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1. 下面是某购物平台的两种图书促销方式：
方式一:满100元减50元.
方式二:单件打六折.
设某套书的原价为t元,考虑并解决下列问题:
(1)请根据t的不同取值范围,填写下表:
(2)请你求出当t为何值时,按两种方式购买支付的金额相同.
(3)当t为145时,按照(填“方式一”或“方式二”)购买更省钱.
方式一:满100元减50元.
方式二:单件打六折.
设某套书的原价为t元,考虑并解决下列问题:
(1)请根据t的不同取值范围,填写下表:
(2)请你求出当t为何值时,按两种方式购买支付的金额相同.
(3)当t为145时,按照(填“方式一”或“方式二”)购买更省钱.
答案
解：
(1)
| $t$ 的取值范围 | 按方式一购买需支付的金额/元 | 按方式二购买需支付的金额/元 |
| ---- | ---- | ---- |
| $t$ 小于100 | $t$ | $0.6t$ |
| $t$ 大于或等于100 | $t-50$ | $0.6t$ |
(2) 当$t＜100$时，令$t=0.6t$，解得$t=0$，不符合实际购买场景，舍去。
当$t\ge100$时，列方程：
$t-50=0.6t$
移项得：$t-0.6t=50$
合并同类项得：$0.4t=50$
系数化为1得：$t=125$
所以当$t=125$时，按两种方式购买支付的金额相同。
(3) 当$t=145$时，方式一需支付$145-50=95$元，方式二需支付$145×0.6=87$元，$87＜95$，因此按照方式二购买更省钱。
答：(2) 当$t$为125时，两种方式支付金额相同；(3) 选方式二更省钱。
(1)
| $t$ 的取值范围 | 按方式一购买需支付的金额/元 | 按方式二购买需支付的金额/元 |
| ---- | ---- | ---- |
| $t$ 小于100 | $t$ | $0.6t$ |
| $t$ 大于或等于100 | $t-50$ | $0.6t$ |
(2) 当$t＜100$时，令$t=0.6t$，解得$t=0$，不符合实际购买场景，舍去。
当$t\ge100$时，列方程：
$t-50=0.6t$
移项得：$t-0.6t=50$
合并同类项得：$0.4t=50$
系数化为1得：$t=125$
所以当$t=125$时，按两种方式购买支付的金额相同。
(3) 当$t=145$时，方式一需支付$145-50=95$元，方式二需支付$145×0.6=87$元，$87＜95$，因此按照方式二购买更省钱。
答：(2) 当$t$为125时，两种方式支付金额相同；(3) 选方式二更省钱。
解析
【分析】
本题是生活中的促销方案选择类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问先明确两种促销规则：方式一仅满100元减50元，不满100元无优惠；方式二无论金额多少均按原价的6折付款，分$t＜100$和$t\ge100$两种情况，分别写出对应付款金额即可。
2. 第(2)问对应第(1)问的两个分段分别列等式求解，再判断解是否符合对应分段的实际意义，舍去不符合要求的解即可得到结果。
3. 第(3)问将$t=145$分别代入两种付款方式的代数式计算，比较结果大小，金额更小的对应方式更省钱。
【解析】
(1) 按促销规则填写表格：
当$t＜100$时，方式一不满足满减条件，需支付$t$元；方式二打六折，需支付$0.6t$元。
当$t\ge100$时，方式一满足满减条件，需支付$(t-50)$元；方式二仍打六折，需支付$0.6t$元。
(2) 分情况讨论两种方式支付金额相同的情况：
① 当$t＜100$时，令$t=0.6t$，解得$t=0$，不符合实际购买的价格要求，舍去。
② 当$t\ge100$时，根据题意列方程：
$t - 50 = 0.6t$
移项得：$t - 0.6t = 50$
合并同类项得：$0.4t = 50$
系数化为1得：$t = 125$，符合$t\ge100$的条件。
综上，当$t=125$时，两种方式支付金额相同。
(3) 当$t=145$时：
按方式一支付金额：$145 - 50 = 95$（元）
按方式二支付金额：$145 × 0.6 = 87$（元）
因为$87 ＜ 95$，所以方式二更省钱。
【答案】
(1) 第一行依次填：$t$、$0.6t$；第二行依次填：$t-50$、$0.6t$
(2) 当$t=125$时，两种方式购买支付的金额相同
(3) 方式二
【知识点】
一元一次方程应用、方案优化、代数式求值
【点评】
本题结合日常购物促销的实际场景，考查了分段讨论的数学思想，以及列方程解决实际问题、代数式求值比较的能力，解题时要注意优惠规则的适用范围，避免忽略分段条件导致错误。
【难度系数】
0.8
本题是生活中的促销方案选择类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问先明确两种促销规则：方式一仅满100元减50元，不满100元无优惠；方式二无论金额多少均按原价的6折付款，分$t＜100$和$t\ge100$两种情况，分别写出对应付款金额即可。
2. 第(2)问对应第(1)问的两个分段分别列等式求解，再判断解是否符合对应分段的实际意义，舍去不符合要求的解即可得到结果。
3. 第(3)问将$t=145$分别代入两种付款方式的代数式计算，比较结果大小，金额更小的对应方式更省钱。
【解析】
(1) 按促销规则填写表格：
当$t＜100$时，方式一不满足满减条件，需支付$t$元；方式二打六折，需支付$0.6t$元。
当$t\ge100$时，方式一满足满减条件，需支付$(t-50)$元；方式二仍打六折，需支付$0.6t$元。
(2) 分情况讨论两种方式支付金额相同的情况：
① 当$t＜100$时，令$t=0.6t$，解得$t=0$，不符合实际购买的价格要求，舍去。
② 当$t\ge100$时，根据题意列方程：
$t - 50 = 0.6t$
移项得：$t - 0.6t = 50$
合并同类项得：$0.4t = 50$
系数化为1得：$t = 125$，符合$t\ge100$的条件。
综上，当$t=125$时，两种方式支付金额相同。
(3) 当$t=145$时：
按方式一支付金额：$145 - 50 = 95$（元）
按方式二支付金额：$145 × 0.6 = 87$（元）
因为$87 ＜ 95$，所以方式二更省钱。
【答案】
(1) 第一行依次填：$t$、$0.6t$；第二行依次填：$t-50$、$0.6t$
(2) 当$t=125$时，两种方式购买支付的金额相同
(3) 方式二
【知识点】
一元一次方程应用、方案优化、代数式求值
【点评】
本题结合日常购物促销的实际场景，考查了分段讨论的数学思想，以及列方程解决实际问题、代数式求值比较的能力，解题时要注意优惠规则的适用范围，避免忽略分段条件导致错误。
【难度系数】
0.8
2.某市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：
(1)某用户1月份共缴水费65元，则1月份用水多少吨？
(2)若该用户水表有故障，每次用水只有60%计入用水量，他在2月份交水费43.2元，
则该用户2月份实际应缴水费多少元？
(1)某用户1月份共缴水费65元，则1月份用水多少吨？
(2)若该用户水表有故障，每次用水只有60%计入用水量，他在2月份交水费43.2元，
则该用户2月份实际应缴水费多少元？
答案
解：
(1) 当用水量为40吨时，应缴水费为：
40×(1+0.2)=48（元）
因为65＞48，所以1月份用水量超过40吨。
设1月份用水x吨，
依题意得：
40×(1+0.2) + (x-40)×(1.5+0.2) = 65
48 + 1.7x - 68 = 65
1.7x = 85
x = 50
(2) 因为43.2＜48，所以水表计入的用水量未超过40吨。
设水表计入的用水量为y吨，
依题意得：
(1+0.2)y = 43.2
解得 y = 36
2月份实际用水量为：36÷60% = 60（吨）
实际应缴水费为：
40×(1+0.2) + (60-40)×(1.5+0.2) = 82（元）
答：1月份用水50吨，该用户2月份实际应缴水费82元。
(1) 当用水量为40吨时，应缴水费为：
40×(1+0.2)=48（元）
因为65＞48，所以1月份用水量超过40吨。
设1月份用水x吨，
依题意得：
40×(1+0.2) + (x-40)×(1.5+0.2) = 65
48 + 1.7x - 68 = 65
1.7x = 85
x = 50
(2) 因为43.2＜48，所以水表计入的用水量未超过40吨。
设水表计入的用水量为y吨，
依题意得：
(1+0.2)y = 43.2
解得 y = 36
2月份实际用水量为：36÷60% = 60（吨）
实际应缴水费为：
40×(1+0.2) + (60-40)×(1.5+0.2) = 82（元）
答：1月份用水50吨，该用户2月份实际应缴水费82元。
解析
【分析】
这是分段计费类应用题，解题思路如下：
(1) 首先计算分段点（40吨用水量）的应缴费用，和用户缴费65元对比，判断用水量是否超过40吨：若未超过，按每吨1+0.2元计费；若超过，40吨以内按1.2元/吨收费，超出部分按1.5+0.2=1.7元/吨收费，再设未知数列一元一次方程求解即可。
(2) 先对比缴费43.2元和40吨的费用48元，判断水表计入的用水量未超过40吨，先算出水表记录的水量，再根据“只有60%计入用水量”算出实际用水量，最后按收费标准计算实际应缴的费用。
【解析】
(1) 先计算用水量为40吨时的应缴费用：
$40×(1+0.2)=48$（元）
∵$65＞48$，
∴1月份用水量超过40吨。
设1月份用水$x$吨，根据收费规则列方程：
$40×(1+0.2) + (x-40)×(1.5+0.2) = 65$
化简得：$48 + 1.7x - 68 = 65$
移项合并得：$1.7x = 85$
解得：$x = 50$
(2)
∵$43.2＜48$，
∴水表计入的用水量未超过40吨。
设计入的用水量为$y$吨，列方程：
$(1+0.2)y = 43.2$
解得：$y=36$
则实际用水量为：$36÷60\% = 60$（吨）
实际应缴费用为：
$40×(1+0.2) + (60-40)×(1.5+0.2) = 48 + 34 = 82$（元）
【答案】
1月份用水50吨，该用户2月份实际应缴水费82元。
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的应用，百分数的应用
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，解题核心是先通过分段点的费用判断用水量所属的收费区间，再根据对应收费规则找等量关系列方程求解，第二问需注意区分计量水量和实际用水量的换算关系，避免混淆两者导致计算错误。
【难度系数】
0.7
这是分段计费类应用题，解题思路如下：
(1) 首先计算分段点（40吨用水量）的应缴费用，和用户缴费65元对比，判断用水量是否超过40吨：若未超过，按每吨1+0.2元计费；若超过，40吨以内按1.2元/吨收费，超出部分按1.5+0.2=1.7元/吨收费，再设未知数列一元一次方程求解即可。
(2) 先对比缴费43.2元和40吨的费用48元，判断水表计入的用水量未超过40吨，先算出水表记录的水量，再根据“只有60%计入用水量”算出实际用水量，最后按收费标准计算实际应缴的费用。
【解析】
(1) 先计算用水量为40吨时的应缴费用：
$40×(1+0.2)=48$（元）
∵$65＞48$，
∴1月份用水量超过40吨。
设1月份用水$x$吨，根据收费规则列方程：
$40×(1+0.2) + (x-40)×(1.5+0.2) = 65$
化简得：$48 + 1.7x - 68 = 65$
移项合并得：$1.7x = 85$
解得：$x = 50$
(2)
∵$43.2＜48$，
∴水表计入的用水量未超过40吨。
设计入的用水量为$y$吨，列方程：
$(1+0.2)y = 43.2$
解得：$y=36$
则实际用水量为：$36÷60\% = 60$（吨）
实际应缴费用为：
$40×(1+0.2) + (60-40)×(1.5+0.2) = 48 + 34 = 82$（元）
【答案】
1月份用水50吨，该用户2月份实际应缴水费82元。
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的应用，百分数的应用
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，解题核心是先通过分段点的费用判断用水量所属的收费区间，再根据对应收费规则找等量关系列方程求解，第二问需注意区分计量水量和实际用水量的换算关系，避免混淆两者导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3.春节期间，七(1)班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，明明与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)明明他们一共去了几个成人、几个学生？
(2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱，并说明理由；
(3)购完票后，明明发现七(2)班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为张小涛他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用。
(1)明明他们一共去了几个成人、几个学生？
(2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱，并说明理由；
(3)购完票后，明明发现七(2)班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为张小涛他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用。
答案
解：
(1) 设明明他们一共去了x个成人，则去了(12-x)个学生。
学生票单价为：$35×0.5=17.5$元
根据题意列方程：
$35x + 17.5(12 - x) = 350$
解得：$x=8$
学生人数为$12-8=4$
(2) 若直接购买16张团体票，所需费用为：
$35×0.6×16=336$元
因为$336＜350$，所以购买16张团体票更省钱。
(3) 张小涛一行共12名成人、8名学生，对比三种购票方案：
方案1：分别购买成人票和学生票，总费用为：
$12×35 + 8×17.5 = 560$元
方案2：全部购买20张团体票，总费用为：
$20×35×0.6 = 420$元
方案3：购买16张团体票，剩余4名学生购买学生票，总费用为：
$16×35×0.6 + 4×17.5 = 406$元
因为$406＜420＜560$，所以该方案最省钱。
答：(1) 明明他们一共去了8个成人，4个学生；(2) 购买16张团体票更省钱，费用336元低于原购票的350元；(3) 最省钱的方案是购买16张团体票和4张学生票，购票总费用为406元。
(1) 设明明他们一共去了x个成人，则去了(12-x)个学生。
学生票单价为：$35×0.5=17.5$元
根据题意列方程：
$35x + 17.5(12 - x) = 350$
解得：$x=8$
学生人数为$12-8=4$
(2) 若直接购买16张团体票，所需费用为：
$35×0.6×16=336$元
因为$336＜350$，所以购买16张团体票更省钱。
(3) 张小涛一行共12名成人、8名学生，对比三种购票方案：
方案1：分别购买成人票和学生票，总费用为：
$12×35 + 8×17.5 = 560$元
方案2：全部购买20张团体票，总费用为：
$20×35×0.6 = 420$元
方案3：购买16张团体票，剩余4名学生购买学生票，总费用为：
$16×35×0.6 + 4×17.5 = 406$元
因为$406＜420＜560$，所以该方案最省钱。
答：(1) 明明他们一共去了8个成人，4个学生；(2) 购买16张团体票更省钱，费用336元低于原购票的350元；(3) 最省钱的方案是购买16张团体票和4张学生票，购票总费用为406元。
解析
【分析】
(1) 求解成人和学生人数时，可设成人人数为未知数，利用总人数表示出学生人数，再根据“成人购票总费用+学生购票总费用=一共花费的350元”的等量关系列一元一次方程求解。
(2) 判断哪种购票方式更省钱，除了原有的分开购票方式，还需计算符合团体票购买规则的费用：团体票要求16人起售，因此直接购买16张团体票，将总费用和原花费350元对比，费用更低的方案更省钱。
(3) 为20人设计最优购票方案时，要枚举所有可行的购票方式：分别是成人买成人票、学生买学生票；所有人都买团体票；凑16人买团体票、剩余学生买学生票，计算三种方案的总费用后，选择费用最低的即可。
【解析】
(1) 设明明他们一共去了x个成人，则学生人数为$(12-x)$个。
学生票单价为：$35× 0.5=17.5$元
根据总费用列方程：
$35x + 17.5(12 - x) = 350$
解得：$x=8$
学生人数为$12-8=4$个。
(2) 购买16张团体票的总费用为：
$35× 0.6× 16=336$元
因为$336＜350$，所以购买16张团体票更省钱。
(3) 张小涛一行共12名成人、8名学生，分别计算三种方案的费用：
方案1：分别购买成人票和学生票，总费用为：
$12× 35 + 8× 17.5 = 560$元
方案2：全部购买20张团体票，总费用为：
$20× 35× 0.6 = 420$元
方案3：购买16张团体票，剩余4名学生购买学生票，总费用为：
$16× 35× 0.6 + 4× 17.5 = 406$元
因为$406＜420＜560$，所以方案3最省钱。
【答案】
(1) 一共去了8个成人，4个学生；
(2) 购买16张团体票更省钱；
(3) 最省钱的方案是购买16张团体票和4张学生票，购票总费用为406元。
【知识点】
一元一次方程应用、折扣计算、方案优化
【点评】
本题结合生活中的购票场景，既考查了一元一次方程的实际应用能力，也考查了分类讨论的思维，需要全面枚举所有可行的购票方案，通过计算对比得到最优解，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
(1) 求解成人和学生人数时，可设成人人数为未知数，利用总人数表示出学生人数，再根据“成人购票总费用+学生购票总费用=一共花费的350元”的等量关系列一元一次方程求解。
(2) 判断哪种购票方式更省钱，除了原有的分开购票方式，还需计算符合团体票购买规则的费用：团体票要求16人起售，因此直接购买16张团体票，将总费用和原花费350元对比，费用更低的方案更省钱。
(3) 为20人设计最优购票方案时，要枚举所有可行的购票方式：分别是成人买成人票、学生买学生票；所有人都买团体票；凑16人买团体票、剩余学生买学生票，计算三种方案的总费用后，选择费用最低的即可。
【解析】
(1) 设明明他们一共去了x个成人，则学生人数为$(12-x)$个。
学生票单价为：$35× 0.5=17.5$元
根据总费用列方程：
$35x + 17.5(12 - x) = 350$
解得：$x=8$
学生人数为$12-8=4$个。
(2) 购买16张团体票的总费用为：
$35× 0.6× 16=336$元
因为$336＜350$，所以购买16张团体票更省钱。
(3) 张小涛一行共12名成人、8名学生，分别计算三种方案的费用：
方案1：分别购买成人票和学生票，总费用为：
$12× 35 + 8× 17.5 = 560$元
方案2：全部购买20张团体票，总费用为：
$20× 35× 0.6 = 420$元
方案3：购买16张团体票，剩余4名学生购买学生票，总费用为：
$16× 35× 0.6 + 4× 17.5 = 406$元
因为$406＜420＜560$，所以方案3最省钱。
【答案】
(1) 一共去了8个成人，4个学生；
(2) 购买16张团体票更省钱；
(3) 最省钱的方案是购买16张团体票和4张学生票，购票总费用为406元。
【知识点】
一元一次方程应用、折扣计算、方案优化
【点评】
本题结合生活中的购票场景，既考查了一元一次方程的实际应用能力，也考查了分类讨论的思维，需要全面枚举所有可行的购票方案，通过计算对比得到最优解，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
