15 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC+∠ EAD=180°$,连接$BE$,$CD$,$F$为$BE$的中点,连接$AF$.求证:$CD=2AF$.

15. 如图,延长 AF 至点G,使得 FG=AF,连接 BG.
∵ F 为 BE的中点,
∴ EF=BF.在△AFE 和△GFB 中,$\begin{cases} AF=GF,\\ ∠AFE=∠GFB,\\ EF=BF, \end{cases}$
∴ △AFE≌△GFB.
∴ ∠EAF=∠G,AE=GB.
∴ AE//BG.
∴ ∠GBA + ∠BAE = 180°.
∵ ∠BAC + ∠EAD = 180°,
∴ ∠DAC+∠BAE=180°.
∴ ∠GBA=∠DAC.
∵ AD=AE,
∴ BG = AD. 在 △GBA 和 △DAC 中,$\begin{cases} AB=CA,\\ ∠GBA=∠DAC,\\ BG=AD, \end{cases}$
∴ △GBA≌△DAC.
∴ AG=CD.
∵ AG=AF+FG=2AF,
∴ CD=2AF

【分析】要证明CD=2AF，已知F是BE的中点，可利用倍长中线法构造全等三角形，将线段AF延长至G，使FG=AF，连接BG，先通过SAS证明△AFE≌△GFB，得到AE=BG、AE//BG，进而推导角的关系，结合已知条件证明△GBA≌△DAC，将CD转化为AG，最终结合AG=2AF完成证明。
【解析】
1. 延长AF至点G，使得FG=AF，连接BG。
2. 因为F为BE的中点，所以EF=BF。在△AFE和△GFB中：
$\begin{cases} AF=GF \\ ∠AFE=∠GFB \\ EF=BF \end{cases}$
所以△AFE≌△GFB（SAS），因此∠EAF=∠G，AE=GB，故AE//BG，可得∠GBA + ∠BAE = 180°。
3. 已知∠BAC + ∠EAD = 180°，而∠DAC + ∠BAE = 360° - ∠BAC - ∠EAD = 180°，所以∠GBA=∠DAC。
4. 因为AD=AE，所以BG=AD。在△GBA和△DAC中：
$\begin{cases} AB=CA \\ ∠GBA=∠DAC \\ BG=AD \end{cases}$
所以△GBA≌△DAC（SAS），因此AG=CD。
5. 又AG=AF + FG=2AF，所以CD=2AF。
【答案】15. 如图,延长 AF 至点G,使得 FG=AF,连接 BG.
∵ F 为 BE的中点,
∴ EF=BF.在△AFE 和△GFB 中,$\begin{cases} AF=GF,\\ ∠AFE=∠GFB,\\ EF=BF, \end{cases}$
∴ △AFE≌△GFB.
∴ ∠EAF=∠G,AE=GB.
∴ AE//BG.
∴ ∠GBA + ∠BAE = 180°.
∵ ∠BAC + ∠EAD = 180°,
∴ ∠DAC+∠BAE=180°.
∴ ∠GBA=∠DAC.
∵ AD=AE,
∴ BG = AD. 在 △GBA 和 △DAC 中,$\begin{cases} AB=CA,\\ ∠GBA=∠DAC,\\ BG=AD, \end{cases}$
∴ △GBA≌△DAC.
∴ AG=CD.
∵ AG=AF+FG=2AF,
∴ CD=2AF

【知识点】全等三角形判定、倍长中线法
【点评】本题通过倍长中线构造全等三角形，将线段倍分关系转化为等量关系，是解决此类问题的典型方法，需熟练运用全等判定定理与角的和差关系。
【难度系数】0.5

16 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=100°$,$∠ ABC=40°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,延长$BD$至点$E$,使$ED=AD$,连接$CE$.求证:$BC=AB+CE$.

16. 如图,在 BC 上取一点 F,使得 FB=AB,连接 DF.
∵ BD平分∠ABC,∠ABC = 40°,
∴ ∠ABD = ∠FBD = 20°. 在△ABD 和△FBD 中,$\begin{cases} AB=FB,\\ ∠ABD=∠FBD,\\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△FBD.
∴ FD=AD,∠BDF=∠BDA=180°-∠A-∠ABD=60°.
∴ 易得∠FDC=∠BDA=∠EDC=60°.
∵ ED=AD,
∴ ED=FD. 在△EDC 和△FDC 中,$\begin{cases} ED=FD,\\ ∠EDC=∠FDC,\\ DC=DC, \end{cases}$
∴ △EDC≌△FDC.
∴ CE=CF.
∴ BC=FB+CF=AB+CE

【分析】
要证明线段和差关系$BC=AB+CE$，可采用截长补短法，在较长线段$BC$上截取一段等于较短线段$AB$，再证明剩余线段等于$CE$，通过两次三角形全等完成线段转化。具体思路：先在$BC$上取$FB=AB$，利用角平分线和公共边证明$△ ABD ≌ △ FBD$，得到$FD=AD$及相关角度；再结合$ED=AD$，得到$FD=ED$，证明$△ EDC ≌ △ FDC$，从而将$CE$转化为$CF$，最终推导出$BC=AB+CE$。
【解析】
证明：在$BC$上取一点$F$，使得$FB=AB$，连接$DF$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ ABC=40°$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ FBD = 20°$。
在$△ ABD$和$△ FBD$中，
$\begin{cases}AB = FB, \\∠ ABD = ∠ FBD, \\BD = BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ FBD$（SAS）。
$\therefore FD = AD$，$∠ BDF = ∠ BDA$。
$\because ∠ A=100°$，
$\therefore ∠ BDA = 180° - ∠ A - ∠ ABD = 180° - 100° - 20° = 60°$，
$\therefore ∠ BDF = 60°$，
$\therefore ∠ FDC = ∠ BDC - ∠ BDF = (180° - ∠ BDA) - ∠ BDF = 120° - 60° = 60°$，
又$\because ∠ EDC = ∠ BDA = 60°$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EDC = ∠ FDC = 60°$。
$\because ED = AD$，
$\therefore ED = FD$。
在$△ EDC$和$△ FDC$中，
$\begin{cases}ED = FD, \\∠ EDC = ∠ FDC, \\DC = DC,\end{cases}$
$\therefore △ EDC ≌ △ FDC$（SAS）。
$\therefore CE = CF$。
$\because BC = FB + CF$，
$\therefore BC = AB + CE$。
【答案】
16. 如图, 在 BC 上取一点 F,使得 FB=AB,连接 DF.
∵ BD平分∠ABC,∠ABC = 40°,
∴ ∠ABD = ∠FBD = 20°. 在△ABD 和△FBD 中,$\begin{cases} AB=FB,\\ ∠ABD=∠FBD,\\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△FBD.
∴ FD=AD,∠BDF=∠BDA=180°-∠A-∠ABD=60°.
∴ 易得∠FDC=∠BDA=∠EDC=60°.
∵ ED=AD,
∴ ED=FD. 在△EDC 和△FDC 中,$\begin{cases} ED=FD,\\ ∠EDC=∠FDC,\\ DC=DC, \end{cases}$
∴ △EDC≌△FDC.
∴ CE=CF.
∴ BC=FB+CF=AB+CE

【知识点】
全等三角形判定与性质、截长补短法、三角形内角和
【点评】
本题是证明线段和差关系的典型题型，通过截长补短法构造全等三角形，将待证的线段和差转化为相等线段，关键在于辅助线的合理构造和两次全等的推导，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

17 在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$D$是$AB$的中点,$E$是边$AB$上一点.
(1) 如图①,直线$BF$垂直直线$CE$于点$F$,交$CD$于点$G$,求证:$AE=CG$;
(2) 如图②,直线$AH$垂直于直线$CE$,垂足为$H$,交$CD$的延长线于点$M$,找出图中与$BE$相等的线段,并给予证明.

17. (1)
∵ D 是 AB 的中点,AC=BC,∠ACB=90°,
∴ CD⊥AB,∠ACD = ∠BCD = 45°, ∠CAD = ∠CBD = 45°.
∴ ∠CAE=∠BCG.
∵ BF⊥CE,
∴ ∠CBG+∠BCF=90°.又
∵ ∠ACE+∠BCF=90°,
∴ ∠ACE=∠CBG. 在△AEC 和△CGB 中,$\begin{cases} ∠CAE=∠BCG,\\ AC=CB,\\ ∠ACE=∠CBG, \end{cases}$
∴ △AEC≌△CGB.
∴ AE=CG
(2) BE=CM

∵ AC=BC,∠ACB=90°,D 是 AB 的中点,
∴ ∠CAB=∠CBA=45°,CD⊥AB,∠ACD=45°.
∵ CH⊥HM,
∴ ∠M + ∠MCH = 90°. 又
∵ CD⊥AB,
∴ ∠BEC + ∠MCH = 90°.
∴ ∠M = ∠BEC. 在△BCE 和△CAM 中,$\begin{cases} ∠BEC=∠M,\\ ∠CBE=∠ACM,\\ BC=CA, \end{cases}$
∴ △BCE≌△CAM.
∴ BE=CM

【分析】
本题是等腰直角三角形背景下的线段相等证明问题，核心是利用等腰直角三角形的性质推导角度关系，再通过全等三角形的判定证明线段相等。
(1) 对于第(1)问，先根据等腰直角三角形斜边中点的性质，得到CD垂直AB且平分∠ACB，从而得到∠CAE=∠BCG=45°；再结合BF⊥CE，利用同角的余角相等推出∠ACE=∠CBG，进而用ASA证明△AEC≌△CGB，即可得AE=CG。
(2) 对于第(2)问，同样利用等腰直角三角形的性质得到∠CBE=∠ACM=45°，再结合AH⊥CE和CD⊥AB，推出∠M=∠BEC，用ASA证明△BCE≌△CAM，从而得到BE=CM。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴ CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°，
∴ ∠CAE=∠BCG=45°。
∵ BF⊥CE，
∴ ∠CBG+∠BCF=90°，
又
∵ ∠ACE+∠BCF=90°，
∴ ∠ACE=∠CBG。
在△AEC和△CGB中，
$\begin{cases}∠CAE=∠BCG, \\AC=CB, \\∠ACE=∠CBG,\end{cases}$
∴ △AEC≌△CGB（ASA），
∴ AE=CG。
(2) 解：与BE相等的线段是CM，证明如下：
∵ AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴ ∠CAB=∠CBA=45°，CD⊥AB，∠ACD=45°，
∴ ∠CBE=∠ACM=45°。
∵ AH⊥CE，
∴ ∠M + ∠MCH=90°，
又
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC + ∠MCH=90°，
∴ ∠M=∠BEC。
在△BCE和△CAM中，
$\begin{cases}∠BEC=∠M, \\∠CBE=∠ACM, \\BC=CA,\end{cases}$
∴ △BCE≌△CAM（ASA），
∴ BE=CM。
【答案】
(1) 证明成立，AE=CG；
(2) BE=CM。
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形的判定（ASA）
【点评】
本题以等腰直角三角形为载体，考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等腰直角三角形的角度特征推导相等角，进而构造全等三角形，属于中等难度的几何证明题，注重对几何逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.5