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7.如图,将一张长方形纸片$ABCD$沿$BD$折叠.若$AE=3$,$AB=4$,$BE=5$,则重叠部分的面积为
(
A.6
B.8
C.10
D.12
(
C
).A.6
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=90°，AD//BC，AD=BC。
∵AE=3，AB=4，BE=5，且3²+4²=5²，∴△ABE是直角三角形，∠A=90°。
沿BD折叠，△BCD≌△BC'D，∴∠CBD=∠C'BD。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD（内错角相等），∴∠ADB=∠C'BD，∴BE=DE=5（等角对等边）。
∴AD=AE+DE=3+5=8。
重叠部分为△BED，其面积=1/2×DE×AB=1/2×5×4=10。
∵AE=3，AB=4，BE=5，且3²+4²=5²，∴△ABE是直角三角形，∠A=90°。
沿BD折叠，△BCD≌△BC'D，∴∠CBD=∠C'BD。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD（内错角相等），∴∠ADB=∠C'BD，∴BE=DE=5（等角对等边）。
∴AD=AE+DE=3+5=8。
重叠部分为△BED，其面积=1/2×DE×AB=1/2×5×4=10。
8.如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$中点,$\angle BAD=35°$,则$\angle C$的度数为(
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
C
).A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
C
解析
因为在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。又因为D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°。在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，且∠B=∠C，所以2∠C=180°-∠BAC=180°-70°=110°，则∠C=55°。
9.如图,$M$是线段$AD$,$CD$的垂直平分线的交点,$AB\perp BC$,$\angle D=65°$,则$\angle MAB+\angle MCB$的大小
是(
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$160°$
是(
C
).A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$160°$
答案
C
解析
连接MD，∵M是AD、CD垂直平分线的交点，∴MA=MD，MC=MD，故MA=MC=MD。∴∠MAD=∠MDA，∠MCD=∠MDC。设∠MDA=x，∠MDC=y，则x+y=∠ADC=65°，故∠MAD+∠MCD=x+y=65°。
在四边形ABCD中，∠B=90°，∠ADC=65°，四边形内角和为360°，∴∠DAB+∠BCD=360°-∠B-∠ADC=360°-90°-65°=205°。
∠MAB+∠MCB=(∠DAB-∠MAD)+(∠BCD-∠MCD)=(∠DAB+∠BCD)-(∠MAD+∠MCD)=205°-65°=140°。
在四边形ABCD中，∠B=90°，∠ADC=65°，四边形内角和为360°，∴∠DAB+∠BCD=360°-∠B-∠ADC=360°-90°-65°=205°。
∠MAB+∠MCB=(∠DAB-∠MAD)+(∠BCD-∠MCD)=(∠DAB+∠BCD)-(∠MAD+∠MCD)=205°-65°=140°。
10.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=45°$,$F$是高$AD$和$BE$的交点,$CD=4$,则线段$DF$的长度为
(
A.3
B.4
C.5
D.6
(
B
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°。
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD。
∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC。
在△BDF和△ADC中，∠BDF=∠ADC=90°，BD=AD，∠DBF=∠DAC，
∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF=CD=4。
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD。
∵∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC。
在△BDF和△ADC中，∠BDF=∠ADC=90°，BD=AD，∠DBF=∠DAC，
∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF=CD=4。
11.若正多边形的一个外角是$60°$,则该正多边形的内角和为
720°
.答案
720°
解析
因为多边形外角和为$360°$，正多边形每个外角相等，所以边数$n = 360°÷60° = 6$。根据多边形内角和公式$(n - 2)×180°$，可得内角和为$(6 - 2)×180° = 720°$。
12.将一副三角板按如图所示的方式放置,使含$30°$角的三角尺的短直角边和含$45°$角的三角尺的一条直角边重合,则$\angle1$的度数是
105°
.答案
105°
解析
含30°角的三角板另一个锐角为60°，含45°角的三角板另一个锐角为45°。∠1是这两个锐角（60°和45°）所在三角形的外角，根据三角形外角性质，∠1=60°+45°=105°。
13.如图,$BD$平分$\angle ABC$,$DE\perp AB$于点$E$,$DF\perp BC$于点$F$,$AB=8$,$BC=9$.若$S_{\triangle ABC}=34$,则$DE=$
4
,$DF=$4
.答案
4,4
解析
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线的性质）。
设DE=DF=x，
∵S△ABC=S△ABD+S△CBD，
S△ABD=1/2×AB×DE=1/2×8×x=4x，
S△CBD=1/2×BC×DF=1/2×9×x=4.5x，
∴4x+4.5x=34，
8.5x=34，
x=4。
∴DE=4，DF=4。
14.如图,在$\triangle ABC$中,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$.若$BC=6$,$AC=5$,则$\triangle ACE$的周长为
11
.答案
11
解析
如图，由于$DE$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$BE = AE$。
$\triangle ACE$的周长为$AC + CE + AE$，而$AE = BE$，所以$\triangle ACE$的周长可以表示为$AC + CE + BE$。
由于$BC = BE + CE = 6$，且$AC = 5$，
所以$\triangle ACE$的周长为$AC + BC = 5 + 6 = 11$。
$\triangle ACE$的周长为$AC + CE + AE$，而$AE = BE$，所以$\triangle ACE$的周长可以表示为$AC + CE + BE$。
由于$BC = BE + CE = 6$，且$AC = 5$，
所以$\triangle ACE$的周长为$AC + BC = 5 + 6 = 11$。
15.在$\triangle ABC$中,$\angle B=\angle C$,$BD$是$AC$边上的高,且$\angle ABD=30°$,则$\angle BAC=$
60°或120°
.答案
60°或120°
解析
在△ABC中，∠B=∠C，故△ABC为等腰三角形，AB=AC。BD是AC边上的高，分两种情况：
1. 当△ABC为锐角三角形时，BD在△ABC内部。在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，则∠BAC=∠BAD=90°-30°=60°。
2. 当△ABC为钝角三角形时，∠BAC为钝角，BD在△ABC外部。在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，则∠BAD=90°-30°=60°，故∠BAC=180°-∠BAD=120°。
综上，∠BAC=60°或120°。
1. 当△ABC为锐角三角形时，BD在△ABC内部。在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，则∠BAC=∠BAD=90°-30°=60°。
2. 当△ABC为钝角三角形时，∠BAC为钝角，BD在△ABC外部。在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，则∠BAD=90°-30°=60°，故∠BAC=180°-∠BAD=120°。
综上，∠BAC=60°或120°。
