13.(8分)如图,一次函数$y = m x + n (m \neq 0)$的图象与反比例函数$y = \frac { k } { x } (k \neq 0)$的图象交于第
二、四象限内的点$A(a,4)$和点$B(8,b)$,过点$A$作$x$轴垂线,垂足为$C$,$\bigtriangleup AOC$的面积为4.
(1)分别求出$a$,$b$的值.
(2)结合图象直接写出$m x + n ＜ \frac { k } { x }$的解集.
(3)在$x$轴上取点$P$,当$PA - PB$取得最大值时,求出点$P$的坐标.

(1)a=-2，b=-1；(2)-2 ＜ x ＜ 0或x ＞ 8；(3)(6,0)。

(1) ∵点A(a,4)在第二象限，过A作x轴垂线，垂足为C，∴C(a,0)，OC=|a|=-a，AC=4。
△AOC面积为4，∴(1/2)×OC×AC=4，即(1/2)×(-a)×4=4，解得a=-2。
∴A(-2,4)，代入反比例函数y=k/x，得4=k/(-2)，k=-8，反比例函数为y=-8/x。
点B(8,b)在反比例函数上，∴b=-8/8=-1。
综上，a=-2，b=-1。
(2) 由交点A(-2,4)，B(8,-1)及函数图象，mx+n ＜ k/x的解集为-2 ＜ x ＜ 0或x ＞ 8。
(3) 直线AB为一次函数y=(-1/2)x+3，与x轴交于点P(6,0)。此时PA-PB最大，∴P(6,0)。

14.(8分)如图,已知反比例函数$y = \frac { k } { 2 x }$和一次函数$y = 2 x - 1$,其中一次函数的图象经过$(a,b)$,$(a + k,b + k + 2)$两点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)已知点$A$在第一象限,是两个函数的交点,求点$A$的坐标.
(3)利用(2)的结果,在$x$轴上是否存在点$P$,使$\bigtriangleup AOP$为等腰三角形?若存在,请直接写出
点$P$坐标;不存在,说明理由.

(1)$y = \frac{1}{x}$；(2)$(1,1)$；(3)$(1,0)$，$(2,0)$，$(\sqrt{2},0)$，$(-\sqrt{2},0)$。

(1) 因为一次函数$y = 2x - 1$经过$(a,b)$和$(a + k, b + k + 2)$，所以$\begin{cases}b = 2a - 1 \\ b + k + 2 = 2(a + k) - 1\end{cases}$。
由第二个方程得$b = 2a + k - 3$，与第一个方程联立：$2a - 1 = 2a + k - 3$，解得$k = 2$。
故反比例函数解析式为$y = \frac{1}{x}$。
(2) 联立$\begin{cases}y = \frac{1}{x} \\ y = 2x - 1\end{cases}$，得$\frac{1}{x} = 2x - 1$，即$2x^2 - x - 1 = 0$。
解得$x = 1$或$x = -\frac{1}{2}$，因点$A$在第一象限，故$x = 1$，$y = 1$。
所以点$A$坐标为$(1,1)$。
(3) 存在。设$P(p,0)$，$OA = \sqrt{2}$，$OP = |p|$，$AP = \sqrt{(p - 1)^2 + 1}$。
① $OA = OP$：$|p| = \sqrt{2}$，得$P(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$；
② $OA = AP$：$\sqrt{(p - 1)^2 + 1} = \sqrt{2}$，解得$p = 2$（$p = 0$舍去），得$P(2,0)$；
③ $OP = AP$：$|p| = \sqrt{(p - 1)^2 + 1}$，解得$p = 1$，得$P(1,0)$。
综上，点$P$坐标为$(1,0)$，$(2,0)$，$(\sqrt{2},0)$，$(-\sqrt{2},0)$。