1. 如图，$AB // CD$，$AD$与$BC$相交于点$E$，$∠ A = ∠ CBD$.
(1)求证：$CD^2 = BC · CE$；
(2)若$CD=1$，$BD=2$，$AB=3$，求$DE$的长.

1.(1)【证明】
∵AB//CD,
∴∠A=∠ADC.
∵∠A=∠CBD,
∴∠ADC=∠CBD.
又
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBD.
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{CD}$. $\therefore CD^2 = BC · CE$.
(2)【解】
∵∠EAB=∠EDC,∠AEB=∠DEC,
∴△CDE∽△BAE. $\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BE}$.
∵CD=1,AB=3,
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{3}$.
设$CE=x$,则$BE=3x$,$\therefore BC=4x$.
∵$CD^2=BC · CE$,$\therefore 1=4x · x$,解得 $x=\frac{1}{2}$(负值已舍去).$\therefore CE=\frac{1}{2}$.
∵△CDE∽△CBD,$\therefore \frac{DE}{BD}=\frac{CE}{CD}$,
即$\frac{DE}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1}$,解得 $DE=1$.
点方法 运用三点定形法时,要设法找出比例式或等积式中所含的几个字母,是否存在可由“三点”确定两个相似三角形,且式子中所有点要在这两个三角形中,“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法.

2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,M是边BC上的一个动点(不与点B,C重合),连接AM,AN=AM,且$∠ MAN=90°$,连接MN交AC于点P,连接CN.求证:
(1)$△ ABM≌△ ACN$;
(2)$MN^2=2AP· AB$.

2.【证明】(1)
∵∠BAC=90°,∠MAN=90°,
∴∠BAM=∠CAN.
∵AB=AC,AM=AN,
∴△ABM≌△ACN.
(2)
∵AM=AN,∠MAN=90°,
∴∠ANM=45°,$MN=\sqrt{2}AN$.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=45°.
∴∠B=∠ANM.
又
∵∠BAM=∠CAN,
∴△ABM∽△ANP.
∴$\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AP}$. $\therefore AM · AN=AB · AP$,
即$AN^2=AB · AP$.
$\therefore MN^2=2AP · AB$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点D,E是AC的中点,延长ED交AB的延长线于点F.求证:$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$.

3.【证明】
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在$Rt△ADC$中,E是斜边AC的中点,
∴$DE=CE=\frac{1}{2}AC$. $\therefore ∠C=∠1$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠C=∠2.
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠C. $\therefore ∠2=∠BAD$.
又
∵∠F=∠F,
∴△FDB∽△FAD. $\therefore \frac{DB}{AD}=\frac{DF}{AF}$.
∵∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠C,
∴△ABD∽△CAD.
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AB}{AC}$. $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$.
点技巧 当所证比例式中的线段所在的两个三角形不相似时,需要找到中间比.

4. 如图，CE是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作$BG⊥ AP$于点G，交CE于点D，求证：$CE^2 = PE· DE$。

4.【证明】如图.
∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴∠ACE+∠BCE=90°,∠CEA=∠CEB=90°.
∴∠ACE+∠CAE=90°.
∴∠CAE=∠BCE.
∴△ACE∽△CBE. $\therefore \frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$.
$\therefore CE^2=AE · BE$.
∵BG⊥AP,
∴∠DGP=90°=∠DEB.
又
∵∠1=∠2,
∴∠P=∠3.
又
∵∠AEP=∠DEB=90°,
∴△AEP∽△DEB.
∴$\frac{PE}{BE}=\frac{AE}{DE}$. $\therefore PE · DE=AE · BE$.
$\therefore CE^2 = PE · DE$.