1. 如图,在$△ OAB$中,$ AO = AB $,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0) $的图象上,$ OB = 6 $,$ OA = 5 $.求反比例函数的解析式.

y=-12/x

过点A作AC⊥OB于点C，设A(x,y)。
∵AO=AB，OB=6，∴OC=BC=3，即点C坐标为(-3,0)，故x=-3。
在Rt△AOC中，OA=5，OC=3，由勾股定理得AC=√(OA²-OC²)=√(5²-3²)=4，∴y=4，即A(-3,4)。
∵点A在y=k/x上，∴4=k/(-3)，解得k=-12。

2. (2025 青岛中考改编)如图,正八边形 $ ABCDEFGH $ 的顶点 $ A,B,G,H $ 在坐标轴上,顶点 $ C $,$ D,E,F $ 在第一象限. 点 $ F $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象上,若 $ AB = \sqrt{2} $,求反比例函数的解析式.

y=(2+√2)/x

设正八边形边长为√2，顶点A、B在x轴，G、H在y轴。
1. 设B点坐标为(b,0)，AB=√2，故A(b-√2,0)。
2. BC边与x轴成45°角，向量BC=(1,1)（cos45°=sin45°=√2/2，√2×√2/2=1），则C(b+1,1)。
3. CD边与x轴成90°角，向量CD=(0,√2)，则D(b+1,1+√2)。
4. DE边与x轴成135°角，向量DE=(-1,1)，则E(b,2+√2)。
5. EF边与x轴成180°角，向量EF=(-√2,0)，则F(b-√2,2+√2)。
6. FG边与x轴成225°角，向量FG=(-1,-1)，则G(b-√2-1,1+√2)。
7. G在y轴，其x坐标为0，即b-√2-1=0，解得b=√2+1。
8. F点坐标为(b-√2,2+√2)=(1,2+√2)。
9. F在y=k/x上，k=1×(2+√2)=2+√2，故解析式为y=(2+√2)/x。

3. (2025 宜昌)已知同一象限内的两点 $ A(3,n) $,$ B(n - 4,n + 3) $均在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $的图象上,求该反比例函数的解析式.

$y = \dfrac{18}{x}$

因为点$A(3,n)$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$k = 3n$。又因为点$B(n - 4,n + 3)$也在该函数上，所以$k=(n - 4)(n + 3)$。则$3n=(n - 4)(n + 3)$，展开得$3n = n^2 - n - 12$，移项化为$n^2 - 4n - 12 = 0$，因式分解得$(n - 6)(n + 2) = 0$，解得$n = 6$或$n = -2$。因为$A$、$B$在同一象限，当$n = 6$时，$A(3,6)$在第一象限，$B(6 - 4,6 + 3)=(2,9)$也在第一象限；当$n = -2$时，$A(3,-2)$在第四象限，$B(-2 - 4,-2 + 3)=(-6,1)$在第二象限，不符合同一象限，故$n = 6$。所以$k = 3×6 = 18$，反比例函数解析式为$y = \dfrac{18}{x}$。

4. (2025 福州)反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $的图象经过点 $ P(a,b) $,其中 $ a,b $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + mx + 4 = 0 $的两个实数根,求 $ k $ 的值.

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因为点$P(a,b)$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象上，所以$b = \dfrac{k}{a}$，即$k = ab$。又因为$a,b$是方程$x^{2} + mx + 4 = 0$的两个实数根，由韦达定理得$ab = 4$，所以$k = 4$。