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4.（南通通州区）某工厂要加工660个零件，甲组单独完成需要30天，乙组单独完成需要20天。若两组合作完成，则几天可以完成？
（1）为解决上面的问题，欢欢、明明、乐乐分别列了三道不同的算式，如下：
上面三种方法中，正确的是（
请在下面写出你的评判依据。
（2）请你选择一种方法列式计算。
（1）为解决上面的问题，欢欢、明明、乐乐分别列了三道不同的算式，如下：
上面三种方法中，正确的是（
①③
）。（填序号）请在下面写出你的评判依据。
（2）请你选择一种方法列式计算。
答案
(1) ①③
欢欢用零件总数除以两组每天实际加工的零件数之和,是正确的。明明算式中的$\frac{1}{30}$和$\frac{1}{20}$是把工作总量看作1时的效率,不能直接和具体的零件个数 660 相除,所以错误。乐乐把工作总量看作1,用1除以两组的效率和,是正确的
(2) 答案不唯一,如选择③
$1÷(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})=12$(天)
答:12 天可以完成。
欢欢用零件总数除以两组每天实际加工的零件数之和,是正确的。明明算式中的$\frac{1}{30}$和$\frac{1}{20}$是把工作总量看作1时的效率,不能直接和具体的零件个数 660 相除,所以错误。乐乐把工作总量看作1,用1除以两组的效率和,是正确的
(2) 答案不唯一,如选择③
$1÷(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})=12$(天)
答:12 天可以完成。
解析
【分析】
解决本题要先明确工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率之和，有两种解题思路：一是用具体的总零件数计算，先分别求出甲、乙两组每天加工的具体零件数，求和得到合作的日加工量，再用总零件数除以日加工量得到合作天数；二是把工作总量看作单位“1”计算，先求出甲、乙两组每天分别完成总工作量的几分之几（即工作效率），求和得到合作效率，再用单位“1”除以合作效率得到合作天数。根据这两种思路即可判断三个算式的正误，再选择正确方法计算即可。
【解析】
(1) 逐个分析三个算式：
①欢欢的算式：$\frac{660}{30}$是甲组每天加工的零件数，$\frac{660}{20}$是乙组每天加工的零件数，二者相加是两组合作每天加工的总零件数，用总零件数660除以合作日加工量，符合“工作时间=工作总量÷工作效率和”的关系，计算逻辑正确。
②明明的算式：$\frac{1}{30}$和$\frac{1}{20}$是把工作总量看作单位“1”时的工作效率，对应的工作总量是1，和分子的具体零件数660不匹配，数量对应关系错误，算式不成立。
③乐乐的算式：把总工作量看作单位“1”，$\frac{1}{30}$是甲组的工作效率，$\frac{1}{20}$是乙组的工作效率，二者相加是合作的工作效率，用1除以合作效率，符合工程问题的计算逻辑，正确。
因此正确的是①③。
(2) 选择乐乐的方法③计算：
先计算括号内的效率和：
$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{2}{60}+\frac{3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$
再计算合作时间：
$1÷\frac{1}{12}=12$（天）
【答案】
(1) ①③；评判依据：欢欢用零件总数除以两组每天实际加工的零件数之和，符合工作时间的计算逻辑，正确；明明算式中分数效率对应的工作总量是1，与分子的具体零件数660不对应，错误；乐乐把工作总量看作单位1，用1除以两组效率和，符合工程问题计算逻辑，正确。
(2) 示例：选择方法③，$1÷(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})=12$（天），答：12天可以完成。
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算
【点评】
本题考查工程问题的两种常规解法，解题时要注意工作总量和工作效率的对应关系，避免出现二者不匹配的错误，熟练掌握核心数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解决本题要先明确工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率之和，有两种解题思路：一是用具体的总零件数计算，先分别求出甲、乙两组每天加工的具体零件数，求和得到合作的日加工量，再用总零件数除以日加工量得到合作天数；二是把工作总量看作单位“1”计算，先求出甲、乙两组每天分别完成总工作量的几分之几（即工作效率），求和得到合作效率，再用单位“1”除以合作效率得到合作天数。根据这两种思路即可判断三个算式的正误，再选择正确方法计算即可。
【解析】
(1) 逐个分析三个算式：
①欢欢的算式：$\frac{660}{30}$是甲组每天加工的零件数，$\frac{660}{20}$是乙组每天加工的零件数，二者相加是两组合作每天加工的总零件数，用总零件数660除以合作日加工量，符合“工作时间=工作总量÷工作效率和”的关系，计算逻辑正确。
②明明的算式：$\frac{1}{30}$和$\frac{1}{20}$是把工作总量看作单位“1”时的工作效率，对应的工作总量是1，和分子的具体零件数660不匹配，数量对应关系错误，算式不成立。
③乐乐的算式：把总工作量看作单位“1”，$\frac{1}{30}$是甲组的工作效率，$\frac{1}{20}$是乙组的工作效率，二者相加是合作的工作效率，用1除以合作效率，符合工程问题的计算逻辑，正确。
因此正确的是①③。
(2) 选择乐乐的方法③计算：
先计算括号内的效率和：
$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{2}{60}+\frac{3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$
再计算合作时间：
$1÷\frac{1}{12}=12$（天）
【答案】
(1) ①③；评判依据：欢欢用零件总数除以两组每天实际加工的零件数之和，符合工作时间的计算逻辑，正确；明明算式中分数效率对应的工作总量是1，与分子的具体零件数660不对应，错误；乐乐把工作总量看作单位1，用1除以两组效率和，符合工程问题计算逻辑，正确。
(2) 示例：选择方法③，$1÷(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})=12$（天），答：12天可以完成。
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算
【点评】
本题考查工程问题的两种常规解法，解题时要注意工作总量和工作效率的对应关系，避免出现二者不匹配的错误，熟练掌握核心数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75
5.（南通海门区）代驾让不方便开车的人群多了一点安全。下表是某代驾公司的计费标准。（不足1千米按1千米计算）
某天凌晨1:00，王叔叔向该代驾公司叫了一名代驾，共支付代驾费92.5元，此次代驾最多行驶了多少千米？
某天凌晨1:00，王叔叔向该代驾公司叫了一名代驾，共支付代驾费92.5元，此次代驾最多行驶了多少千米？
答案
$4×(12-3)=36$(元) $92.5-18-36=38.5$(元)
$38.5÷(4+1.5)+12=19$(千米)
答:此次代驾最多行驶了 19 千米。
$38.5÷(4+1.5)+12=19$(千米)
答:此次代驾最多行驶了 19 千米。
解析
【分析】
首先确定代驾时间所属的计费时段：凌晨1:00属于00:00~06:59的收费时段，需按照该时段的规则计费。收费共分为三段：①3千米及以内收起步价18元；②超过3千米且不超过12千米的部分，每千米收4元；③超过12千米的部分，每千米收(4+1.5)元。解题时先算出前两段的总费用，用总支付费用减去前两段费用得到超过12千米部分的总费用，再除以对应单价算出超过12千米的里程，最后加上12千米即可得到最多行驶的总里程。
【解析】
首先确定计费时段：凌晨1:00属于00:00~06:59的计费区间。
1. 计算超过起步里程到12千米部分的费用：
$4×(12-3)=36$（元）
2. 计算超过12千米部分的总费用：
$92.5-18-36=38.5$（元）
3. 计算超过12千米的里程，再求总里程：
超过12千米部分每千米单价为$4+1.5=5.5$元，总里程为：
$38.5÷5.5+12=19$（千米）
【答案】
此次代驾最多行驶了19千米。
【知识点】
分段计费、小数四则运算、计费规则应用
【点评】
本题结合代驾收费的生活场景设置，解题核心是先准确匹配对应时段的计费标准，再按照里程分段规则逐段核算费用，通过总费用反推行驶里程，解题时需注意区分不同里程段的单价差异，避免混淆不同时段的收费要求。
【难度系数】
0.6
首先确定代驾时间所属的计费时段：凌晨1:00属于00:00~06:59的收费时段，需按照该时段的规则计费。收费共分为三段：①3千米及以内收起步价18元；②超过3千米且不超过12千米的部分，每千米收4元；③超过12千米的部分，每千米收(4+1.5)元。解题时先算出前两段的总费用，用总支付费用减去前两段费用得到超过12千米部分的总费用，再除以对应单价算出超过12千米的里程，最后加上12千米即可得到最多行驶的总里程。
【解析】
首先确定计费时段：凌晨1:00属于00:00~06:59的计费区间。
1. 计算超过起步里程到12千米部分的费用：
$4×(12-3)=36$（元）
2. 计算超过12千米部分的总费用：
$92.5-18-36=38.5$（元）
3. 计算超过12千米的里程，再求总里程：
超过12千米部分每千米单价为$4+1.5=5.5$元，总里程为：
$38.5÷5.5+12=19$（千米）
【答案】
此次代驾最多行驶了19千米。
【知识点】
分段计费、小数四则运算、计费规则应用
【点评】
本题结合代驾收费的生活场景设置，解题核心是先准确匹配对应时段的计费标准，再按照里程分段规则逐段核算费用，通过总费用反推行驶里程，解题时需注意区分不同里程段的单价差异，避免混淆不同时段的收费要求。
【难度系数】
0.6
6.（无锡惠山区）按要求在方格纸上画图，并完成填空。
（1）将涂色长方形按1：2的比缩小，画出缩小后的图形。缩小后的图形与原来图形的面积比是()。
（2）图中点O是圆的圆心，N是圆上的一点。用数对表示出点O、点N的位置。
O( , ) N( , )
（3）如果每个小方格的边长表示1厘米，点M在点O的北偏西60°方向3厘米处，在图中标出点M的位置。顺次连接点O，N，M，O，围成的图形按边分是()三角形。
（1）将涂色长方形按1：2的比缩小，画出缩小后的图形。缩小后的图形与原来图形的面积比是()。
（2）图中点O是圆的圆心，N是圆上的一点。用数对表示出点O、点N的位置。
O( , ) N( , )
（3）如果每个小方格的边长表示1厘米，点M在点O的北偏西60°方向3厘米处，在图中标出点M的位置。顺次连接点O，N，M，O，围成的图形按边分是()三角形。
答案
(1)
1:4(2) O(13,6) N(10,6)
(3)
等腰解析
【分析】
1. 解决第一问：首先明确图形按比缩小是指边长按给定比例缩小，面积比是边长比的平方。先测量原长方形的长和宽，计算出缩小后的长和宽，画出缩小图形后即可推导面积比。
2. 解决第二问：回忆数对表示位置的规则：先列后行，即第一个数对应水平方向的列数，第二个数对应竖直方向的行数，分别找到O、N两点对应的列数和行数即可写出数对。
3. 解决第三问：先根据方向（北偏西60°）和距离（3厘米）确定M点的位置并标注；再观察围成的三角形的边长关系：OM和ON长度均为3厘米，两条边相等，按边分类即可得出结果。
【解析】
(1) 观察原长方形：横向占6-2=4格，纵向占6-4=2格，即原长4格、宽2格。按1:2缩小后，长为$4×\frac{1}{2}=2$格，宽为$2×\frac{1}{2}=1$格，画出对应缩小后的长方形。图形缩放时，面积比等于边长比的平方，因此缩小后和原图形的面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即1:4。
(2) 数对第一个数表示列（从左往右数），第二个数表示行（从下往上数）：点O在第13列第6行，记作(13,6)；点N在第10列第6行，记作(10,6)。
(3) 以O为观测点，向北（向上）偏西（向左）60°方向，量取3格（3厘米）的位置标注M点。ON长度为13-10=3厘米，OM长度也为3厘米，三角形ONM有两条边长度相等，按边分属于等腰三角形。
【答案】
(1) 1:4
(2) O(13,6) N(10,6)
(3) 等腰
【知识点】
图形的缩放、数对与位置、三角形分类
【点评】
本题综合了作图题和基础概念填空题，既考查动手操作能力，也考查对图形缩放性质、数对规则、三角形分类等知识点的理解应用，侧重基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7
1. 解决第一问：首先明确图形按比缩小是指边长按给定比例缩小，面积比是边长比的平方。先测量原长方形的长和宽，计算出缩小后的长和宽，画出缩小图形后即可推导面积比。
2. 解决第二问：回忆数对表示位置的规则：先列后行，即第一个数对应水平方向的列数，第二个数对应竖直方向的行数，分别找到O、N两点对应的列数和行数即可写出数对。
3. 解决第三问：先根据方向（北偏西60°）和距离（3厘米）确定M点的位置并标注；再观察围成的三角形的边长关系：OM和ON长度均为3厘米，两条边相等，按边分类即可得出结果。
【解析】
(1) 观察原长方形：横向占6-2=4格，纵向占6-4=2格，即原长4格、宽2格。按1:2缩小后，长为$4×\frac{1}{2}=2$格，宽为$2×\frac{1}{2}=1$格，画出对应缩小后的长方形。图形缩放时，面积比等于边长比的平方，因此缩小后和原图形的面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即1:4。
(2) 数对第一个数表示列（从左往右数），第二个数表示行（从下往上数）：点O在第13列第6行，记作(13,6)；点N在第10列第6行，记作(10,6)。
(3) 以O为观测点，向北（向上）偏西（向左）60°方向，量取3格（3厘米）的位置标注M点。ON长度为13-10=3厘米，OM长度也为3厘米，三角形ONM有两条边长度相等，按边分属于等腰三角形。
【答案】
(1)
1:4(2) O(13,6) N(10,6)
(3)
等腰【知识点】
图形的缩放、数对与位置、三角形分类
【点评】
本题综合了作图题和基础概念填空题，既考查动手操作能力，也考查对图形缩放性质、数对规则、三角形分类等知识点的理解应用，侧重基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7
7.（泰州兴化）我国古代建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。仔细观察下图，可以通过计算发现外方与内方的面积比是（
2:1
）。其实，只要把内方绕它的中心旋转一下，就能清楚地看出外方和内方之间的关系，请画出旋转后的内方。答案
$2:1$
解析 假设圆的直径为 2r(即外方的边长为 2r),则外方的面积是 $2r×2r=4r^2$。因为内方的对角线长度等于圆的直径,所以内方的面积是 $2r×r÷2×2=2r^2$,外方与内方的面积比是 $4r^2:2r^2=2:1$。把内方绕中心旋转 $45°$ 后,它的四个顶点会正好落在外方四条边的中点上,此时可以看出内方能被两条对角线分成 4 个相同的等腰直角三角形,而外方可以看作由 8 个这样的等腰直角三角形组成,所以外方与内方的面积比是 $2:1$。
解析
【分析】
解决这道题的核心是找到外方、圆、内方三者之间的等量关系：圆的直径等于外方的边长，同时也等于内方的对角线长度。我们可以先设定一个参数表示圆的直径，分别计算出外方和内方的面积后再求比值；旋转内方时，只需将内方绕中心旋转45°，让它的四个顶点落在外方四条边的中点即可，旋转后能更直观地看出两个正方形的面积关系。
【解析】
假设圆的直径为2r，那么外方的边长与圆的直径相等，即外方边长为2r。
1. 计算外方面积：
$S_{\mathrm{外方}}=2r×2r=4r^2$
2. 计算内方面积：
内方的对角线长度等于圆的直径2r，将内方沿对角线分成2个完全相同的三角形，每个三角形的底为2r，高为圆的半径r。
单个三角形面积：$2r×r÷2=r^2$
内方总面积：$S_{\mathrm{内方}}=r^2×2=2r^2$
3. 计算面积比：
$S_{\mathrm{外方}}:S_{\mathrm{内方}}=4r^2:2r^2=2:1$
将内方绕中心旋转45°，得到的旋转后图形如下：
【答案】
$2:1$
【知识点】
正方形面积计算，圆与正方形的关系，比的化简
【点评】
本题结合我国古代建筑的经典设计出题，既考查了组合图形的面积计算能力，也考查了图形的旋转转化思维，解题的关键是抓住外方边长、内方对角线都与圆的直径相等这一核心关系。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是找到外方、圆、内方三者之间的等量关系：圆的直径等于外方的边长，同时也等于内方的对角线长度。我们可以先设定一个参数表示圆的直径，分别计算出外方和内方的面积后再求比值；旋转内方时，只需将内方绕中心旋转45°，让它的四个顶点落在外方四条边的中点即可，旋转后能更直观地看出两个正方形的面积关系。
【解析】
假设圆的直径为2r，那么外方的边长与圆的直径相等，即外方边长为2r。
1. 计算外方面积：
$S_{\mathrm{外方}}=2r×2r=4r^2$
2. 计算内方面积：
内方的对角线长度等于圆的直径2r，将内方沿对角线分成2个完全相同的三角形，每个三角形的底为2r，高为圆的半径r。
单个三角形面积：$2r×r÷2=r^2$
内方总面积：$S_{\mathrm{内方}}=r^2×2=2r^2$
3. 计算面积比：
$S_{\mathrm{外方}}:S_{\mathrm{内方}}=4r^2:2r^2=2:1$
将内方绕中心旋转45°，得到的旋转后图形如下：
【答案】
$2:1$
【知识点】
正方形面积计算，圆与正方形的关系，比的化简
【点评】
本题结合我国古代建筑的经典设计出题，既考查了组合图形的面积计算能力，也考查了图形的旋转转化思维，解题的关键是抓住外方边长、内方对角线都与圆的直径相等这一核心关系。
【难度系数】
0.7
