5. 如图28－1－4，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点坐标分别为A(2，－2)，B(3，－2)，C(5，0)，D(1，0)，将梯形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到梯形A₁B₁C₁D.
(1)在平面直角坐标系中画出梯形A₁B₁C₁D，则A₁的坐标为，B₁的坐标为，C₁的坐标为；
(2)求点C旋转到点C₁的路线长(结果保留π).

解:(1)梯形$A_1B_1C_1D$如答图28－1－1.
(3,1) (3,2) (1,4)
(2)$2π$

【分析】要解决本题，首先需明确旋转的核心要素：旋转中心为点D，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°。对于求旋转后点的坐标，需运用点绕定点旋转90°的坐标变换规则；求点C旋转的路线长，实质是求对应弧长，需先确定弧所在圆的半径和圆心角，再用弧长公式计算。
【解析】(1) 已知各点坐标：D(1,0)，A(2,-2)，B(3,-2)，C(5,0)。点绕点(a,b)逆时针旋转90°的坐标变换公式为：新坐标$(x',y')=(a-(y-b), b+(x-a))$。
对A(2,-2)：$x'=1-(-2-0)=3$，$y'=0+(2-1)=1$，得$A_1(3,1)$；
对B(3,-2)：$x'=1-(-2-0)=3$，$y'=0+(3-1)=2$，得$B_1(3,2)$；
对C(5,0)：$x'=1-(0-0)=1$，$y'=0+(5-1)=4$，得$C_1(1,4)$；
据此画出梯形$A_1B_1C_1D$。
(2) 点C旋转到$C_1$的路线是弧$CC_1$，圆心为D，半径$r=DC=5-1=4$，圆心角为90°。根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数），代入得：$l=\frac{90π×4}{180}=2π$。
【答案】(1) 梯形$A_1B_1C_1D$如答图，$A_1(3,1)$，$B_1(3,2)$，$C_1(1,4)$；(2) $2π$
【知识点】图形的旋转、弧长公式、平面直角坐标系中点的坐标变换
【点评】本题考查旋转变换的坐标确定及弧长计算，属于基础题，关键是掌握旋转坐标变换规律和弧长公式，需注意旋转中心和方向的准确性。
【难度系数】0.5

1. 如图28－1－5，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M₁N₁P₁，则其旋转中心是()


A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

B

【分析】
要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转中心到各对应点的距离相等，即旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。解题时，先连接两组对应点，再分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，最后结合网格判断该交点对应选项中的哪个点。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上：
1. 连接对应点M与M₁，作线段MM₁的垂直平分线；
2. 连接对应点N与N₁，作线段NN₁的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为旋转中心，观察网格可知，该交点是点B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质、垂直平分线的应用
【点评】
本题考查旋转中心的确定方法，核心是利用“旋转中心在对应点连线的垂直平分线上”这一性质，通过作垂直平分线找到交点即可，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7

2.如图28－1－6，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转$30°$得到正方形$AB'C'D'$，则图中阴影部分的面积为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$1-\frac{\sqrt{3}}{4}$

C

【分析】
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影面积等于原正方形面积减去旋转后与原正方形重叠部分的面积。连接AE，利用旋转性质得到边和角的关系，通过HL定理证明三角形全等，结合旋转角求出相关角度，再利用直角三角形的边角关系算出重叠部分面积，最终得到阴影面积。
【解析】
设$B'C'$与$CD$交于点$E$，连接$AE$。
∵正方形$ABCD$绕点$A$逆时针旋转$30°$得到正方形$AB'C'D'$，
∴$AD=AB'=1$，$∠D=∠AB'E=90°$，$∠BAB'=30°$，
在$Rt△ADE$和$Rt△AB'E$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB'\\AE=AE\end{array} $
∴$Rt△ADE≌Rt△AB'E$（HL），
∴$∠DAE=∠B'AE$，
又
∵$∠DAB'=90°-∠BAB'=60°$，
∴$∠DAE=60°÷2=30°$，
在$Rt△ADE$中，$DE=AD·tan30°=1×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴重叠部分面积$S_{重叠}=2×S_{△ADE}=2×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵正方形$ABCD$面积$S_{正方形}=1×1=1$，
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{重叠}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
图形旋转的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题结合正方形旋转考查面积计算，核心是通过全等三角形确定重叠区域的形状，利用旋转角推导角度关系，属于几何面积计算的常规题型，需熟练掌握旋转性质与直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.5