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2. 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：$4\ 123=4×10^3+1×10^2+2×10^1+3×10^0$（这里我们规定：$a≠0$时，$a^0=1$），又如：$\frac{1}{8}=0.125=1×\frac{1}{10}+2×\frac{1}{10^2}+5×\frac{1}{10^3}$。而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”。二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似。
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数。比如：$103=1×2^6+1×2^5+0×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，所以103用二进制数码表示是1100111，记为$103=(1100111)_2$。
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：$0.125=\frac{1}{8}=0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}$，所以$\frac{1}{8}$可以表示成二进制小数$(0.001)_2$，记为$\frac{1}{8}=(0.001)_2$。
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分子除以分母得到$\frac{1}{8}$的二进制小数表示：
由于$1=(1)_2$，$8=(1000)_2$，所以$\frac{1}{8}=\frac{(1)_2}{(1000)_2}$，而$\frac{(1)_2}{(1000)_2}=(1)_2÷(1000)_2$，可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：$\begin{array}{r} 0.001 \\ (1000)_2\enclose{longdiv}{1.000} \\ 1\ 000 \\ \hline 0 \end{array}$，所以$\frac{1}{8}=(0.001)_2$。
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：$0.\dot{3}=\frac{1}{3}=\frac{(1)_2}{(11)_2}=(1)_2÷(11)_2$，由$\begin{array}{r} 0.0101 \\ (11)_2\enclose{longdiv}{1.0000} \\ 11\ \ \ \ \ \\ \hline 100\ \ \ \\ ··· \end{array}$，可知$\frac{1}{3}=(0.\dot{0}\dot{1})_2$。
问题解决：(1)将十进制数35化成二进制数为________，二进制小数$(0.101)_2$化为十进制分数是________。
(2)将十进制分数化成二进制小数：$\frac{5}{32}=(\_\_\_\_\_\_)_2$。
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将$0.\dot{6}$化为分数形式。
设$x=0.\dot{6}=0.666\ 66······$，则$10x=6.\dot{6}=6.666\ 66······$，
故$10x - x=6$，即$x=\frac{2}{3}$，于是得到$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$。
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数。
例如：将二进制循环小数$(0.00\dot{1}0\dot{1})_2$化成十进制分数。
设$y=(0.00\dot{1}0\dot{1})_2$，则$2^3 y=(1.01\dot{1}0\dot{1})_2······$
请将上述过程补充完整。
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数。比如：$103=1×2^6+1×2^5+0×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，所以103用二进制数码表示是1100111，记为$103=(1100111)_2$。
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：$0.125=\frac{1}{8}=0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}$，所以$\frac{1}{8}$可以表示成二进制小数$(0.001)_2$，记为$\frac{1}{8}=(0.001)_2$。
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分子除以分母得到$\frac{1}{8}$的二进制小数表示：
由于$1=(1)_2$，$8=(1000)_2$，所以$\frac{1}{8}=\frac{(1)_2}{(1000)_2}$，而$\frac{(1)_2}{(1000)_2}=(1)_2÷(1000)_2$，可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：$\begin{array}{r} 0.001 \\ (1000)_2\enclose{longdiv}{1.000} \\ 1\ 000 \\ \hline 0 \end{array}$，所以$\frac{1}{8}=(0.001)_2$。
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：$0.\dot{3}=\frac{1}{3}=\frac{(1)_2}{(11)_2}=(1)_2÷(11)_2$，由$\begin{array}{r} 0.0101 \\ (11)_2\enclose{longdiv}{1.0000} \\ 11\ \ \ \ \ \\ \hline 100\ \ \ \\ ··· \end{array}$，可知$\frac{1}{3}=(0.\dot{0}\dot{1})_2$。
问题解决：(1)将十进制数35化成二进制数为________，二进制小数$(0.101)_2$化为十进制分数是________。
(2)将十进制分数化成二进制小数：$\frac{5}{32}=(\_\_\_\_\_\_)_2$。
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将$0.\dot{6}$化为分数形式。
设$x=0.\dot{6}=0.666\ 66······$，则$10x=6.\dot{6}=6.666\ 66······$，
故$10x - x=6$，即$x=\frac{2}{3}$，于是得到$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$。
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数。
例如：将二进制循环小数$(0.00\dot{1}0\dot{1})_2$化成十进制分数。
设$y=(0.00\dot{1}0\dot{1})_2$，则$2^3 y=(1.01\dot{1}0\dot{1})_2······$
请将上述过程补充完整。
答案
2. (1)$(100011)_2$ $\frac{5}{8}$ (2)$0.00101$
解:(1)$35=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$,
所以$35=(100011)_2$,
$(0.101)_2=1×\frac{1}{2^3}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^1}=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$.
(2)因为$\frac{5}{32}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}+0×\frac{1}{2^4}+1×\frac{1}{2^5}$,
所以$\frac{5}{32}=(0.00101)_2$.
因为$1=(1)_2$,$5=(101)_2$,所以$\frac{1}{5}=\frac{(1)_2}{(101)_2}=(1)_2÷(101)_2=(1÷101)_2=(0.0011)_2$.
(3)设$x=(0.00101)_2$,则$8x=8×(0.00101)_2$,
$2^3x=(1.01101)_2$,
$(2^3-1)x=(1.01)_2$,
$7x=1+2^{-2}$,
所以$x=\frac{5}{28}$,
即$(0.00101)_2=\frac{5}{28}$.
解:(1)$35=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$,
所以$35=(100011)_2$,
$(0.101)_2=1×\frac{1}{2^3}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^1}=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$.
(2)因为$\frac{5}{32}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}+0×\frac{1}{2^4}+1×\frac{1}{2^5}$,
所以$\frac{5}{32}=(0.00101)_2$.
因为$1=(1)_2$,$5=(101)_2$,所以$\frac{1}{5}=\frac{(1)_2}{(101)_2}=(1)_2÷(101)_2=(1÷101)_2=(0.0011)_2$.
(3)设$x=(0.00101)_2$,则$8x=8×(0.00101)_2$,
$2^3x=(1.01101)_2$,
$(2^3-1)x=(1.01)_2$,
$7x=1+2^{-2}$,
所以$x=\frac{5}{28}$,
即$(0.00101)_2=\frac{5}{28}$.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，解题需结合材料给出的进制转换规则，类比已学的十进制运算方法求解：
(1) 十进制整数转二进制：将十进制数拆分为多个2的整数次幂之和，各幂次的系数（0或1）从高到低排列即为二进制数；二进制小数转十进制分数：将每一位数码乘对应位的权重（小数点后第n位权重为$\frac{1}{2^n}$），相加化简即可。
(2) 十进制分数转二进制小数：将分数拆分为多个$\frac{1}{2^n}$形式的数相加，对应位系数为1，其余为0，按顺序写出小数点后数码即可。
(3) 二进制循环小数转十进制分数：类比十进制循环小数化分数的方法，先乘2的幂次让循环节对齐，两式相减消去循环部分，再将得到的二进制数转十进制求解即可。
【解析】
(1) 拆分35为2的幂次和：$35=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$，因此35的二进制表示为$(100011)_2$；
二进制小数$(0.101)_2$转十进制：$(0.101)_2=1×\frac{1}{2^1}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$。
(2) 拆分$\frac{5}{32}$：$\frac{5}{32}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}+0×\frac{1}{2^4}+1×\frac{1}{2^5}$，因此对应二进制小数为$0.00101$，即$\frac{5}{32}=(0.00101)_2$。
(3) 设$y=(0.00\dot{1}0\dot{1})_2$，两边同乘$2^3=8$得：$2^3y=(1.01\dot{1}0\dot{1})_2$，
两式相减消去循环部分：$2^3y - y=(1.01\dot{1}0\dot{1})_2 - (0.00\dot{1}0\dot{1})_2$，
化简得$7y=(1.01)_2$，
将$(1.01)_2$转为十进制：$(1.01)_2=1×2^0 + 1×\frac{1}{2^2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，
解得$y=\frac{5}{4}÷7=\frac{5}{28}$，即$(0.00\dot{1}0\dot{1})_2=\frac{5}{28}$。
【答案】
(1) $(100011)_2$；$\frac{5}{8}$
(2) $0.00101$
(3) $(0.00\dot{1}0\dot{1})_2=\frac{5}{28}$
【知识点】
进制转换，循环小数化分数，乘方的应用
【点评】
本题以进制转换为背景，考查阅读理解能力和知识类比迁移能力，解题核心是准确理解材料中的转换规则，将陌生的二进制运算类比熟悉的十进制运算求解，是典型的信息给予类题目。
【难度系数】
0.65
本题为新定义类题型，解题需结合材料给出的进制转换规则，类比已学的十进制运算方法求解：
(1) 十进制整数转二进制：将十进制数拆分为多个2的整数次幂之和，各幂次的系数（0或1）从高到低排列即为二进制数；二进制小数转十进制分数：将每一位数码乘对应位的权重（小数点后第n位权重为$\frac{1}{2^n}$），相加化简即可。
(2) 十进制分数转二进制小数：将分数拆分为多个$\frac{1}{2^n}$形式的数相加，对应位系数为1，其余为0，按顺序写出小数点后数码即可。
(3) 二进制循环小数转十进制分数：类比十进制循环小数化分数的方法，先乘2的幂次让循环节对齐，两式相减消去循环部分，再将得到的二进制数转十进制求解即可。
【解析】
(1) 拆分35为2的幂次和：$35=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$，因此35的二进制表示为$(100011)_2$；
二进制小数$(0.101)_2$转十进制：$(0.101)_2=1×\frac{1}{2^1}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$。
(2) 拆分$\frac{5}{32}$：$\frac{5}{32}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}+0×\frac{1}{2^4}+1×\frac{1}{2^5}$，因此对应二进制小数为$0.00101$，即$\frac{5}{32}=(0.00101)_2$。
(3) 设$y=(0.00\dot{1}0\dot{1})_2$，两边同乘$2^3=8$得：$2^3y=(1.01\dot{1}0\dot{1})_2$，
两式相减消去循环部分：$2^3y - y=(1.01\dot{1}0\dot{1})_2 - (0.00\dot{1}0\dot{1})_2$，
化简得$7y=(1.01)_2$，
将$(1.01)_2$转为十进制：$(1.01)_2=1×2^0 + 1×\frac{1}{2^2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，
解得$y=\frac{5}{4}÷7=\frac{5}{28}$，即$(0.00\dot{1}0\dot{1})_2=\frac{5}{28}$。
【答案】
(1) $(100011)_2$；$\frac{5}{8}$
(2) $0.00101$
(3) $(0.00\dot{1}0\dot{1})_2=\frac{5}{28}$
【知识点】
进制转换，循环小数化分数，乘方的应用
【点评】
本题以进制转换为背景，考查阅读理解能力和知识类比迁移能力，解题核心是准确理解材料中的转换规则，将陌生的二进制运算类比熟悉的十进制运算求解，是典型的信息给予类题目。
【难度系数】
0.65
