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1 [2026 崇川段测]在$\dfrac{5-x}{π},\dfrac{2}{x},\dfrac{x+1}{3},x^{2}+5x,-\dfrac{y^{2}}{y+1},\dfrac{5}{a-x}$中,分式的个数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1.B
解析
【分析】首先明确分式的定义：若式子$\frac{A}{B}$中，$B$是整式且$B$中含有字母（注意$π$是常数，不属于字母），则该式子为分式。接下来逐个判断题目中的式子是否符合分式定义，统计符合条件的式子个数即可。
【解析】根据分式定义逐一分析：
1. $\dfrac{5-x}{π}$：分母为常数$π$，属于整式，不是分式；
2. $\dfrac{2}{x}$：分母含字母$x$，是分式；
3. $\dfrac{x+1}{3}$：分母为常数$3$，属于整式，不是分式；
4. $x^2+5x$：是整式，无分母，不是分式；
5. $-\dfrac{y^2}{y+1}$：分母含字母$y$，是分式；
6. $\dfrac{5}{a-x}$：分母含字母$a$、$x$，是分式；
综上，分式共3个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】分式的定义
【点评】本题考查分式的基础定义，核心是区分整式与分式，关键在于判断分母是否含字母，注意$π$是常数，避免误判。
【难度系数】0.5
【解析】根据分式定义逐一分析：
1. $\dfrac{5-x}{π}$：分母为常数$π$，属于整式，不是分式；
2. $\dfrac{2}{x}$：分母含字母$x$，是分式；
3. $\dfrac{x+1}{3}$：分母为常数$3$，属于整式，不是分式；
4. $x^2+5x$：是整式，无分母，不是分式；
5. $-\dfrac{y^2}{y+1}$：分母含字母$y$，是分式；
6. $\dfrac{5}{a-x}$：分母含字母$a$、$x$，是分式；
综上，分式共3个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】分式的定义
【点评】本题考查分式的基础定义，核心是区分整式与分式，关键在于判断分母是否含字母，注意$π$是常数，避免误判。
【难度系数】0.5
2 根据下面表格中的信息,$y$可能为（
A.$\dfrac{x+2}{x-1}$
B.$\dfrac{x-2}{x+1}$
C.$\dfrac{x+2}{x+1}$
D.$\dfrac{x-2}{x-1}$
A
）A.$\dfrac{x+2}{x-1}$
B.$\dfrac{x-2}{x+1}$
C.$\dfrac{x+2}{x+1}$
D.$\dfrac{x-2}{x-1}$
答案
2.A
解析
【分析】首先观察表格信息：当x=1时y无意义，说明对应分式在x=1时分母为0；当x=-2时y=0，说明对应分式在x=-2时分子为0。结合分式的意义和值为0的条件，逐一验证选项即可找到答案。
【解析】根据分式的性质：①分式无意义的条件是分母为0；②分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。
步骤1：由x=1时y无意义，可知分式的分母在x=1时为0，即分母含因式(x-1)，排除分母不含(x-1)的选项B、C；
步骤2：由x=-2时y=0，可知分式的分子在x=-2时为0，即分子含因式(x+2)，排除分子不含(x+2)的选项D；
步骤3：验证选项A：分式为$\frac{x+2}{x-1}$，当x=1时分母为0，y无意义；当x=-2时分子为0，y=0，完全符合表格信息。
【答案】A
【知识点】分式的意义、分式值为0的条件
【点评】本题考查分式的基本性质，核心是掌握分式无意义和值为0的条件，属于分式章节的基础题型，需准确运用相关概念解题。
【难度系数】0.7
【解析】根据分式的性质：①分式无意义的条件是分母为0；②分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。
步骤1：由x=1时y无意义，可知分式的分母在x=1时为0，即分母含因式(x-1)，排除分母不含(x-1)的选项B、C；
步骤2：由x=-2时y=0，可知分式的分子在x=-2时为0，即分子含因式(x+2)，排除分子不含(x+2)的选项D；
步骤3：验证选项A：分式为$\frac{x+2}{x-1}$，当x=1时分母为0，y无意义；当x=-2时分子为0，y=0，完全符合表格信息。
【答案】A
【知识点】分式的意义、分式值为0的条件
【点评】本题考查分式的基本性质，核心是掌握分式无意义和值为0的条件，属于分式章节的基础题型，需准确运用相关概念解题。
【难度系数】0.7
3 分式$\dfrac{|x|-3}{x+3}$的值为0，则$x$的值为（
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.任意实数
A
）A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.任意实数
答案
3.A
解析
【分析】
要解决分式的值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足。解题时先求出使分子为0的x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】
解：对于分式$\dfrac{|x|-3}{x+3}$，值为0需满足：
1. 分子为0：$|x| - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不为0：$x + 3 ≠ 0$，解得$x ≠ -3$；
结合两个条件，只有$x = 3$符合要求，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的值为0的条件；绝对值的应用
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查分式值为0的条件，易错点是学生易忽略分母不能为0的限制，直接选取分子为0的解，需牢记两个条件同时成立。
【难度系数】
0.5
要解决分式的值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足。解题时先求出使分子为0的x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】
解：对于分式$\dfrac{|x|-3}{x+3}$，值为0需满足：
1. 分子为0：$|x| - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不为0：$x + 3 ≠ 0$，解得$x ≠ -3$；
结合两个条件，只有$x = 3$符合要求，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的值为0的条件；绝对值的应用
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查分式值为0的条件，易错点是学生易忽略分母不能为0的限制，直接选取分子为0的解，需牢记两个条件同时成立。
【难度系数】
0.5
4 若 a , b 满足
a , b 互为相反数,且$a≠0,b≠0$
，则分式$\dfrac{a+b}{ab}$的值为 0.答案
4.a , b 互为相反数,且$a≠0,b≠0$
解析
【分析】首先明确分式的值为0的核心条件：分子等于0，且分母不等于0，二者需同时满足，缺一不可。针对本题的分式$\dfrac{a+b}{ab}$，需先让分子$a+b=0$，即$a=-b$；同时要保证分母$ab≠0$（分母为0时分式无意义），因此$a≠0$且$b≠0$（若$a=0$或$b=0$，都会使$ab=0$），综上需满足a、b互为相反数且都不为0。
【解析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0。
1. 令分子$a+b=0$，可得$a=-b$，即a、b互为相反数；
2. 分母$ab≠0$，则$a≠0$且$b≠0$（若$a=0$或$b=0$，则$ab=0$，分式无意义）；
因此a、b满足的条件是a、b互为相反数，且$a≠0$，$b≠0$。
【答案】a , b 互为相反数,且$a≠0,b≠0$
【知识点】分式的值为0的条件；相反数
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，核心是牢记“分子为0且分母不为0”的双重要求，易错点是忽略分母不为0的前提，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0。
1. 令分子$a+b=0$，可得$a=-b$，即a、b互为相反数；
2. 分母$ab≠0$，则$a≠0$且$b≠0$（若$a=0$或$b=0$，则$ab=0$，分式无意义）；
因此a、b满足的条件是a、b互为相反数，且$a≠0$，$b≠0$。
【答案】a , b 互为相反数,且$a≠0,b≠0$
【知识点】分式的值为0的条件；相反数
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，核心是牢记“分子为0且分母不为0”的双重要求，易错点是忽略分母不为0的前提，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】0.6
5 教材P139练习第1题变式 已知梯形的面积为$S$,上底长为$a$,下底长为$b$,则它的高用分式可以表示
为
为
$\dfrac{2S}{a+b}$
.答案
5.$\dfrac{2S}{a+b}$
解析
【分析】要推导梯形的高，需利用梯形面积公式，将公式中的高作为未知数，通过等式变形求解，最终用含S、a、b的分式表示高。
【解析】根据梯形面积公式：$ S = \frac{(a + b)h}{2} $，对公式变形求高h：
1. 等式两边同乘2，得 $ 2S = (a + b)h $；
2. 等式两边同除以$ a + b $（上底、下底长度为正，故$ a + b ≠ 0 $），得 $ h = \frac{2S}{a + b} $。
【答案】$\dfrac{2S}{a+b}$
【知识点】梯形面积公式、代数式变形
【点评】本题考查梯形面积公式的灵活应用，属于基础代数题型，核心是公式的逆用与等式变形，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】根据梯形面积公式：$ S = \frac{(a + b)h}{2} $，对公式变形求高h：
1. 等式两边同乘2，得 $ 2S = (a + b)h $；
2. 等式两边同除以$ a + b $（上底、下底长度为正，故$ a + b ≠ 0 $），得 $ h = \frac{2S}{a + b} $。
【答案】$\dfrac{2S}{a+b}$
【知识点】梯形面积公式、代数式变形
【点评】本题考查梯形面积公式的灵活应用，属于基础代数题型，核心是公式的逆用与等式变形，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
6 教材 P140 练习第3题变式 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) $\dfrac{2}{3a+1}$;
(2) $\dfrac{x-5}{(x-1)(x-5)}$;
(3) $\dfrac{3a+b}{2a-6b}$;
(4) $\dfrac{2\,025}{(x+3)^{2}}.$
(1) $\dfrac{2}{3a+1}$;
(2) $\dfrac{x-5}{(x-1)(x-5)}$;
(3) $\dfrac{3a+b}{2a-6b}$;
(4) $\dfrac{2\,025}{(x+3)^{2}}.$
答案
6.(1) $a≠-\dfrac{1}{3}$ (2) $x≠1$且$x≠5$ (3) $a≠3b$ (4) $x≠-3$
解析
【分析】
分式有意义的核心条件是分母不等于0，这是解题的关键依据。针对每个分式，先确定其分母的表达式，再令该表达式不等于0，解对应的不等式即可得到字母需满足的条件。处理时需注意：多个因式相乘的分母，需每个因式都不为0；平方形式的分母，只需底数不为0即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件（分母≠0），分别求解如下：
(1) 对于分式$\dfrac{2}{3a+1}$，令分母$3a+1≠0$，解得$a≠-\dfrac{1}{3}$；
(2) 对于分式$\dfrac{x-5}{(x-1)(x-5)}$，令分母$(x-1)(x-5)≠0$，则$x-1≠0$且$x-5≠0$，解得$x≠1$且$x≠5$；
(3) 对于分式$\dfrac{3a+b}{2a-6b}$，令分母$2a-6b≠0$，化简得$2(a-3b)≠0$，即$a-3b≠0$，解得$a≠3b$；
(4) 对于分式$\dfrac{2025}{(x+3)^2}$，令分母$(x+3)^2≠0$，则$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
【答案】
(1) $a≠-\dfrac{1}{3}$；(2) $x≠1$且$x≠5$；(3) $a≠3b$；(4) $x≠-3$
【知识点】
分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础题，考查分式有意义的核心概念，解题思路直接，只需牢记“分母不为0”即可，处理多因式分母和平方分母时需注意细节，整体难度低，适合巩固分式的基本性质。
【难度系数】
0.8
分式有意义的核心条件是分母不等于0，这是解题的关键依据。针对每个分式，先确定其分母的表达式，再令该表达式不等于0，解对应的不等式即可得到字母需满足的条件。处理时需注意：多个因式相乘的分母，需每个因式都不为0；平方形式的分母，只需底数不为0即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件（分母≠0），分别求解如下：
(1) 对于分式$\dfrac{2}{3a+1}$，令分母$3a+1≠0$，解得$a≠-\dfrac{1}{3}$；
(2) 对于分式$\dfrac{x-5}{(x-1)(x-5)}$，令分母$(x-1)(x-5)≠0$，则$x-1≠0$且$x-5≠0$，解得$x≠1$且$x≠5$；
(3) 对于分式$\dfrac{3a+b}{2a-6b}$，令分母$2a-6b≠0$，化简得$2(a-3b)≠0$，即$a-3b≠0$，解得$a≠3b$；
(4) 对于分式$\dfrac{2025}{(x+3)^2}$，令分母$(x+3)^2≠0$，则$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
【答案】
(1) $a≠-\dfrac{1}{3}$；(2) $x≠1$且$x≠5$；(3) $a≠3b$；(4) $x≠-3$
【知识点】
分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础题，考查分式有意义的核心概念，解题思路直接，只需牢记“分母不为0”即可，处理多因式分母和平方分母时需注意细节，整体难度低，适合巩固分式的基本性质。
【难度系数】
0.8
7 若分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x+m}$不论$x$取任何数总有意义,则$m$的取值范围是（
A.$m≥ 4$
B.$m＞4$
C.$m≤ 4$
D.$m≠ 4$
B
）A.$m≥ 4$
B.$m＞4$
C.$m≤ 4$
D.$m≠ 4$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确分式有意义的核心条件：分母不为0。题目要求分式$\dfrac{1}{x^2 -4x +m}$对任意$x$都有意义，等价于分母$x^2 -4x +m$对任意实数$x$都不等于0。由于分母是二次式，可结合二次函数的图像与判别式分析：二次项系数为正，抛物线开口向上，若要其恒不为0，需抛物线与$x$轴无交点，对应判别式小于0，据此即可求出$m$的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，因此要使$\dfrac{1}{x^2 -4x +m}$对任意$x$都有意义，需满足$x^2 -4x +m ≠ 0$对任意实数$x$恒成立。
对于二次函数$y = x^2 -4x +m$，二次项系数$a=1＞0$，图像开口向上，若要其与$x$轴无交点（函数值恒大于0，不会等于0），则判别式$\Delta ＜0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1× m =16 -4m$。
令$\Delta ＜0$，即$16 -4m ＜0$，解得$m＞4$。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件；二次函数判别式
【点评】
本题将分式有意义的条件转化为二次式恒不为0，结合二次函数判别式求解，关键是掌握判别式与抛物线和$x$轴交点的关系，难度适中，需准确判断判别式的符号。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确分式有意义的核心条件：分母不为0。题目要求分式$\dfrac{1}{x^2 -4x +m}$对任意$x$都有意义，等价于分母$x^2 -4x +m$对任意实数$x$都不等于0。由于分母是二次式，可结合二次函数的图像与判别式分析：二次项系数为正，抛物线开口向上，若要其恒不为0，需抛物线与$x$轴无交点，对应判别式小于0，据此即可求出$m$的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，因此要使$\dfrac{1}{x^2 -4x +m}$对任意$x$都有意义，需满足$x^2 -4x +m ≠ 0$对任意实数$x$恒成立。
对于二次函数$y = x^2 -4x +m$，二次项系数$a=1＞0$，图像开口向上，若要其与$x$轴无交点（函数值恒大于0，不会等于0），则判别式$\Delta ＜0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1× m =16 -4m$。
令$\Delta ＜0$，即$16 -4m ＜0$，解得$m＞4$。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件；二次函数判别式
【点评】
本题将分式有意义的条件转化为二次式恒不为0，结合二次函数判别式求解，关键是掌握判别式与抛物线和$x$轴交点的关系，难度适中，需准确判断判别式的符号。
【难度系数】
0.6
8 对于分式$\dfrac{2x+a}{3x-1}$,当$x=-\dfrac{a}{2}$时,有下列说法:① 分式的值一定为 0;② 分式一定有意义;③ 当$a=-\dfrac{2}{3}$时,分式无意义.其中,正确的有（
A.3 个
B.2 个
C.1 个
D.0 个
C
）A.3 个
B.2 个
C.1 个
D.0 个
答案
8.C
解析
【分析】
要判断关于分式的三个说法是否正确，需依据分式的值为0、有意义、无意义的核心条件：分式的值为0需同时满足分子为0且分母不为0；分式有意义的条件是分母不为0，无意义则是分母为0。先将给定的$x=-\dfrac{a}{2}$代入分式的分子和分母，再逐一分析每个说法。
【解析】
1. 计算分子：当$x=-\dfrac{a}{2}$时，分子$=2×(-\dfrac{a}{2})+a=-a+a=0$，分子恒为0。
2. 计算分母：当$x=-\dfrac{a}{2}$时，分母$=3×(-\dfrac{a}{2})-1=-\dfrac{3a}{2}-1$。
分析①：分式的值一定为0。分式值为0需分母≠0，当$-\dfrac{3a}{2}-1=0$（即$a=-\dfrac{2}{3}$）时，分母为0，分式无意义，值不存在，故①错误。
分析②：分式一定有意义。当$a=-\dfrac{2}{3}$时，分母为0，分式无意义，故②错误。
分析③：当$a=-\dfrac{2}{3}$时，$x=-\dfrac{a}{2}=-\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}$，代入分母得$3×\dfrac{1}{3}-1=0$，此时分式无意义，故③正确。
综上，正确的说法仅1个。
【答案】
C
【知识点】
分式的值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的基本性质，核心是区分分式有意义、值为0的条件，需注意分子为0时分母不能为0，否则分式无意义，值不存在，是初中分式部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
要判断关于分式的三个说法是否正确，需依据分式的值为0、有意义、无意义的核心条件：分式的值为0需同时满足分子为0且分母不为0；分式有意义的条件是分母不为0，无意义则是分母为0。先将给定的$x=-\dfrac{a}{2}$代入分式的分子和分母，再逐一分析每个说法。
【解析】
1. 计算分子：当$x=-\dfrac{a}{2}$时，分子$=2×(-\dfrac{a}{2})+a=-a+a=0$，分子恒为0。
2. 计算分母：当$x=-\dfrac{a}{2}$时，分母$=3×(-\dfrac{a}{2})-1=-\dfrac{3a}{2}-1$。
分析①：分式的值一定为0。分式值为0需分母≠0，当$-\dfrac{3a}{2}-1=0$（即$a=-\dfrac{2}{3}$）时，分母为0，分式无意义，值不存在，故①错误。
分析②：分式一定有意义。当$a=-\dfrac{2}{3}$时，分母为0，分式无意义，故②错误。
分析③：当$a=-\dfrac{2}{3}$时，$x=-\dfrac{a}{2}=-\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}$，代入分母得$3×\dfrac{1}{3}-1=0$，此时分式无意义，故③正确。
综上，正确的说法仅1个。
【答案】
C
【知识点】
分式的值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的基本性质，核心是区分分式有意义、值为0的条件，需注意分子为0时分母不能为0，否则分式无意义，值不存在，是初中分式部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
