20. (8分)如图,一条船上午8时从海岛$A$出发,以30海里/时的速度向正北方向航行,上午10时到达海岛$B$处,分别从$A,B$处望灯塔$C$,测得$\angle NAC = 30^{\circ},\angle NBC = 60^{\circ}$.
(1)求海岛$B$到灯塔$C$的距离;
(2)若这条船继续向正北方向航行,则什么时间船与灯塔$C$的距离最小?

(1) 由题意，船从A到B航行时间为2小时，速度30海里/时，得AB=30×2=60海里。
∵∠NAC=30°，∠NBC=60°，∠NBC=∠BAC+∠ACB（三角形外角性质），
∴∠ACB=∠NBC-∠BAC=60°-30°=30°。
∴∠BAC=∠ACB，故△ABC为等腰三角形，BC=AB=60海里。
(2) 过点C作CD⊥AN于D，此时CD为船与灯塔C的最小距离，D为所求位置。
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=60海里，
∴BD=BC·cos60°=60×1/2=30海里。
船从B到D的时间为30÷30=1小时，
∵船上午10时到达B，∴10+1=11时。
(1) 60海里；(2) 上午11时。

21. (8分)如图,点$E$在$\bigtriangleup ABC$的外部,点$D$在边$BC$上$,DE$交$AC$于点$F,\angle 1 = \angle 2,AE = AC,BC = DE$.
(1)求证$:AB = AD$;
(2)若$\angle 1 = 60^{\circ}$,判断$\bigtriangleup ABD$的形状,并说明理由.

(1)证明：∵∠1=∠2，∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠E=180°-∠1-∠AFE，∠C=180°-∠2-∠DFC（三角形内角和定理），
∴∠E=∠C。
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AE\\ ∠C=∠E\\ BC=DE\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB=AD。
(2)△ABD是等边三角形。理由如下：
由(1)知△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
∵∠1=∠CAE=60°，∴∠BAD=60°。
又∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。

22. (10分)如图$,AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线$,DE \perp AB,DF \perp AC$,垂足分别是$E,F$,连接$EF,EF$与$AD$相交于点$G$.
(1)求证$:AD$是$EF$的垂直平分线;
(2)若$AB + AC = 9,ED = 2$,求$\bigtriangleup ABC$的面积.

(1)
$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
$\therefore DE = DF$，$\angle AED=\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AED$和$Rt\triangle AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DE = DF\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle AED\cong Rt\triangle AFD(HL)$。
$\therefore AE=AF$。
因为$DE = DF$，$AE = AF$，所以点$A$，$D$都在$EF$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），所以$AD$是$EF$的垂直平分线。
(2)
$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，
$S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE$，$S_{\triangle ACD}=\dfrac{1}{2}AC· DF$，
又$\because DE = DF = 2$，$AB + AC = 9$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}(AB + AC)· DE$
$=\dfrac{1}{2}×9×2$
$ = 9$
综上，答案为：$AD$是$EF$的垂直平分线；$9$。