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6.借助计算器计算：
$11^2=\_\_\_\_\_\_$，$111^2=\_\_\_\_\_\_$，
$1111^2=\_\_\_\_\_\_$，$11111^2=\_\_\_\_\_\_$。
(1)试猜想$111111^2=\_\_\_\_\_\_$；
(2)不用计算器直接写出$\underbrace{111···11}_{9个1}^2$的
结果。
$11^2=\_\_\_\_\_\_$，$111^2=\_\_\_\_\_\_$，
$1111^2=\_\_\_\_\_\_$，$11111^2=\_\_\_\_\_\_$。
(1)试猜想$111111^2=\_\_\_\_\_\_$；
(2)不用计算器直接写出$\underbrace{111···11}_{9个1}^2$的
结果。
答案
6. 121 12 321 1 234 321 123 454 321
(1)12 345 654 321
(2)12 345 678 987 654 321
(1)12 345 654 321
(2)12 345 678 987 654 321
解析
【分析】
首先我们可以先用计算器计算出题目给出的前4个算式的结果，观察结果的数字排列特点：发现由n个1组成的数的平方，计算结果的数字是从1开始按自然数顺序依次递增到n，再从n依次递减回到1，呈对称排列，找到这个规律后就可以直接推导出后面问题的答案。
【解析】
先借助计算器计算前4个式子：
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=1234321$
$11111^2=123454321$
观察上述结果可总结规律：由k个1组成的数的平方，结果为从1开始依次递增到k，再从k依次递减到1的正整数。
(1) $111111$是6个1组成的数，根据规律，结果从1递增到6再递减到1，即$111111^2=12345654321$
(2) $\underbrace{111···11}_{9个1}$是9个1组成的数，根据规律，结果从1递增到9再递减到1，即结果为12345678987654321。
【答案】
121；12321；1234321；123454321
(1)12345654321
(2)12345678987654321
【知识点】
乘方运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要先通过计算得到部分结果，再从已知结果中总结共性规律，进而推导未知结果，重点考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
首先我们可以先用计算器计算出题目给出的前4个算式的结果，观察结果的数字排列特点：发现由n个1组成的数的平方，计算结果的数字是从1开始按自然数顺序依次递增到n，再从n依次递减回到1，呈对称排列，找到这个规律后就可以直接推导出后面问题的答案。
【解析】
先借助计算器计算前4个式子：
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=1234321$
$11111^2=123454321$
观察上述结果可总结规律：由k个1组成的数的平方，结果为从1开始依次递增到k，再从k依次递减到1的正整数。
(1) $111111$是6个1组成的数，根据规律，结果从1递增到6再递减到1，即$111111^2=12345654321$
(2) $\underbrace{111···11}_{9个1}$是9个1组成的数，根据规律，结果从1递增到9再递减到1，即结果为12345678987654321。
【答案】
121；12321；1234321；123454321
(1)12345654321
(2)12345678987654321
【知识点】
乘方运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要先通过计算得到部分结果，再从已知结果中总结共性规律，进而推导未知结果，重点考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
7.用计算器计算下列各式：
$6×7=$
$66×67=$
$666×667=$
$6\ 666×6\ 667=$
$66\ 666×66\ 667=$
观察上述结果，你发现了什么规律？
$6×7=$
42
；$66×67=$
4 422
；$666×667=$
444 222
；$6\ 666×6\ 667=$
44 442 222
；$66\ 666×66\ 667=$
4 444 422 222
。观察上述结果，你发现了什么规律？
答案
7. 42 4 422 444 222 44 442 222
4 444 422 222 规律略
4 444 422 222 规律略
解析
【分析】
解题时首先按照题目要求用计算器计算出每一个算式的结果，再观察因数的数字组成、位数与对应结果的数字组成、位数的关联，进而总结通用规律：先明确每个算式中两个因数的特征，第一个因数依次是1个6、2个6、3个6……n个6，第二个因数与第一个因数位数相同，最后一位为7，其余数位为6，再对应观察结果的数字排列特点即可找到规律。
【解析】
用计算器依次计算各算式：
1. $6×7=42$
2. $66×67=4422$
3. $666×667=444222$
4. $6666×6667=44442222$
5. $66666×66667=4444422222$
观察结果可总结规律：若两个因数均为n位数，第一个因数由n个6组成，第二个因数前(n-1)位是6、最后1位是7，则乘积为2n位数，前n位是n个4，后n位是n个2。
【答案】
42；4422；444222；44442222；4444422222；规律略
【知识点】
有理数乘法运算；数字规律探究
【点评】
本题既考查基础的计算能力，也考查归纳推理能力，通过计算简单算式、观察特征总结规律的思路，是数字探究类问题的常用解题方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先按照题目要求用计算器计算出每一个算式的结果，再观察因数的数字组成、位数与对应结果的数字组成、位数的关联，进而总结通用规律：先明确每个算式中两个因数的特征，第一个因数依次是1个6、2个6、3个6……n个6，第二个因数与第一个因数位数相同，最后一位为7，其余数位为6，再对应观察结果的数字排列特点即可找到规律。
【解析】
用计算器依次计算各算式：
1. $6×7=42$
2. $66×67=4422$
3. $666×667=444222$
4. $6666×6667=44442222$
5. $66666×66667=4444422222$
观察结果可总结规律：若两个因数均为n位数，第一个因数由n个6组成，第二个因数前(n-1)位是6、最后1位是7，则乘积为2n位数，前n位是n个4，后n位是n个2。
【答案】
42；4422；444222；44442222；4444422222；规律略
【知识点】
有理数乘法运算；数字规律探究
【点评】
本题既考查基础的计算能力，也考查归纳推理能力，通过计算简单算式、观察特征总结规律的思路，是数字探究类问题的常用解题方法。
【难度系数】
0.8
8.一张纸的厚度约为0.3 mm，对折一次后的厚度为$(2×0.3)\mathrm{mm}$，按照上面的规律，假设把这张纸对折32次后，它的厚度与珠穆朗玛峰的海拔8 848.86 m相比，哪个更高？
答案
8. 解:纸的厚度为$2^{32}×0.3≈1\ 288\ 490\ 189$(mm)$≈1\ 288\ 490$(m),比珠穆朗玛峰的海拔高。
解析
【分析】解题时先梳理对折厚度的变化规律：每对折1次，纸的厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，厚度为原厚度的$2^n$倍。解题步骤为：①根据规律写出对折32次的厚度表达式；②计算表达式的数值；③将厚度单位从毫米换算为米，与珠穆朗玛峰的海拔统一单位；④比较两者大小得出结论。
【解析】
解：由题意可知，对折n次后纸的厚度为$2^n × 0.3\ \mathrm{mm}$。
当$n=32$时，厚度为：
$2^{32} × 0.3 = 4294967296 × 0.3 = 1288490188.8\ \mathrm{mm}$
因为$1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{mm}$，换算单位得：
$1288490188.8\ \mathrm{mm} \approx 1288490\ \mathrm{m}$
比较大小可得：$1288490\ \mathrm{m} ＞ 8848.86\ \mathrm{m}$
【答案】对折32次后纸的厚度约为1288490 m，比珠穆朗玛峰的海拔高。
【知识点】乘方的实际应用；长度单位换算；有理数大小比较
【点评】本题结合生活情境考查乘方的应用，能直观体现乘方运算带来的“爆炸式增长”特点，解题的关键是准确归纳对折次数与厚度的数量关系，注意比较大小时要统一单位。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：由题意可知，对折n次后纸的厚度为$2^n × 0.3\ \mathrm{mm}$。
当$n=32$时，厚度为：
$2^{32} × 0.3 = 4294967296 × 0.3 = 1288490188.8\ \mathrm{mm}$
因为$1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{mm}$，换算单位得：
$1288490188.8\ \mathrm{mm} \approx 1288490\ \mathrm{m}$
比较大小可得：$1288490\ \mathrm{m} ＞ 8848.86\ \mathrm{m}$
【答案】对折32次后纸的厚度约为1288490 m，比珠穆朗玛峰的海拔高。
【知识点】乘方的实际应用；长度单位换算；有理数大小比较
【点评】本题结合生活情境考查乘方的应用，能直观体现乘方运算带来的“爆炸式增长”特点，解题的关键是准确归纳对折次数与厚度的数量关系，注意比较大小时要统一单位。
【难度系数】
0.7
