登录
4.某市体育馆将举办明星足球赛,为此体育馆推出两种团体购票方案(设购票张数为x,购票总价为y元).方案一:购票总价由如图所示的折线OAB所表示的函数关系确定;方案二:提供8000元赞助后,每张票的票价为50元.当两种方案购票总价相同时,x的值为 
(
A.80
B.120
C.160
D.200
(D
)A.80
B.120
C.160
D.200
答案
4.D
解析
【分析】
解题需先分别求出两种购票方案的购票总价y与购票张数x的函数关系式，再令两个函数的y值相等求解x，注意验证解是否符合对应区间的取值范围。首先根据图像分析方案一的收费规则：购票不超过100张时，可直接算出单张票价；购票超过100张时，先算出超过部分的单张票价，据此写出方案一的分段函数。再根据方案二的规则直接写出其函数表达式，最后联立方程求解即可。
【解析】
1. 求方案一的函数关系式：
当$0≤ x≤100$时，每张票价为$12000÷100=120$元，因此$y_1=120x$；
当$x＞100$时，超过100张的部分每张票价为$(13200-12000)÷(120-100)=60$元，因此$y_1=12000+60(x-100)$，化简得$y_1=60x+6000$。
2. 求方案二的函数关系式：
由题意，赞助8000元后每张票50元，因此$y_2=50x+8000$。
3. 令$y_1=y_2$分情况求解：
若$0≤ x≤100$，则$120x=50x+8000$，解得$x\approx114.3$，超出该区间范围，舍去；
若$x＞100$，则$60x+6000=50x+8000$，移项得$10x=2000$，解得$x=200$，符合取值要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，分段函数，一元一次方程求解
【点评】
本题结合实际购票场景考查一次函数的应用，解题的核心是准确列出两个方案的函数表达式，求解后要注意验证解是否符合对应分段的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
解题需先分别求出两种购票方案的购票总价y与购票张数x的函数关系式，再令两个函数的y值相等求解x，注意验证解是否符合对应区间的取值范围。首先根据图像分析方案一的收费规则：购票不超过100张时，可直接算出单张票价；购票超过100张时，先算出超过部分的单张票价，据此写出方案一的分段函数。再根据方案二的规则直接写出其函数表达式，最后联立方程求解即可。
【解析】
1. 求方案一的函数关系式：
当$0≤ x≤100$时，每张票价为$12000÷100=120$元，因此$y_1=120x$；
当$x＞100$时，超过100张的部分每张票价为$(13200-12000)÷(120-100)=60$元，因此$y_1=12000+60(x-100)$，化简得$y_1=60x+6000$。
2. 求方案二的函数关系式：
由题意，赞助8000元后每张票50元，因此$y_2=50x+8000$。
3. 令$y_1=y_2$分情况求解：
若$0≤ x≤100$，则$120x=50x+8000$，解得$x\approx114.3$，超出该区间范围，舍去；
若$x＞100$，则$60x+6000=50x+8000$，移项得$10x=2000$，解得$x=200$，符合取值要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，分段函数，一元一次方程求解
【点评】
本题结合实际购票场景考查一次函数的应用，解题的核心是准确列出两个方案的函数表达式，求解后要注意验证解是否符合对应分段的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
5.【本土素材】酪丹子是内蒙古极具地方风味的“硬核”奶食，它不仅是味觉的体验，更是游牧民族生活智慧的体现.为满足消费者需求，某超市购进甲、乙两种品牌小袋包装的酪丹子并全部销售.两种品牌的酪丹子的进价和售价如表：
(1)若该超市购进甲、乙两种品牌酪丹子共300袋，共需资金5800元，则甲、乙两种品牌酪丹子各购进多少袋？
(2)若该超市计划购进甲、乙两种品牌酪丹子共600袋，且甲品牌酪丹子进货数量不超过乙品牌酪丹子进货数量的一半，该超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
(1)若该超市购进甲、乙两种品牌酪丹子共300袋，共需资金5800元，则甲、乙两种品牌酪丹子各购进多少袋？
(2)若该超市计划购进甲、乙两种品牌酪丹子共600袋，且甲品牌酪丹子进货数量不超过乙品牌酪丹子进货数量的一半，该超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案
5.解：(1)设甲品牌酪丹子购进 $a$ 袋,乙品牌酪丹子购进 $b$ 袋.
根据题意,得 $\begin{cases}a + b=300,\\18a + 22b=5800,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=200,\\b=100.\end{cases}$
因此,甲品牌酪丹子购进 200 袋,乙品牌酪丹子购进 100 袋.
(2)设购进甲品牌酪丹子 $x$ 袋,获得的利润为 $W$ 元,则购进乙品牌酪丹子$(600-x)$袋.
根据题意,得 $x≤ \dfrac{1}{2}(600-x)$,
解得 $x≤ 200$.
$W=(26-18)x+(26-22)(600-x)$,即$W=4x+2400$.
因为 $4＞0$,所以 $W$ 随 $x$ 的增大而增大.
因为 $x≤ 200$,
所以当 $x=200$ 时,$W$ 最大,$W_{\mathrm{最大}}=4×200+2400=3200$,$600-x=400$.
因此,购进甲品牌酪丹子 200 袋、乙品牌酪丹子 400 袋才能获得最大利润,最大利润是 3 200 元.
根据题意,得 $\begin{cases}a + b=300,\\18a + 22b=5800,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=200,\\b=100.\end{cases}$
因此,甲品牌酪丹子购进 200 袋,乙品牌酪丹子购进 100 袋.
(2)设购进甲品牌酪丹子 $x$ 袋,获得的利润为 $W$ 元,则购进乙品牌酪丹子$(600-x)$袋.
根据题意,得 $x≤ \dfrac{1}{2}(600-x)$,
解得 $x≤ 200$.
$W=(26-18)x+(26-22)(600-x)$,即$W=4x+2400$.
因为 $4＞0$,所以 $W$ 随 $x$ 的增大而增大.
因为 $x≤ 200$,
所以当 $x=200$ 时,$W$ 最大,$W_{\mathrm{最大}}=4×200+2400=3200$,$600-x=400$.
因此,购进甲品牌酪丹子 200 袋、乙品牌酪丹子 400 袋才能获得最大利润,最大利润是 3 200 元.
解析
【分析】
(1) 第一问包含甲、乙购进袋数两个未知量，对应两个等量关系：两种酪丹子总袋数为300袋、总进价为5800元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2) 第二问求最大利润，首先设甲品牌购进数量为x袋，即可用含x的式子表示乙的购进数量；先根据“甲进货数量不超过乙的一半”列不等式求出x的取值范围，再根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”列出利润关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和x的取值范围，就能求出最大利润及对应的进货方案。
【解析】
(1) 设甲品牌酪丹子购进 $a$ 袋，乙品牌酪丹子购进 $b$ 袋。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b=300\\18a + 22b=5800\end{cases}$
将$b=300-a$代入第二个方程，得$18a+22(300-a)=5800$，解得$a=200$，则$b=300-200=100$。
(2) 设购进甲品牌酪丹子 $x$ 袋，获得的总利润为 $W$ 元，则购进乙品牌酪丹子$(600-x)$袋。
根据题意列不等式：$x≤ \dfrac{1}{2}(600-x)$，解得$x≤200$。
甲每袋利润为$26-18=8$元，乙每袋利润为$26-22=4$元，因此总利润：
$W=8x+4(600-x)=4x+2400$
因为$4＞0$，所以$W$随$x$的增大而增大，当$x=200$时$W$取得最大值：
$W_{\mathrm{最大}}=4×200+2400=3200$（元）
此时乙品牌购进数量为$600-200=400$袋。
【答案】
(1) 甲品牌酪丹子购进200袋，乙品牌酪丹子购进100袋；
(2) 购进甲品牌酪丹子200袋、乙品牌酪丹子400袋时能获得最大利润，最大利润是3200元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合地方特色素材出题，贴近生活，核心考查实际问题转化为数学模型的能力，解题时需准确提取等量、不等关系，分别建立方程、不等式、函数模型，再结合一次函数性质求解，属于常规代数综合应用题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问包含甲、乙购进袋数两个未知量，对应两个等量关系：两种酪丹子总袋数为300袋、总进价为5800元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2) 第二问求最大利润，首先设甲品牌购进数量为x袋，即可用含x的式子表示乙的购进数量；先根据“甲进货数量不超过乙的一半”列不等式求出x的取值范围，再根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”列出利润关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和x的取值范围，就能求出最大利润及对应的进货方案。
【解析】
(1) 设甲品牌酪丹子购进 $a$ 袋，乙品牌酪丹子购进 $b$ 袋。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b=300\\18a + 22b=5800\end{cases}$
将$b=300-a$代入第二个方程，得$18a+22(300-a)=5800$，解得$a=200$，则$b=300-200=100$。
(2) 设购进甲品牌酪丹子 $x$ 袋，获得的总利润为 $W$ 元，则购进乙品牌酪丹子$(600-x)$袋。
根据题意列不等式：$x≤ \dfrac{1}{2}(600-x)$，解得$x≤200$。
甲每袋利润为$26-18=8$元，乙每袋利润为$26-22=4$元，因此总利润：
$W=8x+4(600-x)=4x+2400$
因为$4＞0$，所以$W$随$x$的增大而增大，当$x=200$时$W$取得最大值：
$W_{\mathrm{最大}}=4×200+2400=3200$（元）
此时乙品牌购进数量为$600-200=400$袋。
【答案】
(1) 甲品牌酪丹子购进200袋，乙品牌酪丹子购进100袋；
(2) 购进甲品牌酪丹子200袋、乙品牌酪丹子400袋时能获得最大利润，最大利润是3200元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合地方特色素材出题，贴近生活，核心考查实际问题转化为数学模型的能力，解题时需准确提取等量、不等关系，分别建立方程、不等式、函数模型，再结合一次函数性质求解，属于常规代数综合应用题。
【难度系数】
0.7
