同学们,你们听过“田忌赛马”的故事吗?“田忌赛马”不仅是一个历史故事,还是一个数学故事。下面我们一边了解这个故事,一边研究故事中的数学规律。
田总是齐国的大将,齐王经常邀请他进行赛马,但是每次都是齐王赢(如右表)。

田忌有一个朋友叫孙膑,他给田忌出了一个主意,让田忌用同样的马与齐王赛马,居然只输了一场,赢了两场。


如果三场比赛中赢两场就获胜,那么田忌还有其他赢齐王的策略吗?请把田忌所有可能的应对策略填在右表中,然后进行判断。

1. 首先分析赛马的排列组合情况：
齐王出马顺序固定为（上等马，中等马，下等马），田忌的马有$A$（上等马）、$B$（中等马）、$C$（下等马），根据排列组合公式$A_{n}^m=\frac{n!}{(n - m)!}$，这里$n = 3$，$m = 3$，$A_{3}^3=\frac{3!}{(3 - 3)!}=\frac{3!}{0!}=3×2×1=6$种出马顺序。
情况1：
田忌1：（上等马，中等马，下等马）
第一场：齐王（上等马）$vs$田忌（上等马），齐王胜；
第二场：齐王（中等马）$vs$田忌（中等马），齐王胜；
第三场：齐王（下等马）$vs$田忌（下等马），齐王胜；获胜方：齐王。
情况2：
田忌2：（上等马，下等马，中等马）
第一场：齐王（上等马）$vs$田忌（上等马），齐王胜；
第二场：齐王（中等马）$vs$田忌（下等马），齐王胜；
第三场：齐王（下等马）$vs$田忌（中等马），田忌胜；获胜方：齐王。
情况3：
田忌3：（中等马，上等马，下等马）
第一场：齐王（上等马）$vs$田忌（中等马），齐王胜；
第二场：齐王（中等马）$vs$田忌（上等马），田忌胜；
第三场：齐王（下等马）$vs$田忌（下等马），齐王胜；获胜方：齐王。
情况4：
田忌4：（中等马，下等马，上等马）
第一场：齐王（上等马）$vs$田忌（中等马），齐王胜；
第二场：齐王（中等马）$vs$田忌（下等马），齐王胜；
第三场：齐王（下等马）$vs$田忌（上等马），田忌胜；获胜方：齐王。
情况5：
田忌5：（下等马，上等马，中等马）
第一场：齐王（上等马）$vs$田忌（下等马），齐王胜；
第二场：齐王（中等马）$vs$田忌（上等马），田忌胜；
第三场：齐王（下等马）$vs$田忌（中等马），田忌胜；获胜方：田忌。
情况6：
田忌6：（下等马，中等马，上等马）
第一场：齐王（上等马）$vs$田忌（下等马），齐王胜；
第二场：齐王（中等马）$vs$田忌（中等马），齐王胜；
第三场：齐王（下等马）$vs$田忌（上等马），田忌胜；获胜方：齐王。
所以，只有田忌5（下等马，上等马，中等马）这一种策略能赢齐王。
|场次|第一场|第二场|第三场|获胜方|
|---|---|---|---|---|
|齐王|上等马|中等马|下等马|—|
|田忌1|上等马|中等马|下等马|齐王|
|田忌2|上等马|下等马|中等马|齐王|
|田忌3|中等马|上等马|下等马|齐王|
|田忌4|中等马|下等马|上等马|齐王|
|田忌5|下等马|上等马|中等马|田忌|
|田忌6|下等马|中等马|上等马|齐王|