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1. 填一填。
(1) 一个数的最大因数和最小倍数都是 28，这个数是(
(1) 一个数的最大因数和最小倍数都是 28，这个数是(
28
)，它的全部因数有(1,2,4,7,14,28
)，这些数中质数有(2,7
)，合数有(4,14,28
)，既不是质数，又不是合数的是(1
)。答案
28
1,2,4,7,14,28
2,7
4,14,28
1
1,2,4,7,14,28
2,7
4,14,28
1
解析
【分析】
首先，根据因数和倍数的核心性质：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，由此可直接确定这个数是28。接下来找28的全部因数，要从1开始依次列举能整除28的数，确保不重复不遗漏。最后依据质数、合数的定义对这些因数进行分类：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，1既不属于质数也不属于合数。
【解析】
1. 确定这个数：
根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”的性质，可知这个数是28。
2. 找出28的全部因数：
通过列举乘法算式：1×28=28，2×14=28，4×7=28，可得28的全部因数为1,2,4,7,14,28。
3. 对因数进行分类：
质数：只有1和它本身两个因数，符合条件的是2,7；
合数：除了1和它本身还有其他因数，符合条件的是4,14,28；
既不是质数也不是合数的数是1。
【答案】
28；1,2,4,7,14,28；2,7；4,14,28；1
【知识点】
因数与倍数的性质；质数与合数的定义
【点评】
本题是对因数、倍数、质数、合数基础概念的直接考查，重点在于学生要准确理解并区分这些概念的定义与性质，只要理清概念间的区别与联系，就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
首先，根据因数和倍数的核心性质：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，由此可直接确定这个数是28。接下来找28的全部因数，要从1开始依次列举能整除28的数，确保不重复不遗漏。最后依据质数、合数的定义对这些因数进行分类：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，1既不属于质数也不属于合数。
【解析】
1. 确定这个数：
根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”的性质，可知这个数是28。
2. 找出28的全部因数：
通过列举乘法算式：1×28=28，2×14=28，4×7=28，可得28的全部因数为1,2,4,7,14,28。
3. 对因数进行分类：
质数：只有1和它本身两个因数，符合条件的是2,7；
合数：除了1和它本身还有其他因数，符合条件的是4,14,28；
既不是质数也不是合数的数是1。
【答案】
28；1,2,4,7,14,28；2,7；4,14,28；1
【知识点】
因数与倍数的性质；质数与合数的定义
【点评】
本题是对因数、倍数、质数、合数基础概念的直接考查，重点在于学生要准确理解并区分这些概念的定义与性质，只要理清概念间的区别与联系，就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
(2) 两位数中，最小的偶数是(
10
)，最大的奇数是(99
)；三位数中，最小的奇数是(101
)。答案
10
99
101
99
101
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确偶数和奇数的定义：能被2整除的整数是偶数（个位为0、2、4、6、8），不能被2整除的整数是奇数（个位为1、3、5、7、9）。然后分情况分析每个空：
1. 找两位数中最小的偶数：两位数范围是10到99，最小的两位数是10，且10能被2整除，符合偶数特征，因此它是两位数中最小的偶数。
2. 找两位数中最大的奇数：最大的两位数是99，99的个位是9，不能被2整除，属于奇数，所以它是两位数中最大的奇数。
3. 找三位数中最小的奇数：三位数从100开始，100是偶数，下一个数101的个位是1，不能被2整除，是奇数，同时101是最小的三位数奇数。
【解析】
1. 两位数的取值范围是10~99，其中能被2整除的最小数是10，故两位数中最小的偶数是10；
2. 最大的两位数是99，99无法被2整除，属于奇数，故两位数中最大的奇数是99；
3. 三位数的取值范围是100~999，最小的三位数100是偶数，比100大1的101不能被2整除，是奇数，故三位数中最小的奇数是101。
【答案】
10；99；101
【知识点】
偶数的定义、奇数的定义、数的范围判断
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对偶数与奇数定义的理解，同时结合不同数位的数的范围进行筛选，只要准确掌握奇偶特征和数位范围，就能轻松解答，有助于巩固数的分类相关知识。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确偶数和奇数的定义：能被2整除的整数是偶数（个位为0、2、4、6、8），不能被2整除的整数是奇数（个位为1、3、5、7、9）。然后分情况分析每个空：
1. 找两位数中最小的偶数：两位数范围是10到99，最小的两位数是10，且10能被2整除，符合偶数特征，因此它是两位数中最小的偶数。
2. 找两位数中最大的奇数：最大的两位数是99，99的个位是9，不能被2整除，属于奇数，所以它是两位数中最大的奇数。
3. 找三位数中最小的奇数：三位数从100开始，100是偶数，下一个数101的个位是1，不能被2整除，是奇数，同时101是最小的三位数奇数。
【解析】
1. 两位数的取值范围是10~99，其中能被2整除的最小数是10，故两位数中最小的偶数是10；
2. 最大的两位数是99，99无法被2整除，属于奇数，故两位数中最大的奇数是99；
3. 三位数的取值范围是100~999，最小的三位数100是偶数，比100大1的101不能被2整除，是奇数，故三位数中最小的奇数是101。
【答案】
10；99；101
【知识点】
偶数的定义、奇数的定义、数的范围判断
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对偶数与奇数定义的理解，同时结合不同数位的数的范围进行筛选，只要准确掌握奇偶特征和数位范围，就能轻松解答，有助于巩固数的分类相关知识。
【难度系数】
0.9
(3) 349 至少增加(
2
)就是 3 的倍数，至少减少(4
)就是 5 的倍数。答案
2
4
4
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要分别依据3的倍数和5的倍数的特征来逐步分析：
1. 对于“至少增加多少是3的倍数”：首先明确3的倍数特征——一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先计算349各位数字的和，再找到比这个和大的最小3的倍数，两者的差值就是需要增加的数。
2. 对于“至少减少多少是5的倍数”：5的倍数特征是个位数字为0或5，我们需要找到比349小且最接近的5的倍数，用349减去这个数，得到的结果就是需要减少的数。
【解析】
1. 计算349各位数字之和：$3 + 4 + 9 = 16$。
3的倍数中大于16的最小数是18，$18 - 16 = 2$，因此349至少增加2就是3的倍数。
2. 5的倍数的个位是0或5，比349小且最接近的5的倍数是345，$349 - 345 = 4$，因此349至少减少4就是5的倍数。
【答案】
2；4
【知识点】
3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对3和5的倍数特征的理解与实际应用，解题关键是熟练掌握并灵活运用倍数特征进行计算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要分别依据3的倍数和5的倍数的特征来逐步分析：
1. 对于“至少增加多少是3的倍数”：首先明确3的倍数特征——一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先计算349各位数字的和，再找到比这个和大的最小3的倍数，两者的差值就是需要增加的数。
2. 对于“至少减少多少是5的倍数”：5的倍数特征是个位数字为0或5，我们需要找到比349小且最接近的5的倍数，用349减去这个数，得到的结果就是需要减少的数。
【解析】
1. 计算349各位数字之和：$3 + 4 + 9 = 16$。
3的倍数中大于16的最小数是18，$18 - 16 = 2$，因此349至少增加2就是3的倍数。
2. 5的倍数的个位是0或5，比349小且最接近的5的倍数是345，$349 - 345 = 4$，因此349至少减少4就是5的倍数。
【答案】
2；4
【知识点】
3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对3和5的倍数特征的理解与实际应用，解题关键是熟练掌握并灵活运用倍数特征进行计算。
【难度系数】
0.8
(4) $ a $ 和 $ b $ 的最大公因数是 10，$ a $ 和 $ b $ 的公因数有(
1,2,5,10
)。答案
1,2,5,10
解析
【分析】
首先要明确公因数和最大公因数的关系：两个数的所有公因数都是它们最大公因数的因数，反之，最大公因数的所有因数也都是这两个数的公因数。题目中已知a和b的最大公因数是10，所以我们只需要找出10的所有因数，这些因数就是a和b的公因数。找10的因数时，从1开始依次列举能整除10的数即可。
【解析】
1. 明确核心关系：两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数。
2. 找出10的所有因数：
因为1×10=10，2×5=10，所以能整除10的数有1、2、5、10，即10的因数为1、2、5、10。
3. 得出结论：a和b的公因数就是10的所有因数，即1、2、5、10。
【答案】
1,2,5,10
【知识点】
公因数与最大公因数的关系；找一个数的因数
【点评】
本题主要考查对公因数和最大公因数关系的理解，同时需要掌握找一个数因数的基本方法，属于基础题型，只要理清两者之间的逻辑关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先要明确公因数和最大公因数的关系：两个数的所有公因数都是它们最大公因数的因数，反之，最大公因数的所有因数也都是这两个数的公因数。题目中已知a和b的最大公因数是10，所以我们只需要找出10的所有因数，这些因数就是a和b的公因数。找10的因数时，从1开始依次列举能整除10的数即可。
【解析】
1. 明确核心关系：两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数。
2. 找出10的所有因数：
因为1×10=10，2×5=10，所以能整除10的数有1、2、5、10，即10的因数为1、2、5、10。
3. 得出结论：a和b的公因数就是10的所有因数，即1、2、5、10。
【答案】
1,2,5,10
【知识点】
公因数与最大公因数的关系；找一个数的因数
【点评】
本题主要考查对公因数和最大公因数关系的理解，同时需要掌握找一个数因数的基本方法，属于基础题型，只要理清两者之间的逻辑关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
(5) 用 4，5，8，0 中的三个数字组成一个同时是 2，3，5 倍数的最大三位数是(
840
)，最小三位数是(450
)。答案
840
450
450
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先明确同时是2、3、5倍数的数的核心特征：首先，同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；其次，这个数还要满足3的倍数要求，即各位数字之和是3的倍数。解题思路如下：
1. 先确定个位数字：必须为0，满足2和5的倍数条件；
2. 从剩余数字4、5、8中挑选两个数字，使这两个数字的和是3的倍数（因为个位是0，数字和就是这两个数的和）；
3. 找到符合条件的数字组合后，分别组成最大和最小的三位数（注意百位不能为0）。
【解析】
1. 明确同时是2、3、5倍数的数的特征：个位数字为0，且各位数字之和是3的倍数。
2. 筛选符合条件的数字组合：
计算4、5、8中两两数字的和：4+5=9（9是3的倍数，符合）；4+8=12（12是3的倍数，符合）；5+8=13（13不是3的倍数，不符合）。因此符合条件的组合是4、5、0和4、8、0。
3. 组成最大三位数：选择数字8、4、0，按从大到小排列为840；
4. 组成最小三位数：选择数字4、5、0，按从小到大排列（百位不能为0）为450。
【答案】
840；450
【知识点】
2、3、5的倍数特征
【点评】
本题考查2、3、5的倍数特征的综合应用，解题关键是先通过2和5的倍数特征锁定个位数字，再结合3的倍数特征筛选数字组合，最后根据数位大小要求组成目标数，需要学生熟练掌握数的倍数特征并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要先明确同时是2、3、5倍数的数的核心特征：首先，同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；其次，这个数还要满足3的倍数要求，即各位数字之和是3的倍数。解题思路如下：
1. 先确定个位数字：必须为0，满足2和5的倍数条件；
2. 从剩余数字4、5、8中挑选两个数字，使这两个数字的和是3的倍数（因为个位是0，数字和就是这两个数的和）；
3. 找到符合条件的数字组合后，分别组成最大和最小的三位数（注意百位不能为0）。
【解析】
1. 明确同时是2、3、5倍数的数的特征：个位数字为0，且各位数字之和是3的倍数。
2. 筛选符合条件的数字组合：
计算4、5、8中两两数字的和：4+5=9（9是3的倍数，符合）；4+8=12（12是3的倍数，符合）；5+8=13（13不是3的倍数，不符合）。因此符合条件的组合是4、5、0和4、8、0。
3. 组成最大三位数：选择数字8、4、0，按从大到小排列为840；
4. 组成最小三位数：选择数字4、5、0，按从小到大排列（百位不能为0）为450。
【答案】
840；450
【知识点】
2、3、5的倍数特征
【点评】
本题考查2、3、5的倍数特征的综合应用，解题关键是先通过2和5的倍数特征锁定个位数字，再结合3的倍数特征筛选数字组合，最后根据数位大小要求组成目标数，需要学生熟练掌握数的倍数特征并灵活运用。
【难度系数】
0.6
2. 判一判。(对的画“√”，错的画“×”)
(1) 自然数不是奇数就是偶数。 ……………………………………………… (
(2) 在$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{5}{24}$，$\frac{3}{4}$这四个分数中，只有$\frac{7}{15}$不能化成有限小数。 ………… (
(3) 假分数都比 1 大。 …………………………………………………………… (
(4) 一个质数的因数都是质数。 ………………………………………………… (
(1) 自然数不是奇数就是偶数。 ……………………………………………… (
√
)(2) 在$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{5}{24}$，$\frac{3}{4}$这四个分数中，只有$\frac{7}{15}$不能化成有限小数。 ………… (
×
)(3) 假分数都比 1 大。 …………………………………………………………… (
×
)(4) 一个质数的因数都是质数。 ………………………………………………… (
×
)答案
√
×
×
×
×
×
×
解析
【分析】
我们逐个分析每个判断题：
1. 第(1)题，先明确自然数包含0和正整数，再根据奇数、偶数的定义：能被2整除的数是偶数（0属于偶数），不能被2整除的数是奇数，所有自然数都可归入这两类，由此判断对错。
2. 第(2)题，依据分数化成有限小数的条件：最简分数的分母质因数只有2和5时，能化成有限小数。先判断每个分数是否为最简分数，再分析分母的质因数组成，确定不能化成有限小数的分数，进而判断原说法是否正确。
3. 第(3)题，回忆假分数的定义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，当分子等于分母时，假分数等于1，并非都大于1，据此判断。
4. 第(4)题，质数的因数只有1和它本身，而1既不是质数也不是合数，所以原说法不成立，可判断对错。
【解析】
(1) 自然数包括0和正整数，能被2整除的数是偶数（0是偶数），不能被2整除的数是奇数，所有自然数要么是奇数，要么是偶数，该说法正确，画“√”。
(2) 分数化成有限小数的条件：最简分数的分母质因数只有2和5。
$\frac{3}{8}$是最简分数，分母$8=2^3$，质因数只有2，能化成有限小数；
$\frac{7}{15}$是最简分数，分母$15=3×5$，含有质因数3，不能化成有限小数；
$\frac{5}{24}$是最简分数，分母$24=2^3×3$，含有质因数3，不能化成有限小数；
$\frac{3}{4}$是最简分数，分母$4=2^2$，质因数只有2，能化成有限小数。
可见不能化成有限小数的有$\frac{7}{15}$和$\frac{5}{24}$，原说法错误，画“×”。
(3) 假分数是分子大于或等于分母的分数，当分子等于分母时，假分数等于1（如$\frac{2}{2}=1$），并非都比1大，原说法错误，画“×”。
(4) 质数的因数是1和它本身，1既不是质数也不是合数，所以一个质数的因数不都是质数，原说法错误，画“×”。
【答案】
√；×；×；×
【知识点】
1. 奇数与偶数的定义
2. 分数化有限小数的条件
3. 假分数与质数的定义
【点评】
本题考查了数的分类、分数与小数互化、质数与假分数的基础概念，需要准确掌握相关定义和判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
我们逐个分析每个判断题：
1. 第(1)题，先明确自然数包含0和正整数，再根据奇数、偶数的定义：能被2整除的数是偶数（0属于偶数），不能被2整除的数是奇数，所有自然数都可归入这两类，由此判断对错。
2. 第(2)题，依据分数化成有限小数的条件：最简分数的分母质因数只有2和5时，能化成有限小数。先判断每个分数是否为最简分数，再分析分母的质因数组成，确定不能化成有限小数的分数，进而判断原说法是否正确。
3. 第(3)题，回忆假分数的定义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，当分子等于分母时，假分数等于1，并非都大于1，据此判断。
4. 第(4)题，质数的因数只有1和它本身，而1既不是质数也不是合数，所以原说法不成立，可判断对错。
【解析】
(1) 自然数包括0和正整数，能被2整除的数是偶数（0是偶数），不能被2整除的数是奇数，所有自然数要么是奇数，要么是偶数，该说法正确，画“√”。
(2) 分数化成有限小数的条件：最简分数的分母质因数只有2和5。
$\frac{3}{8}$是最简分数，分母$8=2^3$，质因数只有2，能化成有限小数；
$\frac{7}{15}$是最简分数，分母$15=3×5$，含有质因数3，不能化成有限小数；
$\frac{5}{24}$是最简分数，分母$24=2^3×3$，含有质因数3，不能化成有限小数；
$\frac{3}{4}$是最简分数，分母$4=2^2$，质因数只有2，能化成有限小数。
可见不能化成有限小数的有$\frac{7}{15}$和$\frac{5}{24}$，原说法错误，画“×”。
(3) 假分数是分子大于或等于分母的分数，当分子等于分母时，假分数等于1（如$\frac{2}{2}=1$），并非都比1大，原说法错误，画“×”。
(4) 质数的因数是1和它本身，1既不是质数也不是合数，所以一个质数的因数不都是质数，原说法错误，画“×”。
【答案】
√；×；×；×
【知识点】
1. 奇数与偶数的定义
2. 分数化有限小数的条件
3. 假分数与质数的定义
【点评】
本题考查了数的分类、分数与小数互化、质数与假分数的基础概念，需要准确掌握相关定义和判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
3. 写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
(1) 10 和 12
(2) 7 和 8
(3) 60 和 48
(4) 17 和 51
(1) 10 和 12
(2) 7 和 8
(3) 60 和 48
(4) 17 和 51
答案
最大公因数：2；
最小公倍数：60
最大公因数：1；
最小公倍数：56
最大公因数：12；
最小公倍数：240
最大公因数：17；
最小公倍数：51
最小公倍数：60
最大公因数：1；
最小公倍数：56
最大公因数：12；
最小公倍数：240
最大公因数：17；
最小公倍数：51
解析
【分析】
求解每组数的最大公因数和最小公倍数，可根据数的不同关系选择对应方法：
1. 对于10和12，既非互质数也非倍数关系，采用分解质因数法：先分解两数的质因数，最大公因数取公有质因数的乘积，最小公倍数取公有质因数与各自独有质因数的乘积；
2. 7和8是相邻自然数，属于互质数，互质数的最大公因数为1，最小公倍数为两数乘积；
3. 60和48，同样用分解质因数法，提取公有质因数相乘得最大公因数，公有质因数乘所有独有质因数得最小公倍数；
4. 17和51，51是17的3倍，属于倍数关系，此类数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【解析】
(1) 分解质因数：
10 = 2×5，12 = 2×2×3
公有质因数为2，所以最大公因数是2；
最小公倍数 = 2×2×3×5 = 60。
(2) 7和8是互质数，因此：
最大公因数是1；
最小公倍数 = 7×8 = 56。
(3) 分解质因数：
60 = 2×2×3×5，48 = 2×2×2×2×3
公有质因数为2×2×3 = 12，所以最大公因数是12；
最小公倍数 = 2×2×3×2×2×5 = 240。
(4) 因为51÷17 = 3，即51是17的倍数，所以：
最大公因数是17；
最小公倍数是51。
【答案】
(1) 最大公因数：2；最小公倍数：60
(2) 最大公因数：1；最小公倍数：56
(3) 最大公因数：12；最小公倍数：240
(4) 最大公因数：17；最小公倍数：51
【知识点】
最大公因数求解、最小公倍数求解、特殊数的数论关系
【点评】
本题涵盖了常见的三种数的关系（一般关系、互质关系、倍数关系）下的最大公因数和最小公倍数求解，需根据数的特征选择合适方法，有助于巩固对因数、倍数概念的理解，提升解题的灵活性。
【难度系数】
0.6
求解每组数的最大公因数和最小公倍数，可根据数的不同关系选择对应方法：
1. 对于10和12，既非互质数也非倍数关系，采用分解质因数法：先分解两数的质因数，最大公因数取公有质因数的乘积，最小公倍数取公有质因数与各自独有质因数的乘积；
2. 7和8是相邻自然数，属于互质数，互质数的最大公因数为1，最小公倍数为两数乘积；
3. 60和48，同样用分解质因数法，提取公有质因数相乘得最大公因数，公有质因数乘所有独有质因数得最小公倍数；
4. 17和51，51是17的3倍，属于倍数关系，此类数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【解析】
(1) 分解质因数：
10 = 2×5，12 = 2×2×3
公有质因数为2，所以最大公因数是2；
最小公倍数 = 2×2×3×5 = 60。
(2) 7和8是互质数，因此：
最大公因数是1；
最小公倍数 = 7×8 = 56。
(3) 分解质因数：
60 = 2×2×3×5，48 = 2×2×2×2×3
公有质因数为2×2×3 = 12，所以最大公因数是12；
最小公倍数 = 2×2×3×2×2×5 = 240。
(4) 因为51÷17 = 3，即51是17的倍数，所以：
最大公因数是17；
最小公倍数是51。
【答案】
(1) 最大公因数：2；最小公倍数：60
(2) 最大公因数：1；最小公倍数：56
(3) 最大公因数：12；最小公倍数：240
(4) 最大公因数：17；最小公倍数：51
【知识点】
最大公因数求解、最小公倍数求解、特殊数的数论关系
【点评】
本题涵盖了常见的三种数的关系（一般关系、互质关系、倍数关系）下的最大公因数和最小公倍数求解，需根据数的特征选择合适方法，有助于巩固对因数、倍数概念的理解，提升解题的灵活性。
【难度系数】
0.6
4. 同学们去春游，把 48 瓶果汁和 56 瓶矿泉水平均分给 $ n $ 个小组，正好分完。最多可以分给几个小组，每个小组分得两种饮料共多少瓶？
答案
(48,56)=8
(48+56)÷8=13(瓶)
答：最多可以分给8个小组，每个小组分得两种饮料共13瓶。
(48+56)÷8=13(瓶)
答：最多可以分给8个小组，每个小组分得两种饮料共13瓶。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理解“正好分完”“最多可以分给几个小组”的含义：小组数$n$必须同时是48和56的因数，要求最多的小组数，就是求48和56的最大公因数。求出最大公因数后，用两种饮料的总瓶数除以小组数，就能得到每个小组分得的两种饮料总数。
【解析】
1. 求48和56的最大公因数：
通过列举因数可知，48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56。它们的公因数有1、2、4、8，其中最大公因数是8，即最多可以分给8个小组。
2. 计算每个小组分得的两种饮料总数：
两种饮料总瓶数为$48+56=104$（瓶），每个小组分得的数量为$104÷8=13$（瓶）。
答：最多可以分给8个小组，每个小组分得两种饮料共13瓶。
【答案】
最多可以分给8个小组，每个小组分得两种饮料共13瓶。
【知识点】
最大公因数的应用、整数四则混合运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，关键是将“最多分几个小组”转化为求两个数的最大公因数，再结合整数除法计算每个小组分得的饮料总数，锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要理解“正好分完”“最多可以分给几个小组”的含义：小组数$n$必须同时是48和56的因数，要求最多的小组数，就是求48和56的最大公因数。求出最大公因数后，用两种饮料的总瓶数除以小组数，就能得到每个小组分得的两种饮料总数。
【解析】
1. 求48和56的最大公因数：
通过列举因数可知，48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56。它们的公因数有1、2、4、8，其中最大公因数是8，即最多可以分给8个小组。
2. 计算每个小组分得的两种饮料总数：
两种饮料总瓶数为$48+56=104$（瓶），每个小组分得的数量为$104÷8=13$（瓶）。
答：最多可以分给8个小组，每个小组分得两种饮料共13瓶。
【答案】
最多可以分给8个小组，每个小组分得两种饮料共13瓶。
【知识点】
最大公因数的应用、整数四则混合运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，关键是将“最多分几个小组”转化为求两个数的最大公因数，再结合整数除法计算每个小组分得的饮料总数，锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 【提优挑战】$\frac{a + 7}{24}$是一个最简真分数，$ a $ 可取的整数共有多少个？
答案
答： a可取的整数：0,4,6,10,12,16，共有6个。
解析
【分析】
要解决这个问题，需紧扣最简真分数的定义逐步推导：
1. 明确最简真分数的两个核心条件：①真分数要求分子小于分母且分子为正；②最简分数要求分子与分母的最大公因数为1（即互质）。
2. 先确定分子的范围：分母是24，因此分子$a+7$需满足$0 ＜ a+7 ＜ 24$，结合参考答案的结果，这里默认a为非负整数（小学阶段常将整数限定为非负范围），所以$a+7 ≥ 7$，进而得到$0 ≤ a ＜ 17$。
3. 再筛选与24互质的分子：24的质因数是2和3，因此$a+7$不能是2的倍数（即奇数），也不能是3的倍数，在7到23的整数中找出符合条件的数，再对应求出a的值。
【解析】
步骤1：确定$a$的初步范围
因为$\frac{a+7}{24}$是真分数，所以$a+7 ＜ 24$，解得$a ＜ 17$；
又因为$a$取非负整数，所以$a+7 ≥ 7$，解得$a ≥ 0$；
因此$a$的初步范围是$0 ≤ a ＜ 17$的整数。
步骤2：筛选符合互质条件的$a+7$
24的质因数为2和3，所以$a+7$需满足：
不是2的倍数（即$a+7$为奇数）；
不是3的倍数（即$a+7$除以3的余数不为0）。
在7到23的整数中，符合条件的数为：7、11、13、17、19、23。
步骤3：计算对应的$a$值
当$a+7=7$时，$a=0$；
当$a+7=11$时，$a=4$；
当$a+7=13$时，$a=6$；
当$a+7=17$时，$a=10$；
当$a+7=19$时，$a=12$；
当$a+7=23$时，$a=16$。
综上，$a$可取的整数为0、4、6、10、12、16，共6个。
【答案】
a可取的整数共有6个，分别是0,4,6,10,12,16。
【知识点】
最简真分数定义、互质判断
【点评】
本题考查对最简真分数概念的理解与数的整除特性的应用，解题关键是同时满足真分数和最简分数的双重条件，需要严谨筛选符合要求的分子，进而推导对应a的取值。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需紧扣最简真分数的定义逐步推导：
1. 明确最简真分数的两个核心条件：①真分数要求分子小于分母且分子为正；②最简分数要求分子与分母的最大公因数为1（即互质）。
2. 先确定分子的范围：分母是24，因此分子$a+7$需满足$0 ＜ a+7 ＜ 24$，结合参考答案的结果，这里默认a为非负整数（小学阶段常将整数限定为非负范围），所以$a+7 ≥ 7$，进而得到$0 ≤ a ＜ 17$。
3. 再筛选与24互质的分子：24的质因数是2和3，因此$a+7$不能是2的倍数（即奇数），也不能是3的倍数，在7到23的整数中找出符合条件的数，再对应求出a的值。
【解析】
步骤1：确定$a$的初步范围
因为$\frac{a+7}{24}$是真分数，所以$a+7 ＜ 24$，解得$a ＜ 17$；
又因为$a$取非负整数，所以$a+7 ≥ 7$，解得$a ≥ 0$；
因此$a$的初步范围是$0 ≤ a ＜ 17$的整数。
步骤2：筛选符合互质条件的$a+7$
24的质因数为2和3，所以$a+7$需满足：
不是2的倍数（即$a+7$为奇数）；
不是3的倍数（即$a+7$除以3的余数不为0）。
在7到23的整数中，符合条件的数为：7、11、13、17、19、23。
步骤3：计算对应的$a$值
当$a+7=7$时，$a=0$；
当$a+7=11$时，$a=4$；
当$a+7=13$时，$a=6$；
当$a+7=17$时，$a=10$；
当$a+7=19$时，$a=12$；
当$a+7=23$时，$a=16$。
综上，$a$可取的整数为0、4、6、10、12、16，共6个。
【答案】
a可取的整数共有6个，分别是0,4,6,10,12,16。
【知识点】
最简真分数定义、互质判断
【点评】
本题考查对最简真分数概念的理解与数的整除特性的应用，解题关键是同时满足真分数和最简分数的双重条件，需要严谨筛选符合要求的分子，进而推导对应a的取值。
【难度系数】
0.4
