1. 直线 $ y = kx(k ＞ 0) $ 与双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 交于 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 两点，则 $ 5x_1y_2 - 8x_2y_1 $ 的值为.

（这里假设是填空题，按正常数值填写答案）12（如果是选择题，根据选项对应填写）

由直线$y = kx(k ＞ 0)$与双曲线$y = \frac{4}{x}$交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，因为正比例函数与反比例函数关于原点对称，所以两点关于原点对称，即$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$，且$x_1y_1 = 4$。那么$x_2y_2 = 4$，$x_2y_1=- 4$（因为$y_1 = -y_2$），则$5x_1y_2 - 8x_2y_1=5×(-x_2y_2)-8x_2y_1$，把$x_2y_2 = 4$，$x_2y_1=- 4$代入可得：$5×(- 4)-8×(-4)=-20 + 32=12$。

2. (2025 厦门)如图，点 $ P(3a,a) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象与 $ \odot O $ 的一个交点，图中阴影部分的面积为 $ 10π $，则 $ k $ 的值为.

12

∵点P(3a,a)在反比例函数y=k/x上，∴a=k/(3a)，即k=3a²。
∵点P在⊙O上，⊙O圆心为原点，∴(3a)²+a²=r²，即10a²=r²，圆面积S=πr²=10πa²。
由阴影部分面积为10π，结合对称性知阴影部分面积为圆面积的1/4，∴(10πa²)/4=10π，解得a²=4。
∴k=3a²=3×4=12。

3. 如图，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象与半径为 10 的扇形 $ OCD $ 交于 $ A $，$ B $ 两点.若 $ ∠ AOB = 60° $，则 $ k $ 的值是.

25

设点$A(a,\frac{k}{a})$，$B(b,\frac{k}{b})$，因$A$、$B$在半径为10的扇形弧上，故$OA=OB=10$。由勾股定理得$a^2+(\frac{k}{a})^2=100$，$b^2+(\frac{k}{b})^2=100$，即$a^2$、$b^2$是方程$x+\frac{k^2}{x}=100$的两根，由韦达定理得$a^2b^2=k^2$，即$ab=k$。又$∠ AOB=60°$，向量数量积$ab+\frac{k^2}{ab}=10×10×\cos60°=50$，将$ab=k$代入得$k+\frac{k^2}{k}=50$，解得$k=25$。

4. 若反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 与一次函数 $ y = x + b $ 的图象交于点 $ A(m,n) $，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是()
A.$ (n,m) $
B.$ (-n,-m) $
C.$ (-m,-n) $
D.$ (-m,n) $

B

因为点$A(m,n)$是反比例函数$y = \frac{6}{x}$与一次函数$y = x + b$的交点，所以$n=\frac{6}{m}$，即$mn=6$，且$n = m + b$，可得$b = n - m$。联立两函数方程$\begin{cases}y = \frac{6}{x}\\y = x + b\end{cases}$，消去$y$得$x + b=\frac{6}{x}$，即$x^2 + bx - 6 = 0$。设方程两根为$x_1$，$x_2$，由韦达定理得$x_1 + x_2=-b$，$x_1x_2=-6$。已知一个交点横坐标为$m$，设另一交点横坐标为$x$，则$m + x=-b$，又$b = n - m$，所以$m + x=-(n - m)$，解得$x=-n$。将$x=-n$代入$y = x + b$得$y=-n + (n - m)=-m$，所以另一个交点是$(-n,-m)$。