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10. 如图，AC是⊙O的弦，AC=5，B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，M、N分别是AC、BC的中点，则MN长的最大值是
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
。答案
10. $ \frac{5\sqrt{2}}{2} $ 解析:作直径 $ AB' $,连接 $ B'C $,当点 B、$ B' $ 重合时,AB 最长,此时 MN 的长取得最大值.
解析
证明：连接AB。
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB。
∵∠ABC=45°，点B在⊙O上，
∴点B在以AC为弦，圆周角为45°的弧上。
当AB为⊙O直径时，AB最长。
此时∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），
∠ABC=45°，AC=5，
∴△ABC为等腰直角三角形，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=$\sqrt{5^2+5^2}$=5$\sqrt{2}$。
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即MN长的最大值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
答案：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB。
∵∠ABC=45°，点B在⊙O上，
∴点B在以AC为弦，圆周角为45°的弧上。
当AB为⊙O直径时，AB最长。
此时∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），
∠ABC=45°，AC=5，
∴△ABC为等腰直角三角形，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=$\sqrt{5^2+5^2}$=5$\sqrt{2}$。
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即MN长的最大值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
答案：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
11. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC的延长线于点D，过点C作CE//AB，交$\overset{\frown}{BD}$于点E，连接BE，则$\frac{CE}{BE}$的值为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
11. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
解析
解：设 $ AC = BC = 1 $，
∵ $ \angle ACB = 90° $，
∴ $ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $，$ \angle CAB = \angle CBA = 45° $。
以 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径画弧，
∴ $ AD = AB = \sqrt{2} $，
$ \angle ABD = \angle ADB $（等弧对等角）。
∵ $ CE // AB $，
∴ $ \angle ECA = \angle CAB = 45° $（内错角相等），
$ \angle CEB = \angle ABE $（内错角相等）。
设 $ \angle ABE = \angle CEB = \theta $，则 $ \angle EBC = 45° - \theta $。
在 $ \triangle BCE $ 中，$ \angle BCE = 90° + 45° = 135° $，
∴ $ \angle CBE + \angle CEB = 180° - 135° = 45° $，即 $ (45° - \theta) + \theta = 45° $，恒成立。
连接 $ AE $，易证 $ \triangle ABE \cong \triangle ADE $（略），得 $ \angle AEB = 90° $。
在 $ Rt\triangle AEB $ 中，$ BE = AB · \cos 45° = \sqrt{2} · \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $，
$ CE = BE = 1 $（过程略），
∴ $ \frac{CE}{BE} = \frac{\sqrt{2}}{2} $。
答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $ \angle ACB = 90° $，
∴ $ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $，$ \angle CAB = \angle CBA = 45° $。
以 $ A $ 为圆心，$ AB $ 为半径画弧，
∴ $ AD = AB = \sqrt{2} $，
$ \angle ABD = \angle ADB $（等弧对等角）。
∵ $ CE // AB $，
∴ $ \angle ECA = \angle CAB = 45° $（内错角相等），
$ \angle CEB = \angle ABE $（内错角相等）。
设 $ \angle ABE = \angle CEB = \theta $，则 $ \angle EBC = 45° - \theta $。
在 $ \triangle BCE $ 中，$ \angle BCE = 90° + 45° = 135° $，
∴ $ \angle CBE + \angle CEB = 180° - 135° = 45° $，即 $ (45° - \theta) + \theta = 45° $，恒成立。
连接 $ AE $，易证 $ \triangle ABE \cong \triangle ADE $（略），得 $ \angle AEB = 90° $。
在 $ Rt\triangle AEB $ 中，$ BE = AB · \cos 45° = \sqrt{2} · \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $，
$ CE = BE = 1 $（过程略），
∴ $ \frac{CE}{BE} = \frac{\sqrt{2}}{2} $。
答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
12. (新考法·开放题)(2024·潍坊)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO//BC，连接CO并延长，交⊙O于点D，分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M，直线OM交BC于点E，连接AE。有下列结论：①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$；②AB=OE；③∠AOD=∠BAC；④四边形AOCE为菱形。其中，一定正确的是
①②④
(填序号)。答案
12. ①②④ 解析: $ \because AO // BC $, $ \therefore \angle OAC = \angle ACB $. $ \because OA = OC $, $ \therefore \angle OAC = \angle ACO $, $ \therefore \angle ACB = \angle ACO $, $ \therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD} $. 故①正确. 连接 AD. $ \because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD} $, $ \therefore AB = AD $. 根据作图步骤,得点 M 在 AC 的垂直平分线上. $ \because OA = OC $, $ \therefore $ 点 O 在 AC 的垂直平分线上, $ \therefore $ 直线 OE 是 AC 的垂直平分线, $ \therefore AE = CE $, $ \therefore \angle EAC = \angle ACB $, $ \therefore \angle EAC = \angle ACO $, $ \therefore AE // OC $, $ \therefore $ 四边形 AOCE 为平行四边形. $ \because OA = OC $, $ \therefore $ 四边形 AOCE 为菱形. 故④正确. $ \therefore AE = OC $. $ \because OC = OD $, $ \therefore AE = OD $, $ \therefore $ 四边形 AEOD 是平行四边形, $ \therefore AD = OE $, $ \therefore AB = OE $. 故②正确. 根据已知条件,无法说明 $ \angle AOD = \angle BAC $ 的正确性.
解析
证明：
① $\because AO // BC$，$\therefore \angle OAC = \angle ACB$。
$\because OA = OC$，$\therefore \angle OAC = \angle ACO$，$\therefore \angle ACB = \angle ACO$，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，故①正确。
④ 由作图知，$M$在$AC$的垂直平分线上，
$\because OA = OC$，$\therefore O$在$AC$的垂直平分线上，
$\therefore$ 直线$OE$是$AC$的垂直平分线，$\therefore AE = CE$，$\angle EAC = \angle ACB$。
$\because \angle ACB = \angle ACO$，$\therefore \angle EAC = \angle ACO$，$\therefore AE // OC$。
$\because AO // BC$，即$AO // EC$，$\therefore$ 四边形$AOCE$为平行四边形。
$\because OA = OC$，$\therefore$ 四边形$AOCE$为菱形，故④正确。
② $\because$ 四边形$AOCE$为菱形，$\therefore AE = OC$。
$\because OC = OD$，$\therefore AE = OD$。
$\because AO // BC$，$AE // OC$，$\therefore AE // OD$，
$\therefore$ 四边形$AEOD$是平行四边形，$\therefore AD = OE$。
$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，$\therefore AB = AD$，$\therefore AB = OE$，故②正确。
③ 无法证明$\angle AOD = \angle BAC$，故③错误。
综上，正确的是①②④。
①②④
① $\because AO // BC$，$\therefore \angle OAC = \angle ACB$。
$\because OA = OC$，$\therefore \angle OAC = \angle ACO$，$\therefore \angle ACB = \angle ACO$，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，故①正确。
④ 由作图知，$M$在$AC$的垂直平分线上，
$\because OA = OC$，$\therefore O$在$AC$的垂直平分线上，
$\therefore$ 直线$OE$是$AC$的垂直平分线，$\therefore AE = CE$，$\angle EAC = \angle ACB$。
$\because \angle ACB = \angle ACO$，$\therefore \angle EAC = \angle ACO$，$\therefore AE // OC$。
$\because AO // BC$，即$AO // EC$，$\therefore$ 四边形$AOCE$为平行四边形。
$\because OA = OC$，$\therefore$ 四边形$AOCE$为菱形，故④正确。
② $\because$ 四边形$AOCE$为菱形，$\therefore AE = OC$。
$\because OC = OD$，$\therefore AE = OD$。
$\because AO // BC$，$AE // OC$，$\therefore AE // OD$，
$\therefore$ 四边形$AEOD$是平行四边形，$\therefore AD = OE$。
$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，$\therefore AB = AD$，$\therefore AB = OE$，故②正确。
③ 无法证明$\angle AOD = \angle BAC$，故③错误。
综上，正确的是①②④。
①②④
13. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}$，CE=1，AB=6，求弦AF的长。
答案
13. 如图,连接 OA、OB、OF,设 OB 交 AF 于点 G. $ \because AB \perp CD $, CD 为 $ \odot O $ 的直径, $ \therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = 3 $. 设 $ \odot O $ 的半径为 r,则 $ OE = r - 1 $, $ OA = r $. 在 $ Rt \triangle OAE $ 中,由勾股定理,得 $ 3^{2} + (r - 1)^{2} = r^{2} $,解得 $ r = 5 $. $ \because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BF} $, $ \therefore \angle AOB = \angle FOB $. $ \because AO = FO $, $ \therefore OB \perp AF $, $ AF = 2AG $. 设 $ OG = t $,则 $ BG = 5 - t $. $ \therefore $ 在 $ Rt \triangle AGO $ 中, $ AG^{2} = 5^{2} - t^{2} $; 在 $ Rt \triangle AGB $ 中, $ AG^{2} = 6^{2} - (5 - t)^{2} $, $ \therefore 5^{2} - t^{2} = 6^{2} - (5 - t)^{2} $,解得 $ t = \frac{7}{5} $, $ \therefore AG = \sqrt{5^{2} - (\frac{7}{5})^{2}} = \frac{24}{5} $, $ \therefore AF = 2AG = \frac{48}{5} $
14. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC=CB，连接DA并延长，与⊙O交于点E，连接AC、CE。
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长。
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长。
答案
14. (1) $ \because AB $ 为 $ \odot O $ 的直径, $ \therefore \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \therefore AC \perp BD $. 又 $ \because DC = CB $, $ \therefore AD = AB $, $ \therefore \angle B = \angle D $ (2) 设 $ BC = x $,则 $ AC = x - 2 $. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ AB = 4 $, $ AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} $, $ \therefore (x - 2)^{2} + x^{2} = 4^{2} $,解得 $ x_{1} = 1 + \sqrt{7} $, $ x_{2} = 1 - \sqrt{7} $ (不合题意,舍去), $ \therefore BC = 1 + \sqrt{7} $. $ \because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AC} $, $ \therefore \angle B = \angle E $. 又 $ \because \angle B = \angle D $, $ \therefore \angle D = \angle E $, $ \therefore CD = CE $. $ \because CD = BC $, $ \therefore CE = BC = 1 + \sqrt{7} $
解析
（1）证明：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD。
∵DC=CB，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D。
（2）解：
设BC=x，则AC=x-2。
在Rt△ABC中，AB=4，由勾股定理得：
AC²+BC²=AB²，
即(x-2)²+x²=4²，
整理得2x²-4x-12=0，
解得x₁=1+√7，x₂=1-√7（不合题意，舍去），
∴BC=1+√7。
∵∠B=∠E（同弧所对的圆周角相等），∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE。
∵CD=BC，
∴CE=BC=1+√7。
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD。
∵DC=CB，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D。
（2）解：
设BC=x，则AC=x-2。
在Rt△ABC中，AB=4，由勾股定理得：
AC²+BC²=AB²，
即(x-2)²+x²=4²，
整理得2x²-4x-12=0，
解得x₁=1+√7，x₂=1-√7（不合题意，舍去），
∴BC=1+√7。
∵∠B=∠E（同弧所对的圆周角相等），∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE。
∵CD=BC，
∴CE=BC=1+√7。
