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23. (1) 如图，AB是$\odot O$的直径，AC与$\odot O$交于点F，弦AD平分$∠ BAC$，点E在AC上，连接DE，DB，________. 求证：______；
从①DE与$\odot O$相切；②$DE⊥ AC$中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整(填写序号)，并完成证明过程；
(2) 在(1)的前提下，若$AB=6$，$∠ BAD=30°$，求阴影部分的面积.
从①DE与$\odot O$相切；②$DE⊥ AC$中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整(填写序号)，并完成证明过程；
(2) 在(1)的前提下，若$AB=6$，$∠ BAD=30°$，求阴影部分的面积.
答案
23. (1) 若选择:①作为条件,②作为结论,如图
,AB是$\odot O$的直径,AC与$\odot O$交于点F,弦AD平分$∠BAC$,点E在AC上,连接DE,DB,DE与$\odot O$相切,求证:$DE⊥AC$,证明:连接OD,$\because DE$与$\odot O$相切于点D,$\therefore ∠ODE=90°.∵ AD$平分$∠BAC,∴ ∠EAD=∠DAB.∵ OA=OD,∴ ∠DAB=∠ADO$,$\therefore ∠EAD=∠ADO,∴ AE// DO,∴ ∠AED=180°-∠ODE=90°,∴ DE⊥AC$;若选择:②作为条件,①作为结论,如图,AB是$\odot O$的直径,AC与$\odot O$交于点F,弦AD平分$∠BAC$,点E在AC上,连接DE,DB,$DE⊥AC$,求证:$DE$与$\odot O$相切,证明:连接OD,$\because DE⊥AC,∴ ∠AED=90°$,AD平分$∠BAC,∴ ∠EAD=∠DAB.∵ OA=OD,∴ ∠DAB=∠ADO,∴ ∠EAD=∠ADO,∴ AE// DO,∴ ∠ODE=180°-∠AED=90°.∵ OD$是$\odot O$的半径,$\therefore DE$与$\odot O$相切；（2）连接OF,DF,$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ADB=90°.∵ AB=6$,$∠BAD=30°,∴ BD=\frac{1}{2}AB=3,AD=\sqrt{3}BD=3\sqrt{3}.∵ AD$平分$∠BAC,∴ ∠EAD=∠DAB=30°$,在$Rt△AED$中,$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{3\sqrt{3}}{2},AE=\sqrt{3}DE=\frac{9}{2}.∵ ∠EAD=∠DAB=30°,∴ ∠DOB=2∠DAB=60°,∠DOF=2∠EAD=60°.∵ OD=OF,∴ △DOF$是等边三角形,$\therefore ∠ODF=60°,∴ ∠DOB=∠ODF=60°,∴ DF// AB$,$\therefore △ADF$的面积$=△ODF$的面积,$\therefore$ 阴影部分的面积$=△AED$的面积$-$扇形$DOF$的面积$=\frac{1}{2}AE·DE-\frac{60π×3^2}{360}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3π}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{8}-\frac{3π}{2}=\frac{27\sqrt{3}-12π}{8}$,$\therefore$ 阴影部分的面积为$\frac{27\sqrt{3}-12π}{8}$。解析
【分析】
(1) 第一问选条件证结论，解题核心是作辅助线连接OD：涉及圆的切线相关问题时，连接圆心和切点（或待证切点）是常用辅助线。首先利用AD是角平分线得到角相等，再结合同圆半径相等得到OA=OD，推出等边对等角，进而得到内错角相等，判定AE与OD平行；最后结合已知条件（切线则∠ODE=90°，或DE⊥AC则∠AED=90°），由平行线同旁内角互补推出待证结论即可。
(2) 第二问求不规则阴影部分面积，采用割补法转化为规则图形面积差：首先利用直径所对圆周角为直角、含30°角的直角三角形的性质，计算Rt△AED的各边长，求出其面积；再通过圆心角定理和等边三角形的判定得到DF//AB，可知△ADF与△ODF面积相等，因此阴影部分面积=Rt△AED的面积 - 扇形DOF的面积，代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 示例1：选①作为已知条件，②作为结论。
证明：连接OD，
∵ DE与$\odot O$相切于点D，
∴ $∠ ODE=90°$，
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=∠ DAB$，
∵ OA=OD，
∴ $∠ DAB=∠ ADO$，
∴ $∠ EAD=∠ ADO$，
∴ $AE// DO$，
∴ $∠ AED=180°-∠ ODE=90°$，即$DE⊥ AC$。
示例2：选②作为已知条件，①作为结论。
证明：连接OD，
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ AED=90°$，
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=∠ DAB$，
∵ OA=OD，
∴ $∠ DAB=∠ ADO$，
∴ $∠ EAD=∠ ADO$，
∴ $AE// DO$，
∴ $∠ ODE=180°-∠ AED=90°$，
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ DE与$\odot O$相切。
(2) 解：连接OF、DF，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，
∵ $AB=6$，$∠ BAD=30°$，
∴ $BD=\frac{1}{2}AB=3$，$AD=\sqrt{3}BD=3\sqrt{3}$，
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=∠ DAB=30°$，
在$Rt△ AED$中，$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$AE=\sqrt{3}DE=\frac{9}{2}$，
∵ $∠ EAD=∠ DAB=30°$，
∴ $∠ DOB=2∠ DAB=60°$，$∠ DOF=2∠ EAD=60°$，
∵ OD=OF，
∴ $△ DOF$是等边三角形，
∴ $∠ ODF=60°$，
∴ $∠ DOB=∠ ODF=60°$，
∴ $DF// AB$，
∴ $△ ADF$的面积=$△ ODF$的面积，
∴ 阴影部分面积=$S_{△ AED}-S_{扇形DOF}$
=$\frac{1}{2}× AE× DE-\frac{60π×3^2}{360}$
=$\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3π}{2}$
=$\frac{27\sqrt{3}}{8}-\frac{3π}{2}$
=$\frac{27\sqrt{3}-12π}{8}$
【答案】
(1) 可补充为：①DE与$\odot O$相切；$DE⊥ AC$（或②$DE⊥ AC$；DE与$\odot O$相切），证明过程见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{27\sqrt{3}-12π}{8}$。
（辅助线参考）
【知识点】
切线的判定与性质，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合题，第一问考查切线相关的证明，关键是掌握“遇切线相关问题，连接圆心与对应点”的辅助线作法，结合角平分线、平行线的性质即可推导；第二问考查不规则图形面积的计算，通过割补法将阴影面积转化为直角三角形与扇形的面积差是解题核心，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问选条件证结论，解题核心是作辅助线连接OD：涉及圆的切线相关问题时，连接圆心和切点（或待证切点）是常用辅助线。首先利用AD是角平分线得到角相等，再结合同圆半径相等得到OA=OD，推出等边对等角，进而得到内错角相等，判定AE与OD平行；最后结合已知条件（切线则∠ODE=90°，或DE⊥AC则∠AED=90°），由平行线同旁内角互补推出待证结论即可。
(2) 第二问求不规则阴影部分面积，采用割补法转化为规则图形面积差：首先利用直径所对圆周角为直角、含30°角的直角三角形的性质，计算Rt△AED的各边长，求出其面积；再通过圆心角定理和等边三角形的判定得到DF//AB，可知△ADF与△ODF面积相等，因此阴影部分面积=Rt△AED的面积 - 扇形DOF的面积，代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 示例1：选①作为已知条件，②作为结论。
证明：连接OD，
∵ DE与$\odot O$相切于点D，
∴ $∠ ODE=90°$，
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=∠ DAB$，
∵ OA=OD，
∴ $∠ DAB=∠ ADO$，
∴ $∠ EAD=∠ ADO$，
∴ $AE// DO$，
∴ $∠ AED=180°-∠ ODE=90°$，即$DE⊥ AC$。
示例2：选②作为已知条件，①作为结论。
证明：连接OD，
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ AED=90°$，
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=∠ DAB$，
∵ OA=OD，
∴ $∠ DAB=∠ ADO$，
∴ $∠ EAD=∠ ADO$，
∴ $AE// DO$，
∴ $∠ ODE=180°-∠ AED=90°$，
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ DE与$\odot O$相切。
(2) 解：连接OF、DF，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，
∵ $AB=6$，$∠ BAD=30°$，
∴ $BD=\frac{1}{2}AB=3$，$AD=\sqrt{3}BD=3\sqrt{3}$，
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=∠ DAB=30°$，
在$Rt△ AED$中，$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$AE=\sqrt{3}DE=\frac{9}{2}$，
∵ $∠ EAD=∠ DAB=30°$，
∴ $∠ DOB=2∠ DAB=60°$，$∠ DOF=2∠ EAD=60°$，
∵ OD=OF，
∴ $△ DOF$是等边三角形，
∴ $∠ ODF=60°$，
∴ $∠ DOB=∠ ODF=60°$，
∴ $DF// AB$，
∴ $△ ADF$的面积=$△ ODF$的面积，
∴ 阴影部分面积=$S_{△ AED}-S_{扇形DOF}$
=$\frac{1}{2}× AE× DE-\frac{60π×3^2}{360}$
=$\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3π}{2}$
=$\frac{27\sqrt{3}}{8}-\frac{3π}{2}$
=$\frac{27\sqrt{3}-12π}{8}$
【答案】
(1) 可补充为：①DE与$\odot O$相切；$DE⊥ AC$（或②$DE⊥ AC$；DE与$\odot O$相切），证明过程见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{27\sqrt{3}-12π}{8}$。
（辅助线参考
）【知识点】
切线的判定与性质，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合题，第一问考查切线相关的证明，关键是掌握“遇切线相关问题，连接圆心与对应点”的辅助线作法，结合角平分线、平行线的性质即可推导；第二问考查不规则图形面积的计算，通过割补法将阴影面积转化为直角三角形与扇形的面积差是解题核心，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
24. (2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:① 一张直径为10 cm 的圆形滤纸;② 一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1) 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2) 当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留 π)
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:① 一张直径为10 cm 的圆形滤纸;② 一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1) 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2) 当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留 π)
答案
24. （1）滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下,方法一:如图1
作出示意图,由题意知,$AB=AC=BC=7$ cm,折叠后$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5(cm)$,$\because$ 底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π(cm),∴ DE·π=5π$ cm,$\therefore DE=5$ cm,$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB},∴ △CDE∽ △CAB,∴$ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 方法二:由$2πr=\frac{nπR}{180}$得,$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$ 图2中,$n_1=90°×2=180°$,图3中,$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2},∴ n_2=180°.∵ n_1=n_2,∴$ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. （2）由(1)知$CD=DE=CE=5$ cm,$\therefore ∠CDE=60°$,过C作$CF⊥DE$于点F,则$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}$ cm,在$Rt△CDF$中,$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm,$\therefore V=π·(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π(cm^3)$.答:圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}π(cm^3)$。解析
【分析】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题时先将实际问题转化为圆锥相关的几何模型：
第(1)问判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸围成的圆锥与漏斗圆锥的侧面是否匹配，有两种思路：一是计算两个圆锥侧面展开图的圆心角，若圆心角相等则可贴合；二是证明两个圆锥的轴截面三角形相似，即可说明侧面斜率一致、能紧贴。
第(2)问求滤纸圆锥的体积，先根据已知条件求出圆锥的底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
方法一：作两个圆锥的轴截面示意图，由题意可知，漏斗的母线长$AC=BC=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径$AB=7\ \mathrm{cm}$；圆形滤纸直径为$10\ \mathrm{cm}$，折叠后围成圆锥的母线长$CD=CE=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
滤纸围成圆锥的底面周长等于原圆形滤纸周长的$\frac{1}{2}$，即底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π\ \mathrm{cm}$，设该圆锥底面直径为$DE$，则$π·DE=5π$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$。
因此$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{5}{7}$，可得$△ CDE ∽ △ CAB$，说明两个圆锥的轴截面相似，侧面倾斜角度一致，故滤纸能紧贴漏斗内壁。
方法二：圆锥侧面展开图的圆心角$n$满足公式$2πr=\frac{nπR}{180}$，变形可得$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$（$r$为圆锥底面半径，$R$为母线长）。
滤纸折叠后围成的圆锥，侧面展开图是半圆，圆心角$n_1=180°$；
漏斗的底面半径$r=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$，母线长$R=7\ \mathrm{cm}$，代入公式得$\frac{n_2}{360}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$，解得$n_2=180°$。
因为$n_1=n_2$，两个圆锥的侧面展开图完全匹配，故滤纸能紧贴漏斗内壁。
(2) 由(1)可知，滤纸围成的圆锥母线长为$5\ \mathrm{cm}$，底面直径$DE=5\ \mathrm{cm}$，即底面半径$r=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
过点$C$作$CF⊥DE$于点$F$，则$CF$为圆锥的高，$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$，代入参数得：
$V=\frac{1}{3}×π×(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下,方法一:如图1作出示意图,由题意知,$AB=AC=BC=7$ cm,折叠后$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5(cm)$,$\because$ 底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π(cm),∴ DE·π=5π$ cm,$\therefore DE=5$ cm,$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB},∴ △CDE∽ △CAB,∴$ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 方法二:由$2πr=\frac{nπR}{180}$得,$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$ 图2中,$n_1=90°×2=180°$,图3中,$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2},∴ n_2=180°.∵ n_1=n_2,∴$ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. （2）由(1)知$CD=DE=CE=5$ cm,$\therefore ∠CDE=60°$,过C作$CF⊥DE$于点F,则$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}$ cm,在$Rt△CDF$中,$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm,$\therefore V=π·(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π(cm^3)$.答:圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}π(cm^3)$。
【知识点】
圆锥的计算、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用
【点评】
本题以生活中的过滤操作作为命题背景，考查了圆锥展开图、相似三角形、圆锥体积计算等知识点，要求学生能够将实际问题转化为几何模型求解，对学生的建模能力和知识应用能力有一定要求，解题的关键是找准滤纸圆锥和漏斗圆锥的参数对应关系。
【难度系数】
0.6
本题是结合生活场景的几何应用题，解题时先将实际问题转化为圆锥相关的几何模型：
第(1)问判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸围成的圆锥与漏斗圆锥的侧面是否匹配，有两种思路：一是计算两个圆锥侧面展开图的圆心角，若圆心角相等则可贴合；二是证明两个圆锥的轴截面三角形相似，即可说明侧面斜率一致、能紧贴。
第(2)问求滤纸圆锥的体积，先根据已知条件求出圆锥的底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
方法一：
作两个圆锥的轴截面示意图，由题意可知，漏斗的母线长$AC=BC=7\ \mathrm{cm}$，漏斗口直径$AB=7\ \mathrm{cm}$；圆形滤纸直径为$10\ \mathrm{cm}$，折叠后围成圆锥的母线长$CD=CE=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。滤纸围成圆锥的底面周长等于原圆形滤纸周长的$\frac{1}{2}$，即底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π\ \mathrm{cm}$，设该圆锥底面直径为$DE$，则$π·DE=5π$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$。
因此$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{5}{7}$，可得$△ CDE ∽ △ CAB$，说明两个圆锥的轴截面相似，侧面倾斜角度一致，故滤纸能紧贴漏斗内壁。
方法二：圆锥侧面展开图的圆心角$n$满足公式$2πr=\frac{nπR}{180}$，变形可得$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$（$r$为圆锥底面半径，$R$为母线长）。
滤纸折叠后围成的圆锥，侧面展开图是半圆，圆心角$n_1=180°$；
漏斗的底面半径$r=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$，母线长$R=7\ \mathrm{cm}$，代入公式得$\frac{n_2}{360}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$，解得$n_2=180°$。
因为$n_1=n_2$，两个圆锥的侧面展开图完全匹配，故滤纸能紧贴漏斗内壁。
(2) 由(1)可知，滤纸围成的圆锥母线长为$5\ \mathrm{cm}$，底面直径$DE=5\ \mathrm{cm}$，即底面半径$r=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
过点$C$作$CF⊥DE$于点$F$，则$CF$为圆锥的高，$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$，代入参数得：
$V=\frac{1}{3}×π×(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下,方法一:如图1
作出示意图,由题意知,$AB=AC=BC=7$ cm,折叠后$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5(cm)$,$\because$ 底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π(cm),∴ DE·π=5π$ cm,$\therefore DE=5$ cm,$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB},∴ △CDE∽ △CAB,∴$ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 方法二:由$2πr=\frac{nπR}{180}$得,$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$ 图2中,$n_1=90°×2=180°$,图3中,$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2},∴ n_2=180°.∵ n_1=n_2,∴$ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. （2）由(1)知$CD=DE=CE=5$ cm,$\therefore ∠CDE=60°$,过C作$CF⊥DE$于点F,则$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}$ cm,在$Rt△CDF$中,$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm,$\therefore V=π·(\frac{5}{2})^2×\frac{5\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}=\frac{125\sqrt{3}}{24}π(cm^3)$.答:圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}π(cm^3)$。【知识点】
圆锥的计算、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用
【点评】
本题以生活中的过滤操作作为命题背景，考查了圆锥展开图、相似三角形、圆锥体积计算等知识点，要求学生能够将实际问题转化为几何模型求解，对学生的建模能力和知识应用能力有一定要求，解题的关键是找准滤纸圆锥和漏斗圆锥的参数对应关系。
【难度系数】
0.6
