如图,将矩形OABC放置在平面直角坐标系中,OA=2,OC=3,E是AB的中点,反比例函数的图象过点E且与BC相交于点F.

【基础设施问】
(1)求反比例函数的表达式.
(2)反比例函数图象的另一支位于哪个象限?点(-1,-2)是否在这个函数的图象上?
(3)已知点(3,y₁),(-2,y₂),(-3,y₃)都在这个反比例函数的图象上,试比较y₁,y₂,y₃的大小.
(4)点P是这个反比例函数图象上的一点(不与点F重合),若OF=OP,求点P的坐标.
(5)连接OE,OF,求四边形OEBF的面积.
【能力设问】
(6)点Q为y轴上一动点,当QE+QF的值最小时,求点Q的坐标.

(1)
∵ 四边形 OABC 是矩形,OA=2,OC=3,
∴ B(2,3).
又
∵ E 是 AB 的中点,
∴ E(2,$\frac{3}{2}$).
设反比例函数的表达式是 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$,
把点 E 的坐标代入,得 k=3,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{3}{x}$.
(2)反比例函数图象的另一支位于第三象限.
∵ $(-1)×(-2)=2≠3$,
∴ 点(-1,-2)不在这个函数的图象上.
(3)
∵ 反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 中的比例系数 k=3＞0,
∴ 在每一象限内,y 随 x 的增大而减小.
又
∵ 点(3,$y_1$),(-2,$y_2$),(-3,$y_3$)都在 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上,
∴ $y_1＞0$,$y_2＜y_3＜0$,
∴ $y_2＜y_3＜y_1$.
(4)易得点 F 的坐标为(1,3).
∵ 反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象关于原点对称,
∴ 当点 P 与点 F 关于原点对称时,OF=OP,
此时点 P 的坐标为(-1,-3).
∵ 反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象关于直线 y=x 对称,
∴ 当点 P 与点 F 关于直线 y=x 对称时,OF=OP,
此时点 P 的坐标为(3,1).
∵ 反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象关于直线 y=-x 对称,
∴ 当点 P 与点 F 关于直线 y=-x 对称时,OF=OP,
此时点 P 的坐标为(-3,-1).
综上所述,点 P 的坐标为(-1,-3)或(3,1)或(-3,-1).
(5)$S_{四边形OEBF}=S_{矩形OABC}-S_{△OCF}-S_{△OAE}=2×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}=3$.
(6)作点 E 关于 y 轴的对称点 $E_1$,连接 $E_1F$,与 y 轴的交点即为所求点 Q.
∵ 点 E 与点 $E_1$ 关于 y 轴对称,
∴ 点 $E_1$ 的坐标为(-2,$\frac{3}{2}$).
设直线 $E_1F$ 的表达式为 y=ax+b,
则$\begin{cases} -2a + b = \frac{3}{2}, \\ a + b = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2}, \\ b=\frac{5}{2}, \end{cases}$
∴ 直线 $E_1F$ 的表达式为 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$,
令 x=0,得 $y=\frac{5}{2}$,
∴ 点 Q 的坐标为(0,$\frac{5}{2}$).