13 先化简,再求值:$(x+1)(x-2)+(2x+1)(x-5)-3(x^{2}-6x-1)$,其中$x=-\dfrac{1}{2}$.

13. 原式$=x^{2}-x-2+2x^{2}-9x-5-3x^{2}+18x+3=8x-4$. 当$x=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=8×(-\dfrac{1}{2})-4=-4-4=-8$

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用多项式乘多项式法则展开原式中的各个乘积项，再通过合并同类项将式子化为最简形式，最后将给定的x值代入最简式计算结果。计算过程中需注意各项的符号，避免出错。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则展开各项：
1. 展开$(x+1)(x-2)$：
$x· x + x·(-2) + 1· x + 1·(-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$；
2. 展开$(2x+1)(x-5)$：
$2x· x + 2x·(-5) + 1· x + 1·(-5) = 2x^2 - 10x + x - 5 = 2x^2 - 9x - 5$；
3. 展开$-3(x^2 -6x -1)$：
根据乘法分配律得：$-3x^2 + 18x + 3$；
再合并同类项化简原式：
原式$=(x^2 -x -2)+(2x^2 -9x -5)+(-3x^2 +18x +3)$
$=(x^2 +2x^2 -3x^2)+(-x -9x +18x)+(-2 -5 +3)$
$=8x -4$；
当$x=-\dfrac{1}{2}$时，代入最简式：
$8×(-\dfrac{1}{2}) -4 = -4 -4 = -8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题为整式化简求值的基础题型，主要考查多项式乘多项式法则与合并同类项的运算，解题关键是准确展开式子并正确合并同类项，需注意符号处理，适合初中学生巩固整式运算的基础知识。
【难度系数】
0.6

14 解不等式:$2x-(x-5)(x+1)＞x(1-x)+3.$

14. 原不等式可化为$2x-x^{2}+5x-x+5＞x-x^{2}+3$. 整理,得$5x＞-2$,解得$x＞-\dfrac{2}{5}$

【分析】解本题的思路是：先利用多项式乘法法则展开不等式两边的式子，注意去括号时的符号变化；再通过移项、合并同类项将不等式化简为一元一次不等式；最后根据不等式的性质求解，得到不等式的解集。
【解析】解：原不等式左边展开：
$\begin{aligned}2x - (x - 5)(x + 1) &= 2x - (x^2 + x - 5x - 5) \\&= 2x - x^2 + 4x + 5 \\&= -x^2 + 6x + 5\end{aligned}$
原不等式右边展开：
$x(1 - x) + 3 = x - x^2 + 3$
将左右两边代入原不等式得：
$-x^2 + 6x + 5 ＞ -x^2 + x + 3$
两边同时加$x^2$消去二次项：
$6x + 5 ＞ x + 3$
移项合并同类项：
$5x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向不变）：
$x ＞ -\frac{2}{5}$
【答案】$x ＞ -\dfrac{2}{5}$
【知识点】一元一次不等式的解法；多项式乘法
【点评】本题主要考查整式展开与一元一次不等式的求解，核心是正确处理去括号符号和合并同类项，将复杂不等式转化为一元一次不等式，难度适中，计算细心即可完成。
【难度系数】0.6

15 甲在计算$(x+a)(x+b)$时,把$b$错看成了6,得到的结果是$x^{2}+8x+12$.
(1) 求$a$的值;
(2) 在(1)的条件下,当$b=-3$时,计算$(x+a)(x+b)$的结果.

15.(1) $\because (x+a)(x+6)=x^{2}+6x+ax+6a=x^{2}+(6+a)x+6a$,$\therefore x^{2}+(6+a)x+6a=x^{2}+8x+12$. $\therefore 6+a=8$,$6a=12$,解得$a=2$
(2) 当$a=2,b=-3$时,$(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x^{2}-x-6$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用多项式乘多项式法则展开看错后的式子，通过对应项系数相等求出参数a；第(2)问代入已求的a和给定的b值，再次利用多项式乘多项式法则计算结果。
【解析】
(1) 先展开甲看错b后的式子：
$(x+a)(x+6)=x^2 +6x +ax +6a =x^2 +(6+a)x +6a$
已知该结果为$x^2 +8x +12$，根据多项式对应项系数相等，可得：
$6+a=8$，解得$a=2$；同时验证常数项：$6a=6×2=12$，符合条件，故a=2。
(2) 当$a=2$，$b=-3$时，代入原式计算：
$(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x^2 -3x +2x -6 =x^2 -x -6$
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x^2 -x -6$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘多项式的基本运算，核心是利用对应项系数相等求解参数，再代入计算，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则。
【难度系数】
0.6

16 我们知道某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果，下面我们就来探究一个公式并运用这个公式解决问题.
(1) 计算：
$(x+1)(x^{2}-x+1)=$；
$(m+2)(m^{2}-2m+4)=$；
$(2a+1)(4a^{2}-2a+1)=$.
(2) 上面的运算结果很简洁，观察上面的运算你发现了什么规律？用字母$a$，$b$表示这个规律，并加以证明.
(3) 已知$x+y=2$，$xy=-3$，$x^{2}+y^{2}=10$，求$x^{3}+y^{3}$的值.

16.(1) $x^{3}+1$；$m^{3}+8$；$8a^{3}+1$
(2) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}$
(3) $\because x+y=2,xy=-3,x^{2}+y^{2}=10,\therefore x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=2×[10-(-3)]=26$

【分析】
本题分为三小问，第(1)问通过多项式乘法法则直接计算，观察结果初步感知规律；第(2)问从第(1)问的运算结果中归纳出通用公式，再通过多项式乘法展开证明公式的正确性；第(3)问利用第(2)问得出的立方和公式，结合已知条件代入计算即可。
【解析】
(1) 根据多项式乘法法则展开计算：
$(x+1)(x^2 -x +1) = x· x^2 + x·(-x) + x·1 + 1· x^2 + 1·(-x) + 1·1 = x^3 -x^2 +x +x^2 -x +1 = x^3 +1$；
$(m+2)(m^2 -2m +4) = m· m^2 + m·(-2m) + m·4 + 2· m^2 + 2·(-2m) + 2·4 = m^3 -2m^2 +4m +2m^2 -4m +8 = m^3 +8$；
$(2a+1)(4a^2 -2a +1) = 2a·4a^2 + 2a·(-2a) + 2a·1 + 1·4a^2 +1·(-2a)+1·1 = 8a^3 -4a^2 +2a +4a^2 -2a +1 = 8a^3 +1$。
(2) 观察第(1)问的结果，归纳规律：两个数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和，用字母表示为：$\boldsymbol{(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3}$。
证明：左边展开得：
$(a+b)(a^2 -ab +b^2) = a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3 = a^3 +b^3$，与右边相等，公式成立。
(3) 利用立方和公式$x^3 + y^3=(x+y)(x^2 -xy +y^2)$，代入已知条件：
已知$x+y=2$，$xy=-3$，$x^2 + y^2=10$，则：
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2) = 2×[10 - (-3)] = 2×13 = 26$。
【答案】
(1) $x^3 +1$；$m^3 +8$；$8a^3 +1$；
(2) $(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$，证明如上；
(3) $26$
【知识点】
多项式乘法法则，立方和公式，代数式求值
【点评】
本题通过特殊多项式相乘的运算归纳出立方和公式，考查了多项式乘法的运算能力、归纳推理能力及公式的应用，是代数运算中重要的基础题型。
【难度系数】
0.5