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5. 求下面各图形的面积。(单位：$\mathrm{cm}$)
答案
248.52 cm² 27 cm²
解析
【分析】
第一个图形是长方形与半圆的组合图形，解题思路是分别计算长方形和半圆的面积，再将两部分面积相加得到组合图形的总面积；第二个图形可通过分割法拆分为两个长方形，分别计算面积后求和，也可用补全法，用大长方形面积减去空缺小长方形的面积来计算。
对于第一个图形：长方形的长为12cm，宽为16cm，半圆的直径等于长方形的长12cm，因此可先求出半圆半径，再结合长方形和圆的面积公式计算；
对于第二个图形：分割法可将图形分为长7cm、宽3cm的长方形和长3cm、宽2cm的长方形；补全法可先算出长7cm、宽5cm的大长方形面积，再减去长4cm、宽2cm的空缺小长方形面积。
【解析】
1. 计算第一个图形的面积：
长方形面积：$12×16 = 192$（$\mathrm{cm}^2$）
半圆的半径：$12÷2 = 6$（$\mathrm{cm}$）
半圆面积：$\frac{1}{2}×3.14×6^2 = \frac{1}{2}×3.14×36 = 56.52$（$\mathrm{cm}^2$）
组合图形总面积：$192 + 56.52 = 248.52$（$\mathrm{cm}^2$）
2. 计算第二个图形的面积（以分割法为例）：
第一个长方形面积：$(4+3)×3 = 7×3 = 21$（$\mathrm{cm}^2$）
第二个长方形面积：$3×(5-3) = 3×2 = 6$（$\mathrm{cm}^2$）
图形总面积：$21 + 6 = 27$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
$248.52\ \mathrm{cm}^2$；$27\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算；长方形面积公式；圆的面积公式
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是将复杂图形转化为长方形、半圆等基础图形，通过分割法或补全法简化计算，需要熟练掌握基础图形的面积公式，计算时注意半圆面积是对应圆面积的一半。
【难度系数】
0.6
第一个图形是长方形与半圆的组合图形，解题思路是分别计算长方形和半圆的面积，再将两部分面积相加得到组合图形的总面积；第二个图形可通过分割法拆分为两个长方形，分别计算面积后求和，也可用补全法，用大长方形面积减去空缺小长方形的面积来计算。
对于第一个图形：长方形的长为12cm，宽为16cm，半圆的直径等于长方形的长12cm，因此可先求出半圆半径，再结合长方形和圆的面积公式计算；
对于第二个图形：分割法可将图形分为长7cm、宽3cm的长方形和长3cm、宽2cm的长方形；补全法可先算出长7cm、宽5cm的大长方形面积，再减去长4cm、宽2cm的空缺小长方形面积。
【解析】
1. 计算第一个图形的面积：
长方形面积：$12×16 = 192$（$\mathrm{cm}^2$）
半圆的半径：$12÷2 = 6$（$\mathrm{cm}$）
半圆面积：$\frac{1}{2}×3.14×6^2 = \frac{1}{2}×3.14×36 = 56.52$（$\mathrm{cm}^2$）
组合图形总面积：$192 + 56.52 = 248.52$（$\mathrm{cm}^2$）
2. 计算第二个图形的面积（以分割法为例）：
第一个长方形面积：$(4+3)×3 = 7×3 = 21$（$\mathrm{cm}^2$）
第二个长方形面积：$3×(5-3) = 3×2 = 6$（$\mathrm{cm}^2$）
图形总面积：$21 + 6 = 27$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
$248.52\ \mathrm{cm}^2$；$27\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算；长方形面积公式；圆的面积公式
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是将复杂图形转化为长方形、半圆等基础图形，通过分割法或补全法简化计算，需要熟练掌握基础图形的面积公式，计算时注意半圆面积是对应圆面积的一半。
【难度系数】
0.6
6. 下面这块三角形木板能从墙上的圆孔中穿过去吗？请说明理由。(单位：$\mathrm{dm}$)
答案
能穿过去。理由略。
解析
【分析】
要判断三角形木板能否从圆孔中穿过去，关键是比较三角形斜边上的高与圆孔直径的大小。因为圆孔的直径是5dm，若三角形斜边上的高小于或等于5dm，木板就能穿过去。我们可以先利用直角三角形的两条直角边求出三角形的面积，再通过面积公式反推出斜边上的高，最后和5dm比较大小即可。
【解析】
1. 计算三角形的面积：
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为直角边），可得面积为：
$6×8÷2=24$（$\mathrm{dm^2}$）
2. 求斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ch$（$c$为斜边），可得：
$h=2S÷c=24×2÷10=4.8$（$\mathrm{dm}$）
3. 比较高与圆孔直径：
因为$4.8\mathrm{dm}＜5\mathrm{dm}$，所以三角形木板能从圆孔中穿过去。
【答案】
能穿过去。理由：三角形斜边上的高为4.8dm，小于圆孔的直径5dm，因此可以穿过去。
【知识点】
三角形面积计算、利用面积求高
【点评】
本题考查三角形面积公式的灵活应用，解题的关键是明确判断木板能否穿过圆孔的核心是比较三角形斜边上的高与圆孔直径的大小，需要学生具备转换思路、利用面积公式推导高的能力。
【难度系数】
0.6
要判断三角形木板能否从圆孔中穿过去，关键是比较三角形斜边上的高与圆孔直径的大小。因为圆孔的直径是5dm，若三角形斜边上的高小于或等于5dm，木板就能穿过去。我们可以先利用直角三角形的两条直角边求出三角形的面积，再通过面积公式反推出斜边上的高，最后和5dm比较大小即可。
【解析】
1. 计算三角形的面积：
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为直角边），可得面积为：
$6×8÷2=24$（$\mathrm{dm^2}$）
2. 求斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ch$（$c$为斜边），可得：
$h=2S÷c=24×2÷10=4.8$（$\mathrm{dm}$）
3. 比较高与圆孔直径：
因为$4.8\mathrm{dm}＜5\mathrm{dm}$，所以三角形木板能从圆孔中穿过去。
【答案】
能穿过去。理由：三角形斜边上的高为4.8dm，小于圆孔的直径5dm，因此可以穿过去。
【知识点】
三角形面积计算、利用面积求高
【点评】
本题考查三角形面积公式的灵活应用，解题的关键是明确判断木板能否穿过圆孔的核心是比较三角形斜边上的高与圆孔直径的大小，需要学生具备转换思路、利用面积公式推导高的能力。
【难度系数】
0.6
7. 在下图中，已知正方形的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，阴影部分的面积是多少？
答案
3.87 cm²
解析
【分析】
这道题是求组合图形的阴影面积，观察图形可知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去四分之一圆的面积。因为正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积是边长的平方，也就是圆的半径的平方（$r^2=18\ \mathrm{cm}^2$），我们不需要求出半径具体数值，直接利用$r^2$来计算四分之一圆的面积，再用正方形面积减去它就能得到阴影面积。
【解析】
已知正方形面积$S_{正}=18\ \mathrm{cm}^2$，正方形边长等于圆的半径$r$，因此$r^2=18\ \mathrm{cm}^2$。
1. 计算四分之一圆的面积：
$S_{\mathrm{四分之一圆}}=\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{4}×3.14×18=14.13\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算阴影部分的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{正}-S_{\mathrm{四分之一圆}}=18 - 14.13=3.87\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$3.87\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形面积计算，圆的面积计算，组合图形面积求解
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，关键是发现正方形边长与圆半径的关系，利用$r^2$的值直接计算圆的部分面积，无需单独求半径，简化计算过程，培养学生对图形关系的观察和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.6
这道题是求组合图形的阴影面积，观察图形可知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去四分之一圆的面积。因为正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积是边长的平方，也就是圆的半径的平方（$r^2=18\ \mathrm{cm}^2$），我们不需要求出半径具体数值，直接利用$r^2$来计算四分之一圆的面积，再用正方形面积减去它就能得到阴影面积。
【解析】
已知正方形面积$S_{正}=18\ \mathrm{cm}^2$，正方形边长等于圆的半径$r$，因此$r^2=18\ \mathrm{cm}^2$。
1. 计算四分之一圆的面积：
$S_{\mathrm{四分之一圆}}=\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{4}×3.14×18=14.13\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算阴影部分的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{正}-S_{\mathrm{四分之一圆}}=18 - 14.13=3.87\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$3.87\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形面积计算，圆的面积计算，组合图形面积求解
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，关键是发现正方形边长与圆半径的关系，利用$r^2$的值直接计算圆的部分面积，无需单独求半径，简化计算过程，培养学生对图形关系的观察和灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.6
8. 你知道各个平面图形的面积公式的推导过程吗？这些面积公式之间有怎样的联系？
答案
面积公式推导过程：
长方形：$ S = ab $（$ a $为长，$ b $为宽），通过单位正方形密铺得到。
正方形：$ S = a^2 $（$ a $为边长），正方形是长和宽相等的长方形，由长方形面积公式推导。
平行四边形：$ S = ah $（$ a $为底，$ h $为高），将平行四边形割补成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。
三角形：$ S = ah÷2 $（$ a $为底，$ h $为高），两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半。
梯形：$ S = (a+b)h÷2 $（$ a $为上底，$ b $为下底，$ h $为高），两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形面积是平行四边形面积的一半。
圆：$ S = π r^2 $（$ r $为半径），将圆平均分成若干等份，拼成近似长方形，长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
面积公式的联系：
各平面图形的面积公式都以长方形的面积公式为基础推导而来；正方形是特殊的长方形；平行四边形、圆通过转化为长方形推导面积；三角形、梯形通过转化为平行四边形推导面积，转化思想是连接各图形面积公式的核心。
长方形：$ S = ab $（$ a $为长，$ b $为宽），通过单位正方形密铺得到。
正方形：$ S = a^2 $（$ a $为边长），正方形是长和宽相等的长方形，由长方形面积公式推导。
平行四边形：$ S = ah $（$ a $为底，$ h $为高），将平行四边形割补成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。
三角形：$ S = ah÷2 $（$ a $为底，$ h $为高），两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半。
梯形：$ S = (a+b)h÷2 $（$ a $为上底，$ b $为下底，$ h $为高），两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形面积是平行四边形面积的一半。
圆：$ S = π r^2 $（$ r $为半径），将圆平均分成若干等份，拼成近似长方形，长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
面积公式的联系：
各平面图形的面积公式都以长方形的面积公式为基础推导而来；正方形是特殊的长方形；平行四边形、圆通过转化为长方形推导面积；三角形、梯形通过转化为平行四边形推导面积，转化思想是连接各图形面积公式的核心。
解析
【分析】
要解答这道题，我们可以从最基础的平面图形入手，先梳理每个图形面积公式的推导逻辑：首先长方形是所有平面图形面积推导的核心基础，可通过单位正方形密铺的思路理解其面积公式；正方形作为特殊的长方形，直接依托长方形公式推导；平行四边形、圆可通过割补、拼接的转化方法变成长方形来推导面积；三角形、梯形则通过两个完全相同的图形拼成平行四边形，结合平行四边形面积公式推导。之后再梳理它们的联系，核心是转化思想，所有图形的面积公式都围绕长方形公式展开，通过转化建立起紧密关联。
【解析】
一、面积公式推导过程
1. 长方形：面积公式为$S = ab$（$a$为长，$b$为宽），通过用单位正方形密铺长方形，统计包含的单位正方形数量，从而推导出长乘宽的面积公式。
2. 正方形：面积公式为$S = a^2$（$a$为边长），由于正方形是长和宽相等的特殊长方形，将长方形面积公式中的长和宽替换为边长$a$，即可得到正方形的面积公式。
3. 平行四边形：面积公式为$S = ah$（$a$为底，$h$为高），采用割补法，把平行四边形的一部分割下平移到另一侧，转化为长方形，该长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高，结合长方形面积公式推导出平行四边形面积公式。
4. 三角形：面积公式为$S = ah÷2$（$a$为底，$h$为高），将两个完全相同的三角形拼接成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别相等，因此三角形面积是该平行四边形面积的一半，进而推导出三角形面积公式。
5. 梯形：面积公式为$S = (a+b)h÷2$（$a$为上底，$b$为下底，$h$为高），把两个完全相同的梯形拼接成一个平行四边形，该平行四边形的底等于梯形上底与下底之和，高等于梯形的高，梯形面积是这个平行四边形面积的一半，由此推导出梯形面积公式。
6. 圆：面积公式为$S = π r^2$（$r$为半径），将圆平均分成若干等份，把这些小扇形拼接起来可近似得到长方形，这个长方形的长是圆周长的一半（即$πr$），宽是圆的半径$r$，根据长方形面积公式推导出圆的面积公式。
二、面积公式的联系
各平面图形的面积公式都以长方形的面积公式为核心基础推导而来：正方形是特殊的长方形；平行四边形、圆通过割补、拼接的转化思想转化为长方形推导面积；三角形、梯形则通过转化为平行四边形推导面积，转化思想是连接所有平面图形面积公式的关键纽带。
【答案】
面积公式推导过程：
长方形：$ S = ab $（$ a $为长，$ b $为宽），通过单位正方形密铺得到。
正方形：$ S = a^2 $（$ a $为边长），正方形是长和宽相等的长方形，由长方形面积公式推导。
平行四边形：$ S = ah $（$ a $为底，$ h $为高），将平行四边形割补成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。
三角形：$ S = ah÷2 $（$ a $为底，$ h $为高），两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半。
梯形：$ S = (a+b)h÷2 $（$ a $为上底，$ b $为下底，$ h $为高），两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形面积是平行四边形面积的一半。
圆：$ S = π r^2 $（$ r $为半径），将圆平均分成若干等份，拼成近似长方形，长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
面积公式的联系：
各平面图形的面积公式都以长方形的面积公式为基础推导而来；正方形是特殊的长方形；平行四边形、圆通过转化为长方形推导面积；三角形、梯形通过转化为平行四边形推导面积，转化思想是连接各图形面积公式的核心。
【知识点】
平面图形面积推导、转化思想、图形间关联
【点评】
本题考查常见平面图形面积公式的推导逻辑及相互联系，核心是理解“转化思想”在几何图形面积推导中的应用，掌握推导过程不仅能帮助牢记面积公式，还能清晰认识不同图形的内在关联，提升几何思维能力。
【难度系数】
0.6
要解答这道题，我们可以从最基础的平面图形入手，先梳理每个图形面积公式的推导逻辑：首先长方形是所有平面图形面积推导的核心基础，可通过单位正方形密铺的思路理解其面积公式；正方形作为特殊的长方形，直接依托长方形公式推导；平行四边形、圆可通过割补、拼接的转化方法变成长方形来推导面积；三角形、梯形则通过两个完全相同的图形拼成平行四边形，结合平行四边形面积公式推导。之后再梳理它们的联系，核心是转化思想，所有图形的面积公式都围绕长方形公式展开，通过转化建立起紧密关联。
【解析】
一、面积公式推导过程
1. 长方形：面积公式为$S = ab$（$a$为长，$b$为宽），通过用单位正方形密铺长方形，统计包含的单位正方形数量，从而推导出长乘宽的面积公式。
2. 正方形：面积公式为$S = a^2$（$a$为边长），由于正方形是长和宽相等的特殊长方形，将长方形面积公式中的长和宽替换为边长$a$，即可得到正方形的面积公式。
3. 平行四边形：面积公式为$S = ah$（$a$为底，$h$为高），采用割补法，把平行四边形的一部分割下平移到另一侧，转化为长方形，该长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高，结合长方形面积公式推导出平行四边形面积公式。
4. 三角形：面积公式为$S = ah÷2$（$a$为底，$h$为高），将两个完全相同的三角形拼接成一个平行四边形，三角形的底和高与平行四边形的底和高分别相等，因此三角形面积是该平行四边形面积的一半，进而推导出三角形面积公式。
5. 梯形：面积公式为$S = (a+b)h÷2$（$a$为上底，$b$为下底，$h$为高），把两个完全相同的梯形拼接成一个平行四边形，该平行四边形的底等于梯形上底与下底之和，高等于梯形的高，梯形面积是这个平行四边形面积的一半，由此推导出梯形面积公式。
6. 圆：面积公式为$S = π r^2$（$r$为半径），将圆平均分成若干等份，把这些小扇形拼接起来可近似得到长方形，这个长方形的长是圆周长的一半（即$πr$），宽是圆的半径$r$，根据长方形面积公式推导出圆的面积公式。
二、面积公式的联系
各平面图形的面积公式都以长方形的面积公式为核心基础推导而来：正方形是特殊的长方形；平行四边形、圆通过割补、拼接的转化思想转化为长方形推导面积；三角形、梯形则通过转化为平行四边形推导面积，转化思想是连接所有平面图形面积公式的关键纽带。
【答案】
面积公式推导过程：
长方形：$ S = ab $（$ a $为长，$ b $为宽），通过单位正方形密铺得到。
正方形：$ S = a^2 $（$ a $为边长），正方形是长和宽相等的长方形，由长方形面积公式推导。
平行四边形：$ S = ah $（$ a $为底，$ h $为高），将平行四边形割补成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。
三角形：$ S = ah÷2 $（$ a $为底，$ h $为高），两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半。
梯形：$ S = (a+b)h÷2 $（$ a $为上底，$ b $为下底，$ h $为高），两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形面积是平行四边形面积的一半。
圆：$ S = π r^2 $（$ r $为半径），将圆平均分成若干等份，拼成近似长方形，长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
面积公式的联系：
各平面图形的面积公式都以长方形的面积公式为基础推导而来；正方形是特殊的长方形；平行四边形、圆通过转化为长方形推导面积；三角形、梯形通过转化为平行四边形推导面积，转化思想是连接各图形面积公式的核心。
【知识点】
平面图形面积推导、转化思想、图形间关联
【点评】
本题考查常见平面图形面积公式的推导逻辑及相互联系，核心是理解“转化思想”在几何图形面积推导中的应用，掌握推导过程不仅能帮助牢记面积公式，还能清晰认识不同图形的内在关联，提升几何思维能力。
【难度系数】
0.6
