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1. 下列从左到右的变形是因式分解的是( )。
A. $(x - 3)(x + 4)=x^{2}+x - 12$
B. $x^{2}-10x + 25=(x - 5)^{2}$
C. $(x + 7)(x - 7)=x^{2}-49$
D. $4a^{2}-b^{2}+10a - 5b=(2a + b)(2a - b)+5(2a - b)$
A. $(x - 3)(x + 4)=x^{2}+x - 12$
B. $x^{2}-10x + 25=(x - 5)^{2}$
C. $(x + 7)(x - 7)=x^{2}-49$
D. $4a^{2}-b^{2}+10a - 5b=(2a + b)(2a - b)+5(2a - b)$
答案
B
2. 用提公因式法分解因式时,从多项式$9x^{2}y - 36xy^{2}+3xy$中提出的公因式是________。
答案
$3xy$
3. 下列因式分解正确的是( )。
A. $x^{4}-8x^{2}+16=(x - 4)^{2}$
B. $-x^{2}+x-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(2x - 1)^{2}$
C. $a(x - y)-b(y - x)=(x - y)(a - b)$
D. $a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a - b)(a + b)$
A. $x^{4}-8x^{2}+16=(x - 4)^{2}$
B. $-x^{2}+x-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(2x - 1)^{2}$
C. $a(x - y)-b(y - x)=(x - y)(a - b)$
D. $a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a - b)(a + b)$
答案
D
4. 已知代数式$3x^{2}-4x + 6$的值为$9$,则$x^{2}-\frac{4}{3}x + 6$的值为( )。
A. $18$
B. $12$
C. $9$
D. $7$
A. $18$
B. $12$
C. $9$
D. $7$
答案
D
5. 已知$x^{2}-6x + 9+y^{2}=0$,则$x^{3}-2y$的值为________。
答案
$27$
6. 分解因式:
(1) $-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z + 15x^{2}yz$;
(2) $6a^{3}-54a$;
(3) $2x^{3}-8x^{2}y + 8xy^{2}$;
(4) $(3x + y)^{2}-(x - 3y)^{2}$;
(5) $x^{4}-1$。
(1) $-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z + 15x^{2}yz$;
(2) $6a^{3}-54a$;
(3) $2x^{3}-8x^{2}y + 8xy^{2}$;
(4) $(3x + y)^{2}-(x - 3y)^{2}$;
(5) $x^{4}-1$。
答案
【解析】：
(1) 首先找出各项的公因式，各项系数的最大公因数是$5$，相同字母$x$的最低次幂是$x$，$y$的最低次幂是$y$，$z$的最低次幂是$z$，所以公因式是$-5xyz$，然后提取公因式可得：
$-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z + 15x^{2}yz=-5xyz(2x^{2}yz^{2}+7y^{2}-3x)$。
(2) 先提取公因式$6a$，得到$6a^{3}-54a = 6a(a^{2}-9)$，再利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，其中$a=a$，$b = 3$，进一步分解$a^{2}-9=(a + 3)(a - 3)$，所以$6a^{3}-54a=6a(a + 3)(a - 3)$。
(3) 先提取公因式$2x$，得到$2x^{3}-8x^{2}y + 8xy^{2}=2x(x^{2}-4xy + 4y^{2})$，再利用完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，其中$a=x$，$b = 2y$，进一步分解$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$，所以$2x^{3}-8x^{2}y + 8xy^{2}=2x(x - 2y)^{2}$。
(4) 利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 3x + y$，$b=x - 3y$，则$(3x + y)^{2}-(x - 3y)^{2}=[(3x + y)+(x - 3y)][(3x + y)-(x - 3y)]=(4x - 2y)(2x + 4y)$，再提取公因式$2$，得到$(4x - 2y)(2x + 4y)=2(2x - y)\times2(x + 2y)=4(2x - y)(x + 2y)$。
(5) 利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)$，再对$x^{2}-1$利用平方差公式继续分解，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，所以$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x + 1)(x - 1)$。
【答案】：(1)$-5xyz(2x^{2}yz^{2}+7y^{2}-3x)$；(2)$6a(a + 3)(a - 3)$；(3)$2x(x - 2y)^{2}$；(4)$4(2x - y)(x + 2y)$；(5)$(x^{2}+1)(x + 1)(x - 1)$
(1) 首先找出各项的公因式，各项系数的最大公因数是$5$，相同字母$x$的最低次幂是$x$，$y$的最低次幂是$y$，$z$的最低次幂是$z$，所以公因式是$-5xyz$，然后提取公因式可得：
$-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z + 15x^{2}yz=-5xyz(2x^{2}yz^{2}+7y^{2}-3x)$。
(2) 先提取公因式$6a$，得到$6a^{3}-54a = 6a(a^{2}-9)$，再利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，其中$a=a$，$b = 3$，进一步分解$a^{2}-9=(a + 3)(a - 3)$，所以$6a^{3}-54a=6a(a + 3)(a - 3)$。
(3) 先提取公因式$2x$，得到$2x^{3}-8x^{2}y + 8xy^{2}=2x(x^{2}-4xy + 4y^{2})$，再利用完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，其中$a=x$，$b = 2y$，进一步分解$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$，所以$2x^{3}-8x^{2}y + 8xy^{2}=2x(x - 2y)^{2}$。
(4) 利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 3x + y$，$b=x - 3y$，则$(3x + y)^{2}-(x - 3y)^{2}=[(3x + y)+(x - 3y)][(3x + y)-(x - 3y)]=(4x - 2y)(2x + 4y)$，再提取公因式$2$，得到$(4x - 2y)(2x + 4y)=2(2x - y)\times2(x + 2y)=4(2x - y)(x + 2y)$。
(5) 利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)$，再对$x^{2}-1$利用平方差公式继续分解，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，所以$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x + 1)(x - 1)$。
【答案】：(1)$-5xyz(2x^{2}yz^{2}+7y^{2}-3x)$；(2)$6a(a + 3)(a - 3)$；(3)$2x(x - 2y)^{2}$；(4)$4(2x - y)(x + 2y)$；(5)$(x^{2}+1)(x + 1)(x - 1)$
7. 给出三个多项式$X = 2a^{2}+3ab + b^{2}$,$Y = 3a^{2}+3ab$,$Z = a^{2}+ab$,请你任选两个进行加(或减)法运算,再将结果分解因式。
答案
【解析】：本题可选择不同的两个多项式进行加（或减）法运算，然后再对结果进行分解因式。
- **选择$X$和$Y$进行加法运算：**
$X + Y=(2a^{2}+3ab + b^{2})+(3a^{2}+3ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}+3a^{2}+3ab$
合并同类项得：$5a^{2}+6ab + b^{2}$
分解因式：$5a^{2}+6ab + b^{2}=(5a + b)(a + b)$
- **选择$X$和$Y$进行减法运算：**
$X - Y=(2a^{2}+3ab + b^{2})-(3a^{2}+3ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}-3a^{2}-3ab$
合并同类项得：$-a^{2}+b^{2}$
分解因式：$-a^{2}+b^{2}=(b + a)(b - a)$
- **选择$X$和$Z$进行加法运算：**
$X + Z=(2a^{2}+3ab + b^{2})+(a^{2}+ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}+a^{2}+ab$
合并同类项得：$3a^{2}+4ab + b^{2}$
分解因式：$3a^{2}+4ab + b^{2}=(3a + b)(a + b)$
- **选择$X$和$Z$进行减法运算：**
$X - Z=(2a^{2}+3ab + b^{2})-(a^{2}+ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}-a^{2}-ab$
合并同类项得：$a^{2}+2ab + b^{2}$
分解因式：$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$
- **选择$Y$和$Z$进行加法运算：**
$Y + Z=(3a^{2}+3ab)+(a^{2}+ab)$
去括号得：$3a^{2}+3ab+a^{2}+ab$
合并同类项得：$4a^{2}+4ab$
分解因式：$4a^{2}+4ab = 4a(a + b)$
- **选择$Y$和$Z$进行减法运算：**
$Y - Z=(3a^{2}+3ab)-(a^{2}+ab)$
去括号得：$3a^{2}+3ab - a^{2}-ab$
合并同类项得：$2a^{2}+2ab$
分解因式：$2a^{2}+2ab = 2a(a + b)$
【答案】：答案不唯一，如选$X$和$Y$相加，结果为$(5a + b)(a + b)$；选$X$和$Y$相减，结果为$(b + a)(b - a)$；选$X$和$Z$相加，结果为$(3a + b)(a + b)$；选$X$和$Z$相减，结果为$(a + b)^{2}$；选$Y$和$Z$相加，结果为$4a(a + b)$；选$Y$和$Z$相减，结果为$2a(a + b)$。
- **选择$X$和$Y$进行加法运算：**
$X + Y=(2a^{2}+3ab + b^{2})+(3a^{2}+3ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}+3a^{2}+3ab$
合并同类项得：$5a^{2}+6ab + b^{2}$
分解因式：$5a^{2}+6ab + b^{2}=(5a + b)(a + b)$
- **选择$X$和$Y$进行减法运算：**
$X - Y=(2a^{2}+3ab + b^{2})-(3a^{2}+3ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}-3a^{2}-3ab$
合并同类项得：$-a^{2}+b^{2}$
分解因式：$-a^{2}+b^{2}=(b + a)(b - a)$
- **选择$X$和$Z$进行加法运算：**
$X + Z=(2a^{2}+3ab + b^{2})+(a^{2}+ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}+a^{2}+ab$
合并同类项得：$3a^{2}+4ab + b^{2}$
分解因式：$3a^{2}+4ab + b^{2}=(3a + b)(a + b)$
- **选择$X$和$Z$进行减法运算：**
$X - Z=(2a^{2}+3ab + b^{2})-(a^{2}+ab)$
去括号得：$2a^{2}+3ab + b^{2}-a^{2}-ab$
合并同类项得：$a^{2}+2ab + b^{2}$
分解因式：$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$
- **选择$Y$和$Z$进行加法运算：**
$Y + Z=(3a^{2}+3ab)+(a^{2}+ab)$
去括号得：$3a^{2}+3ab+a^{2}+ab$
合并同类项得：$4a^{2}+4ab$
分解因式：$4a^{2}+4ab = 4a(a + b)$
- **选择$Y$和$Z$进行减法运算：**
$Y - Z=(3a^{2}+3ab)-(a^{2}+ab)$
去括号得：$3a^{2}+3ab - a^{2}-ab$
合并同类项得：$2a^{2}+2ab$
分解因式：$2a^{2}+2ab = 2a(a + b)$
【答案】：答案不唯一，如选$X$和$Y$相加，结果为$(5a + b)(a + b)$；选$X$和$Y$相减，结果为$(b + a)(b - a)$；选$X$和$Z$相加，结果为$(3a + b)(a + b)$；选$X$和$Z$相减，结果为$(a + b)^{2}$；选$Y$和$Z$相加，结果为$4a(a + b)$；选$Y$和$Z$相减，结果为$2a(a + b)$。
