13. 如图，点 O 在△ABC 内部，且到三边的距离相等。若∠BOC = 130°，则∠A = 。

设点 $O$ 到 $\triangle ABC$ 三边的距离相等，即 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心。
根据内心的性质，$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$。
已知 $\angle BOC = 130°$，根据三角形内角和为 $180°$，
$\angle OBC + \angle OCB = 180° - \angle BOC = 180° - 130° = 50°$。
由于 $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$，
$\angle ABC + \angle ACB = 2 × (\angle OBC + \angle OCB) = 2 × 50° = 100°$。
根据三角形内角和为 $180°$，
$\angle A = 180° - (\angle ABC + \angle ACB) = 180° - 100° = 80°$。
故答案为：$80°$。

14. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = AC = AD。若∠BCD = α，则∠BAD = (用含 α 的代数式表示)。

由题意知 $AB = AC = AD$，
$\therefore$点$B$，$C$，$D$在以$A$为圆心，$AB$为半径的圆上，
$\therefore \angle BED = 2\angle BCD$，（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
即$\angle BAD = 360° - 2\alpha$（当$ \alpha \lt 180°$时，$\angle BAD = 360° - 2\alpha$；当$\alpha \gt 180°$时，$\angle BAD = 2\alpha-360°$；由于$ 0°\lt \alpha \lt 360°$，可统一表示为$\angle BAD = 360° - 2\alpha$）。
故答案为：$360° - 2\alpha$。

15. 如图所示钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，使得 $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = ⋯ = P_{13}P_{14} = P_{14}A$，则∠A 的度数是 。

设$\angle A = x$，
根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可知：
$\angle P_{1}P_{2}A = \angle A = x$，
$\angle P_{2}P_{1}P_{3} = \angle P_{2}P_{3}P_{1} = 2x$，
$\angle P_{3}P_{2}P_{4} = \angle P_{3}P_{4}P_{2} = 3x$，
$·s$
$\angle P_{7}P_{6}P_{8} = \angle P_{7}P_{8}P_{6} = 7x$，
$\because \angle P_{6}P_{7}A = 7x$，
$\therefore \angle A + \angle P_{7}P_{6}P_{8} + \angle P_{6}P_{7}A = 180^{\circ}$，
即$x + 7x + 7x = 180^{\circ}$，
$15x = 180^{\circ}$，
$x = 12^{\circ}$。
故答案为：$12^{\circ}$。

16. (本题满分 8 分)
如图，AB = CD，AC = BD，AC，BD 交于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N。试说明 BN = CN。

在△ABC和△DCB中，
∵AB=CD，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
∴∠ACB=∠DBC（全等三角形对应角相等），即∠MCB=∠MBC。
在△MBC中，
∵∠MBC=∠MCB，
∴MB=MC（等角对等边）。
∵MN⊥BC，
∴MN是等腰△MBC底边BC上的高。
根据等腰三角形三线合一性质，MN是底边BC上的中线，
∴BN=CN。