题组 菱形及其性质

解：∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm，
∴AB=BC=CD=DA=20÷4=5cm（菱形的四条边相等），
AC⊥BD，AO=½AC=4cm（菱形的对角线互相垂直且平分）。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
BO=√(AB²-AO²)=√(5²-4²)=3cm，
∴BD=2BO=6cm。
答：BD的长为6cm。

1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE $ \bot $ AB，垂足为E，若 $ ∠ B C D=5 0° $ ，则 $ ∠ B O E $的大小为 ( )


A.$ 2 4° $
B.$ 2 5° $
C.$ 4 0° $
D.$ 6 5° $

1. B

2. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是 AB和BC上的点，且 BE=BF.求证： DE=DF.

2. 证明 因为四边形ABCD是菱形，
所以$∠ A=∠ C$，$AB=CB=AD=CD$.
因为$BE=BF$，
所以$AB-BE=CB-BF$.
即$AE=CF$.
在$△ ADE$和$△ CDF$中，$\begin{cases} AD=CD,\\ ∠ A=∠ C,\\ AE=CF,\\ \end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CDF$（SAS）.
所以$DE=DF$.

3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交 DA，BC的延长线于点E，F，连接 BE，DF.
(1) 求证： $ △ A E O≌ △ C F O; $
(2) 若 EF=BD，BE=8，DE=16，求菱形ABCD的面积.

3.（1）证明 因为四边形ABCD是菱形，
所以$AO=CO$，$AD// BC$.
所以$DE// BF$.
所以$∠ AEO=∠ CFO$.
在$△ AEO$和$△ CFO$中，
$\begin{cases} ∠ AEO=∠ CFO,\\ ∠ AOE=∠ COF,\\ AO=CO,\\ \end{cases}$
所以$△ AEO≌△ CFO$（AAS）.
（2）解 因为四边形ABCD是菱形，
所以$AD=AB=BC=DC$.
由（1）可得$△ AEO≌△ CFO$.
所以$AE=CF$.
所以$AD+AE=BC+CF$.
即$DE=BF$.
因为$DE// BF$，
所以四边形EBFD是平行四边形.
因为$EF=BD$，
所以四边形EBFD是矩形.
所以$∠ DEB=90°$.
设$AD=x$，则$AB=x$，$AE=16-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，
$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$.
即$(16-x)^{2}+8^{2}=x^{2}$.
解得$x=10$.
所以$AD=10$.
所以$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=BE· AD=8×10=80$.

4. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，过点 D作 $ D H\bot A B $交 AB于点 H，连接 OH，若 $ O A=1 0 $ $ O H=6 $ ，则菱形 ABCD的面积为 ( )

A.120
B.240
C.80
D.160

4. A

5. 如图，菱形 ABCD的周长为20，面积为 24，P是对角线 BD上一点，分别作点 P到直线 AB，AD的垂线段 PE，PF，则 PE+PF等于_______.

5. 4.8