法，将20依次乘1、2、3……得到的结果就是20的倍数，由于整数的个数是无限的，所以20没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
【解析】
找20的因数：
方法一（除法法）：
$20÷1=20$，可知1和20是20的因数；
$20÷2=10$，可知2和10是20的因数；
$20÷4=5$，可知4和5是20的因数；
整理可得20的因数为1,2,4,5,10,20，其中最小的因数是1，最大的因数是20。
方法二（乘法法）：
$1×20=20$，$2×10=20$，$4×5=20$，这些相乘的整数都是20的因数。
找20的倍数：
通过乘法计算：
$20×1=20$，$20×2=40$，$20×3=60$……
因此20的倍数有20,40,60,…，其中最小的倍数是20，没有最大的倍数。
【答案】
(1)$20÷1=20$ $20÷2=10$ $20÷4=5$
1,2,4,5,10,20 1 20
$20×1=20$ $20×2=40$ $20×3=60$ ……
20 40 60 20 没有
(画线部分答案不唯一)
【知识点】
因数的认识及找法
倍数的认识及找法
【点评】
本题是因数和倍数的基础题型，核心在于掌握因数和倍数的正确找法，理解一个数的因数是有限的，最小因数为1、最大因数是它本身；一个数的倍数是无限的，最小倍数是它本身且没有最大倍数，这是因数和倍数的关键特征。
【难度系数】
0.9
(2)分一分，填一填：1,2,3,4,6,9,12,13,18,24,26,36,39,52。
①既是12的因数，又是36的因数的有(
②既是3的倍数，又是13的倍数的是(
①既是12的因数，又是36的因数的有(
1,2,3,4,6,12
)。②既是3的倍数，又是13的倍数的是(
39
)。答案
(2)
①1,2,3,4,6,12 ②39
解析 ●找一个数的因数时,可用乘法或除法算式。
如$\begin{cases} 12=1×12=2×6=3×4 \\12÷1=12\ \ 12÷2=6\ \ 12÷3=4 \end{cases}$ 框出部分为12的因数
●找一个数的倍数时,用乘法算式,将这个数依次乘1,2,3,…。如13的倍数有13,26,39,52,…。
发现:当A是B的因数时,A的因数都是B的因数。
解析
【分析】
首先要明确因数和倍数的定义：因数是能整除一个数的数，倍数是一个数乘正整数得到的数。解题时，先分别找出12的因数、36的因数、3的倍数、13的倍数；对于①，找两个数因数的交集，即公因数；对于②，找两个数倍数的交集，即公倍数，从给定的数中筛选即可。
【解析】
1. 找12的因数：
通过乘法算式$12=1×12=2×6=3×4$，或除法算式$12÷1=12$、$12÷2=6$、$12÷3=4$，可得12的因数为：1,2,3,4,6,12。
2. 找36的因数：
通过乘法算式$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，可得36的因数为：1,2,3,4,6,9,12,18,36。
3. 找3的倍数：
用3依次乘1、2、3……，在给定数中筛选，得到3的倍数为：3,6,9,12,18,24,36,39。
4. 找13的倍数：
用13依次乘1、2、3……，在给定数中筛选，得到13的倍数为：13,26,39,52。
① 既是12的因数又是36的因数的数，是两个因数集合的公共部分，即1,2,3,4,6,12。
② 既是3的倍数又是13的倍数的数，是两个倍数集合的公共部分，即39。
【答案】
(2)
①1,2,3,4,6,12 ②39
【知识点】
因数与倍数的找法、公因数、公倍数
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念及应用，通过找因数、倍数，再筛选公因数和公倍数，巩固了整数整除的相关知识，需要学生熟练掌握因数、倍数的定义及找法，提升对整数关系的理解能力。
【难度系数】
0.7
首先要明确因数和倍数的定义：因数是能整除一个数的数，倍数是一个数乘正整数得到的数。解题时，先分别找出12的因数、36的因数、3的倍数、13的倍数；对于①，找两个数因数的交集，即公因数；对于②，找两个数倍数的交集，即公倍数，从给定的数中筛选即可。
【解析】
1. 找12的因数：
通过乘法算式$12=1×12=2×6=3×4$，或除法算式$12÷1=12$、$12÷2=6$、$12÷3=4$，可得12的因数为：1,2,3,4,6,12。
2. 找36的因数：
通过乘法算式$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，可得36的因数为：1,2,3,4,6,9,12,18,36。
3. 找3的倍数：
用3依次乘1、2、3……，在给定数中筛选，得到3的倍数为：3,6,9,12,18,24,36,39。
4. 找13的倍数：
用13依次乘1、2、3……，在给定数中筛选，得到13的倍数为：13,26,39,52。
① 既是12的因数又是36的因数的数，是两个因数集合的公共部分，即1,2,3,4,6,12。
② 既是3的倍数又是13的倍数的数，是两个倍数集合的公共部分，即39。
【答案】
(2)
①1,2,3,4,6,12 ②39
【知识点】
因数与倍数的找法、公因数、公倍数
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念及应用，通过找因数、倍数，再筛选公因数和公倍数，巩固了整数整除的相关知识，需要学生熟练掌握因数、倍数的定义及找法，提升对整数关系的理解能力。
【难度系数】
0.7
(3)一个数只有4个因数，从小到大依次是$a$,$2$,$7$,$b$。50以内这个数的倍数有(
14,28,42
)。答案
(3)14,28,42
解析 根据一个数的因数从小到大依次是a,2,7,b,可知a是1,b是这个数本身,$a× b=2×7=14$,这个数是14。50以内14的倍数有$14×1=14$,$14×2=28$,$14×3=42$。
解析 根据一个数的因数从小到大依次是a,2,7,b,可知a是1,b是这个数本身,$a× b=2×7=14$,这个数是14。50以内14的倍数有$14×1=14$,$14×2=28$,$14×3=42$。
解析
【分析】
首先回忆因数的基本性质：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，且因数成对存在，最小因数与最大因数的乘积等于其他成对因数的乘积。
第一步，确定最小因数a：所有数的最小因数都是1，因此a=1；
第二步，计算这个数本身：根据因数成对的性质，最小因数1和最大因数b（即这个数本身）的乘积等于2和7的乘积，由此算出这个数是14；
第三步，找出50以内14的倍数：用14依次乘1、2、3……，直到乘积超过50为止，筛选出符合条件的数。
【解析】
1. 确定最小因数：因为一个数最小的因数是1，所以$a=1$；
2. 计算这个数：根据因数成对存在的性质，$a×b = 2×7$，代入$a=1$，可得$1×b=14$，即这个数是14；
3. 找出50以内14的倍数：
$14×1=14$，$14×2=28$，$14×3=42$，$14×4=56$（56＞50，舍去）。
因此50以内14的倍数是14、28、42。
【答案】
14,28,42
【知识点】
因数的性质、倍数的求法
【点评】
本题核心考查因数和倍数的基础概念，解题关键是利用因数成对存在的特点求出原数，再依据倍数的定义找出符合范围的数，需要熟练掌握因数与倍数的核心规律。
【难度系数】
0.6
首先回忆因数的基本性质：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，且因数成对存在，最小因数与最大因数的乘积等于其他成对因数的乘积。
第一步，确定最小因数a：所有数的最小因数都是1，因此a=1；
第二步，计算这个数本身：根据因数成对的性质，最小因数1和最大因数b（即这个数本身）的乘积等于2和7的乘积，由此算出这个数是14；
第三步，找出50以内14的倍数：用14依次乘1、2、3……，直到乘积超过50为止，筛选出符合条件的数。
【解析】
1. 确定最小因数：因为一个数最小的因数是1，所以$a=1$；
2. 计算这个数：根据因数成对存在的性质，$a×b = 2×7$，代入$a=1$，可得$1×b=14$，即这个数是14；
3. 找出50以内14的倍数：
$14×1=14$，$14×2=28$，$14×3=42$，$14×4=56$（56＞50，舍去）。
因此50以内14的倍数是14、28、42。
【答案】
14,28,42
【知识点】
因数的性质、倍数的求法
【点评】
本题核心考查因数和倍数的基础概念，解题关键是利用因数成对存在的特点求出原数，再依据倍数的定义找出符合范围的数，需要熟练掌握因数与倍数的核心规律。
【难度系数】
0.6
2辨一辨，对的画“√”，错的画“×”。($a$是一个非零自然数)
(1)$a$的因数中一定有1。(
(2)$a$的倍数一定大于它的因数。(
(3)$a$至少有2个因数。(
(4)$a$的因数的个数是有限的，倍数有无数个。(
(1)$a$的因数中一定有1。(
√
)(2)$a$的倍数一定大于它的因数。(
×
)(3)$a$至少有2个因数。(
×
)(4)$a$的因数的个数是有限的，倍数有无数个。(
√
)答案
2. (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (1)$a÷1=a$,a和1是a的因数,所以a的因数中一定有1。
(2)一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。
(3)1只有1一个因数。
(4)因为a的最大因数是它本身,所以因数的个数是有限的,a乘一个整数得到它的倍数,可以乘的整数是无限的,所以倍数有无数个。
解析 (1)$a÷1=a$,a和1是a的因数,所以a的因数中一定有1。
(2)一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。
(3)1只有1一个因数。
(4)因为a的最大因数是它本身,所以因数的个数是有限的,a乘一个整数得到它的倍数,可以乘的整数是无限的,所以倍数有无数个。
解析
【分析】
我们需要结合因数和倍数的基本概念，逐个分析每个小题：
1. 对于第(1)题，根据因数的定义，1能整除任何非零自然数a，所以1一定是a的因数，可判断为对；
2. 第(2)题，要牢记一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，存在倍数等于因数的情况，因此该说法错误；
3. 第(3)题，考虑特殊数1，1的因数只有它本身这一个，所以“至少有2个因数”的说法不成立；
4. 第(4)题，一个数的因数最大是它本身，所以因数个数有限；而倍数可以通过a乘任意非零整数得到，整数有无数个，因此倍数有无数个，该说法正确。
【解析】
(1) 因为a是非零自然数，$a÷1=a$，根据因数的定义，1和a都是a的因数，所以a的因数中一定有1，故画“√”。
(2) 一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，存在倍数等于因数的情况，所以“a的倍数一定大于它的因数”说法错误，画“×”。
(3) 当a=1时，1的因数只有1这一个，所以“a至少有2个因数”说法错误，画“×”。
(4) 一个数的因数最大是它本身，所以因数的个数是有限的；a乘任意非零整数都能得到它的倍数，整数有无数个，所以倍数有无数个，说法正确，画“√”。
【答案】
(1)√ (2)× (3)× (4)√
【知识点】
1. 因数的概念及特征
2. 倍数的概念及特征
3. 1的因数特点
【点评】
本题考查因数和倍数的基础知识点，重点考查学生对特殊情况（如a=1）以及“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”这一易错点的掌握情况，帮助学生理清因数和倍数的核心性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
我们需要结合因数和倍数的基本概念，逐个分析每个小题：
1. 对于第(1)题，根据因数的定义，1能整除任何非零自然数a，所以1一定是a的因数，可判断为对；
2. 第(2)题，要牢记一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，存在倍数等于因数的情况，因此该说法错误；
3. 第(3)题，考虑特殊数1，1的因数只有它本身这一个，所以“至少有2个因数”的说法不成立；
4. 第(4)题，一个数的因数最大是它本身，所以因数个数有限；而倍数可以通过a乘任意非零整数得到，整数有无数个，因此倍数有无数个，该说法正确。
【解析】
(1) 因为a是非零自然数，$a÷1=a$，根据因数的定义，1和a都是a的因数，所以a的因数中一定有1，故画“√”。
(2) 一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，存在倍数等于因数的情况，所以“a的倍数一定大于它的因数”说法错误，画“×”。
(3) 当a=1时，1的因数只有1这一个，所以“a至少有2个因数”说法错误，画“×”。
(4) 一个数的因数最大是它本身，所以因数的个数是有限的；a乘任意非零整数都能得到它的倍数，整数有无数个，所以倍数有无数个，说法正确，画“√”。
【答案】
(1)√ (2)× (3)× (4)√
【知识点】
1. 因数的概念及特征
2. 倍数的概念及特征
3. 1的因数特点
【点评】
本题考查因数和倍数的基础知识点，重点考查学生对特殊情况（如a=1）以及“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”这一易错点的掌握情况，帮助学生理清因数和倍数的核心性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
3.96和36都是4的倍数，它们的和、差是4的倍数吗？写一写。
和 $96=4×24$ $36=4×9$
$96+36=$
所以它们的和(
差
和 $96=4×24$ $36=4×9$
$96+36=$
4
×(24
+9
)所以它们的和(
是
)4的倍数。差
$96=4×24$ $36=4×9$
$96 - 36=4×(24 - 9)$
所以它们的差是4的倍数。
$96 - 36=4×(24 - 9)$
所以它们的差是4的倍数。
答案
3. 4 24 9 是
$96=4×24$ $36=4×9$
$96 - 36=4×(24 - 9)$
所以它们的差是4的倍数。
解析 本题用乘法分配律解释了为什么A和B都是C的倍数,它们的和、差也是C的倍数。
例如:$96+36=4×24+4×9=4×(24+9)$,两个因数中有一个是4,所以$(96+36)$是4的倍数。
$96=4×24$ $36=4×9$
$96 - 36=4×(24 - 9)$
所以它们的差是4的倍数。
解析 本题用乘法分配律解释了为什么A和B都是C的倍数,它们的和、差也是C的倍数。
例如:$96+36=4×24+4×9=4×(24+9)$,两个因数中有一个是4,所以$(96+36)$是4的倍数。
解析
【分析】
首先，我们已知96和36都是4的倍数，要判断它们的和、差是否为4的倍数，可先将两个数转化为“4×整数”的形式，再利用乘法分配律对和、差进行变形。若变形后的式子能表示为4与整数的乘积，就说明这个和或差是4的倍数。先处理和的部分，提取公因数4验证；再用相同思路处理差的部分。
【解析】
1. 和的推导：
因为$96=4×24$，$36=4×9$，根据乘法分配律$a×c + b×c=(a+b)×c$，可得：
$96+36=4×24+4×9=4×(24+9)$
由于结果是4与整数的乘积，所以它们的和是4的倍数。
2. 差的推导：
根据乘法分配律$a×c - b×c=(a-b)×c$，可得：
$96-36=4×24-4×9=4×(24-9)$
由于结果是4与整数的乘积，所以它们的差是4的倍数。
【答案】
4；24；9；是
$96=4×24$ $36=4×9$
$96 - 36=4×(24 - 9)$
所以它们的差是4的倍数。
【知识点】
乘法分配律、倍数的性质
【点评】
本题通过具体实例验证了“若两个数都是某数的倍数，则它们的和、差也都是该数的倍数”这一性质，同时借助乘法分配律从原理层面解释了原因，既巩固了运算定律的应用，又加深了对倍数性质的理解。
【难度系数】
0.8
首先，我们已知96和36都是4的倍数，要判断它们的和、差是否为4的倍数，可先将两个数转化为“4×整数”的形式，再利用乘法分配律对和、差进行变形。若变形后的式子能表示为4与整数的乘积，就说明这个和或差是4的倍数。先处理和的部分，提取公因数4验证；再用相同思路处理差的部分。
【解析】
1. 和的推导：
因为$96=4×24$，$36=4×9$，根据乘法分配律$a×c + b×c=(a+b)×c$，可得：
$96+36=4×24+4×9=4×(24+9)$
由于结果是4与整数的乘积，所以它们的和是4的倍数。
2. 差的推导：
根据乘法分配律$a×c - b×c=(a-b)×c$，可得：
$96-36=4×24-4×9=4×(24-9)$
由于结果是4与整数的乘积，所以它们的差是4的倍数。
【答案】
4；24；9；是
$96=4×24$ $36=4×9$
$96 - 36=4×(24 - 9)$
所以它们的差是4的倍数。
【知识点】
乘法分配律、倍数的性质
【点评】
本题通过具体实例验证了“若两个数都是某数的倍数，则它们的和、差也都是该数的倍数”这一性质，同时借助乘法分配律从原理层面解释了原因，既巩固了运算定律的应用，又加深了对倍数性质的理解。
【难度系数】
0.8
4.28名同学在植树节种树，需平均分组。为保证效率，要求每组人数大于1且小于10，一共有多少种分法？种好40多棵树后，6名同学去浇水，每人浇的棵数相同，那么可能种好了多少棵树？
答案
4. 28的因数有1,2,4,7,14,28。
其中大于1且小于10的有2,4,7,一共有3种分法。
6的倍数在40~50的有42,48。
答:一共有3种分法,可能种好了42或48棵树。
解析 注意题中数的范围。
●28名同学种树,需要平均分组,说明每组人数是28的因数。
●6名同学去浇水,每人浇的棵数相同,说明种好的树的棵数是6的倍数。
其中大于1且小于10的有2,4,7,一共有3种分法。
6的倍数在40~50的有42,48。
答:一共有3种分法,可能种好了42或48棵树。
解析 注意题中数的范围。
●28名同学种树,需要平均分组,说明每组人数是28的因数。
●6名同学去浇水,每人浇的棵数相同,说明种好的树的棵数是6的倍数。
解析
【分析】
第一问：要解决28名同学平均分组的问题，关键是明确平均分组时每组人数必须是28的因数，所以先找出28的所有因数，再根据“每组人数大于1且小于10”的条件筛选出符合要求的因数，因数的个数就是分法的种数。
第二问：6名同学浇水且每人浇的棵数相同，说明种好的树的总数是6的倍数，又因为树是40多棵，所以只需找出40到50之间6的倍数即可得到可能的棵数。
【解析】
1. 求分组方法：
先找出28的所有因数：1、2、4、7、14、28。
根据“每组人数大于1且小于10”的条件，筛选出符合要求的因数为2、4、7，共3个，所以一共有3种分法。
2. 求可能的种树棵数：
因为树的总数是6的倍数且在40~50之间，计算6的倍数：
$6×7=42$，$6×8=48$，这两个数都在40~50范围内，所以可能种好了42或48棵树。
【答案】
一共有3种分法，可能种好了42或48棵树。
【知识点】
因数的应用、倍数的应用
【点评】
本题考查因数与倍数在实际问题中的应用，解题关键是结合题目给定的范围条件，准确筛选出符合要求的数，锻炼学生运用数论基础知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
第一问：要解决28名同学平均分组的问题，关键是明确平均分组时每组人数必须是28的因数，所以先找出28的所有因数，再根据“每组人数大于1且小于10”的条件筛选出符合要求的因数，因数的个数就是分法的种数。
第二问：6名同学浇水且每人浇的棵数相同，说明种好的树的总数是6的倍数，又因为树是40多棵，所以只需找出40到50之间6的倍数即可得到可能的棵数。
【解析】
1. 求分组方法：
先找出28的所有因数：1、2、4、7、14、28。
根据“每组人数大于1且小于10”的条件，筛选出符合要求的因数为2、4、7，共3个，所以一共有3种分法。
2. 求可能的种树棵数：
因为树的总数是6的倍数且在40~50之间，计算6的倍数：
$6×7=42$，$6×8=48$，这两个数都在40~50范围内，所以可能种好了42或48棵树。
【答案】
一共有3种分法，可能种好了42或48棵树。
【知识点】
因数的应用、倍数的应用
【点评】
本题考查因数与倍数在实际问题中的应用，解题关键是结合题目给定的范围条件，准确筛选出符合要求的数，锻炼学生运用数论基础知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
5.琳琳用一根绳子首尾相接围长方形。她用两种不同的围法，先后围成了面积为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm^2}}$和$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm^2}}$的长方形(长、宽都是整厘米数)。这根绳子长多少厘米？
可以先用找因数的方
法确定长和宽……
可以先用找因数的方
法确定长和宽……
答案
5. $24=1×24=2×12=3×8=4×6$
$30=1×30=2×15=3×10=5×6$
$3+8=5+6=11$ $11×2=22(\mathrm{cm})$
答:这根绳子长22 cm。
解析 两个长方形的周长相同,面积不同。
长方形长和宽的数值都是其面积数值的因数,需要在24和30的因数对(写成乘法算式)中,找出“长+宽”相等的组合。
一组“长+宽”就是这根绳子长度的一半。
$30=1×30=2×15=3×10=5×6$
$3+8=5+6=11$ $11×2=22(\mathrm{cm})$
答:这根绳子长22 cm。
解析 两个长方形的周长相同,面积不同。
长方形长和宽的数值都是其面积数值的因数,需要在24和30的因数对(写成乘法算式)中,找出“长+宽”相等的组合。
一组“长+宽”就是这根绳子长度的一半。
解析
【分析】
首先明确，同一根绳子首尾相接围成不同的长方形，说明这两个长方形的周长相等，绳子的长度就是长方形的周长。我们需要先根据长方形面积公式（面积=长×宽），找出两个面积对应的所有长和宽的整厘米数组合（即找面积的因数对），再从中找到长与宽的和相等的组合，最后根据长方形周长公式（周长=（长+宽）×2）计算出绳子的长度。
【解析】
1. 找出面积为$24\ \mathrm{cm^2}$的长方形的长和宽的所有整厘米数组合：
$24=1×24=2×12=3×8=4×6$，对应长加宽的和分别为：$1+24=25$，$2+12=14$，$3+8=11$，$4+6=10$。
2. 找出面积为$30\ \mathrm{cm^2}$的长方形的长和宽的所有整厘米数组合：
$30=1×30=2×15=3×10=5×6$，对应长加宽的和分别为：$1+30=31$，$2+15=17$，$3+10=13$，$5+6=11$。
3. 找到长加宽的和相等的组合：$3+8=5+6=11$，根据长方形周长公式计算绳子长度：
$11×2=22(\mathrm{cm})$
答:这根绳子长22 cm。
【答案】
22厘米
【知识点】
长方形周长计算、因数的应用、长方形面积公式
【点评】
本题核心是抓住“同一根绳子围成长方形则周长相等”这一关键条件，结合长方形面积与长、宽的关系确定长和宽的可能组合，再利用周长公式求解，考察了对长方形周长和面积概念的综合运用，以及因数的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
首先明确，同一根绳子首尾相接围成不同的长方形，说明这两个长方形的周长相等，绳子的长度就是长方形的周长。我们需要先根据长方形面积公式（面积=长×宽），找出两个面积对应的所有长和宽的整厘米数组合（即找面积的因数对），再从中找到长与宽的和相等的组合，最后根据长方形周长公式（周长=（长+宽）×2）计算出绳子的长度。
【解析】
1. 找出面积为$24\ \mathrm{cm^2}$的长方形的长和宽的所有整厘米数组合：
$24=1×24=2×12=3×8=4×6$，对应长加宽的和分别为：$1+24=25$，$2+12=14$，$3+8=11$，$4+6=10$。
2. 找出面积为$30\ \mathrm{cm^2}$的长方形的长和宽的所有整厘米数组合：
$30=1×30=2×15=3×10=5×6$，对应长加宽的和分别为：$1+30=31$，$2+15=17$，$3+10=13$，$5+6=11$。
3. 找到长加宽的和相等的组合：$3+8=5+6=11$，根据长方形周长公式计算绳子长度：
$11×2=22(\mathrm{cm})$
答:这根绳子长22 cm。
【答案】
22厘米
【知识点】
长方形周长计算、因数的应用、长方形面积公式
【点评】
本题核心是抓住“同一根绳子围成长方形则周长相等”这一关键条件，结合长方形面积与长、宽的关系确定长和宽的可能组合，再利用周长公式求解，考察了对长方形周长和面积概念的综合运用，以及因数的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
