13.如图,在$\triangle ABC$中,$D$是边$AC$上的一点。将$\triangle ABD$沿$BD$所在的直线折叠,使得点$A$落在$AC$下方的点$A'$处,$A'B$与$AC$相交于点$E$。若$\angle A' = 47^{\circ}$,$\angle BED = 70^{\circ}$,则$\angle ABD$的度数为。

∵△ABD沿BD折叠得到△A'BD，∴∠A=∠A'=47°，∠ABD=∠A'BD（设为x），∠ADB=∠A'DB（设为y）。
∵A'B与AC交于E，∠BED=70°，在△A'ED中，∠A'=47°，∠A'ED=∠BED=70°（对顶角相等），∴∠A'DE=180°-∠A'-∠A'ED=180°-47°-70°=63°。
∵D在AC上，∠A'DE=∠A'DC=63°，∠A'DB+∠A'DC=180°，∴∠A'DB=180°-∠A'DC=180°-63°=117°，即y=117°。
在△ABD中，∠A+∠ADB+∠ABD=180°，即47°+117°+x=180°，解得x=16°。
16°

14.如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$于点$D$,$\angle ACD = 4\angle BCD$,点$E$是斜边$AB$的中点,$\angle DCE$的度数为。

∵∠ACB=90°，∠ACD=4∠BCD，设∠BCD=x，则∠ACD=4x，
∴x+4x=90°，解得x=18°，即∠BCD=18°，∠ACD=72°。
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，∠B=90°-∠BCD=90°-18°=72°。
在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=90°-72°=18°。
∵E是斜边AB中点，∴CE=AE（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠ACE=∠A=18°（等边对等角）。
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=72°-18°=54°。
54°

15.如图,直线$l$是四边形$ABCD$的对称轴。若$AB = CD$,有下面的结论:①$AB// CD$;②$AC\perp BD$;③$AO = OC$;④$AB\perp BC$。其中正确的结论有。(只填序号即可)

①②③

证明：
∵直线$l$是四边形$ABCD$的对称轴，
∴$AB=AD$，$CB=CD$，$AC$垂直平分$BD$，即$AO=OC$，$AC\perp BD$（②③正确）。
∵$AB=CD$，
∴$AB=AD=CB=CD$，
∴四边形$ABCD$为菱形，
∴$AB// CD$（①正确）。
无法证明$AB\perp BC$（④错误）。
①②③

16.(本题满分8分)
如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C$,点$D$,$E$在边$BC$上,$AD = AE$。
(1)试说明$\triangle ABD \cong \triangle ACE$;
(2)若$\angle ADE = 60^{\circ}$,$AD = 6$,$BE = 8$,求$BD$的长度。

(1)见解析；(2)2。

(1)∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED。
∵∠ADB=180°-∠ADE，∠AEC=180°-∠AED，∴∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠C \\ ∠ADB=∠AEC \\ AD=AE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(AAS)。
(2)∵AD=AE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD=6。
∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE。设BD=CE=x。
∵点D，E在BC上，且BE=BD+DE，BE=8，DE=6，
∴x+6=8，解得x=2。
∴BD=2。