15. 如图, 以$\triangle ABC$的三边向外分别作三个等边三角形$\triangle ACD$,$\triangle ABE$,$\triangle BCF$.
(1) 四边形$ADFE$的形状是;
(2)$\triangle ABC$满足条件时, 四边形$ADFE$是矩形;
(3)$\triangle ABC$满足条件时, 四边形$ADFE$是菱形;
(4)$\triangle ABC$满足条件时, 四边形$ADFE$是正方形.

(1) 平行四边形
(2) $\angle BAC = 150^{\circ}$
(3) $AB = AC$
(4) $AB = AC$且$\angle BAC = 150^{\circ}$

16. 如图1,$\triangle ABC$是直角三角形,$\angle C = 90^{\circ}$, 现将$\triangle ABC$补成矩形, 使$\triangle ABC$的两个顶点为矩形一边的两个端点, 第三个顶点落在矩形这一边的对边上, 那么符合要求的矩形可画出两个: 矩形$ACBD$和矩形$AEFB$(如图2).

解答问题:
(1) 设图2中矩形$ACBD$和矩形$AEFB$的面积分别为$S_1$,$S_2$, 则$S_1$____$S_2$(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”).
答案：$S_1$$S_2$
(2) 如图3,$\triangle ABC$是钝角三角形, 按上面的要求把它补成矩形, 那么符合要求的矩形可以画出____个, 在图3中画出来.
答案：符合要求的矩形可以画出个
(3) 如图4,$\triangle ABC$是锐角三角形且三边满足$BC＞AC＞AB$, 按上面的要求把它补成矩形, 那么符合要求的矩形可以画出____个, 在图4中画出来.
答案：符合要求的矩形可以画出个
(4) 在(3)中所画出的矩形中, 哪一个矩形的周长最小? 为什么?
答案：以为边的矩形周长最小。

【解析】：
(1) 因为$S_{1}=2S_{\triangle ABC}$，$S_{2}=2S_{\triangle ABC}$，所以$S_{1}=S_{2}$。
(2) 符合要求的矩形可以画出$1$个。
(3) 符合要求的矩形可以画出$3$个。
(4) 以$AB$为边的矩形周长最小。设矩形$BCED$、$ACHQ$、$ABGF$的周长分别为$L_{1}$、$L_{2}$、$L_{3}$，$\triangle ABC$的面积为$S$。
$L_{1}=2BC + \frac{2S}{BC}$，$L_{2}=2AC + \frac{2S}{AC}$，$L_{3}=2AB + \frac{2S}{AB}$。
$L_{1}-L_{2}=2(BC - AC) + 2S(\frac{1}{BC}-\frac{1}{AC}) = 2(BC - AC)(1 - \frac{S}{BC\cdot AC})$。
因为$BC＞AC$，$S = \frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot\sin\angle C$，$0＜\sin\angle C＜1$，所以$S＜\frac{1}{2}BC\cdot AC$，即$\frac{S}{BC\cdot AC}＜\frac{1}{2}$，$1 - \frac{S}{BC\cdot AC}＞0$，所以$L_{1}-L_{2}＞0$，$L_{1}＞L_{2}$。
同理$L_{2}-L_{3}=2(AC - AB) + 2S(\frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}) = 2(AC - AB)(1 - \frac{S}{AC\cdot AB})＞0$，所以$L_{2}＞L_{3}$。
所以$L_{3}$最小，即以$AB$为边的矩形周长最小。
【答案】：
(1) $=$
(2) $1$
(3) $3$
(4) 以$AB$为边的矩形周长最小。