11. [2026宿迁宿城区期中] 某校九年级开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢的截面图(正六边形ABCDEF)的性质进行研究. 如图，测得$AB=1$，则四边形$GCHF$的面积是 ()

A.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

A 如图,过点A作 AM⊥BF,垂足为 M,则∠AMB = 90°.
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴ AB = BC = CD = DE = EF = AF = 1, ∠BAF = 120°,
∴ ∠ABF = ∠AFB = $\frac{180°-∠BAF}{2}=30°$,
∴ AM = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$. 由勾股定理得 BM = $\sqrt{AB^2-AM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ AB = AF,AM⊥BF,
∴ FM = BM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 同理可得∠BCG = 30°,∠ABC = 120°,
∴ ∠CBF = ∠ABC - ∠ABF = 120° - 30° = 90°,
∴ CG = 2BG. 在 Rt△BCG 中,由勾股定理得 $BG^2 + BC^2 = CG^2$,
∴ $BG^2 + 1^2 = (2BG)^2$,
∴ BG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ FG = BF - BG = 2BM - BG = $2×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴ $S_{四边形GCHF}=FG·BC=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

12. [2026徐州沛县期末] 如图，将边长为4的正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为$(2, -3)$，则顶点C的坐标为 ()

A.$(2 - 2\sqrt{3}, 3)$
B.$(2\sqrt{3} - 2, 3)$
C.$(2 - \sqrt{3}, 3)$
D.$(2 - 2\sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$

A 如图,设正六边形 ABCDEF 的中心为 I,连接 BD,IC, IC 分别交 x 轴、BD 于点 P,N.
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴ CD = CB, ∠BCD = 120°,
∴ ∠CBN = 30°.
∵ B,D 关于 IC 对称,
∴ IC ⊥ BD,
∴ ∠BNC = 90°. 在 Rt△BCN 中,
∵ BC = 4, ∠CBN = 30°,
∴ CN = 2,
∴ BN = $\sqrt{BC^2-CN^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
∵ 正六边形 ABCDEF 的边 AB 与 x 轴垂直,顶点 A 的坐标为(2,-3),
∴ OM = 2,AM = 3,
∴ BM = 4 - 3 = 1,OP = PM - OM = BN - OM = $2\sqrt{3}-2$,
∴ PC = PN + CN = BM + CN = 1 + 2 = 3,
∴ $C(2-2\sqrt{3},3)$.

13. [2026南京玄武区期末] 如图，AB, CD分别是⊙O的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接BC. 若∠ABC=35°,则∠BCD的度数为.

第13题图 第14题图

49° 如图,连接 OA,OB,OC,OD.
∵ AB,CD 分别是⊙O 的内接正五边形和内接正三角形的一边,
∴ ∠AOB = $\frac{360°}{5}=72°$, ∠COD = $\frac{360°}{3}=120°$.
∵ ∠AOC = 2∠ABC = 70°,
∴ ∠BOD = 360° - 72° - 120° - 70° = 98°,
∴ ∠BCD = $\frac{1}{2}∠BOD=49°$.

14. [2025南京郑和外国语学校模拟] 如图，AD是半径为2的正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则$AD^2=$.

8+4√2 如图,作正八边形 ABCDEFGH 的外接圆⊙O,连接 AE,OD.
∵ 八边形 ABCDEFGH 是正八边形,
∴ ∠B = ∠C = ∠CDE = 135°, ∠DOE = 360°÷8 = 45°, $\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC}$的度数为 360°÷8 = 45°,
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对圆心角的度数为 90°,
∴ ∠ADC = 45°,
∴ ∠ADE = ∠CDE - ∠ADC = 135° - 45° = 90°. 过 D 作 DH ⊥ OE 于 H.
∵ ∠DOE = 45°,
∴ OH = DH. 在 Rt△ODH 中,由勾股定理得 $OH^2 + DH^2 = OD^2$,
∴ $2OH^2=2^2$,
∴ DH = OH = $\sqrt{2}$,
∴ HE = OE - OH = 2 - $\sqrt{2}$. 在 Rt△DEH 中,由勾股定理得 $DE^2 = DH^2 + EH^2 = (\sqrt{2})^2 + (2-\sqrt{2})^2 = 8 - 4\sqrt{2}$. 在 Rt△ADE 中,由勾股定理得 $AD^2 = AE^2 - DE^2 = 4^2 - (8 - 4\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2}$.

15. 如图,在$\odot O$的内接正八边形 ABCDEFGH中,AB=2,连接 DG,BG.
(1)求证:$DG// AB$.
(2)DG 的长为.

(1)证明:
∵ 八边形 ABCDEFGH 是⊙O 的内接正八边形,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HA}$,
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AG}$,
∴ ∠BGD = ∠ABG,
∴ DG // AB.
(2)解:$2\sqrt{2}+2$
如图,连接 OD,OE,OF,过点 E,F 分别作 DG 的垂线,垂足分别为 M,N,则 MN = EF = AB = 2.
∵ 八边形 ABCDEFGH 是⊙O 的内接正八边形,
∴ ∠DOE = ∠EOF = $\frac{360°}{8}=45°$,
∴ ∠NGF = $\frac{1}{2}∠DOF = 45° = ∠MDE$,
∴ △MDE,△NGF 都为等腰直角三角形,
∴ $2MD^2=DE^2=4$,
∴ MD = $\sqrt{2}$,同理得 NG = $\sqrt{2}$,
∴ DG = $\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+2$.

正方形ABCD内接于$\odot O$.
(1)如图1,$P$为$\overset{\frown}{BC}$上的一点,连接$DP$,$CP$.
①$∠ CPD$的度数为.
②若$DC = 4$,$CP = 2\sqrt{2}$,则$DP$的长为.
③若$P$是$\overset{\frown}{BC}$的中点,连接$AP$,求证:$AP = DP$.

(2)如图2,已知$P$为正方形$ABCD$的外接圆的$\overset{\frown}{AD}$上任意一点,连接$PA$,$PB$,$PC$,$PD$.求证:$\frac{PA + PD}{PB + PC}$的值为定值.

(1)① 解:45°
连接 OD,OC.
∵ 正方形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠DOC = 90°,
∴ ∠CPD = $\frac{1}{2}∠DOC = 45°$.
② 解:$2+2\sqrt{3}$
如图 1,过点 C 作 CM ⊥ DP 于点 M.
∵ CP = $2\sqrt{2}$, ∠CPD = 45°,
∴ CM = PM = 2.
∵ DC = 4,
∴ DM = $\sqrt{DC^2-CM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ DP = PM + DM = $2+2\sqrt{3}$.
③ 证明:如图 2,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB = CD,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
∵ P 是$\overset{\frown}{BC}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$,
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CP}$,即$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{DP}$,
∴ AP = DP.
(2)证明:如图 3,连接 OC,OD,过点 D 作 HD ⊥ PD 交 PC 于点 H.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD = CD, ∠ADC = 90°, ∠COD = 90°,
∴ ∠CPD = $\frac{1}{2}∠COD = 45°$.
∵ DH ⊥ PD,
∴ ∠HDP = 90°,
∴ ∠DHP = ∠HPD = 45°,
∴ DH = DP.
∵ ∠PDH = ∠ADC = 90°,
∴ ∠PDA = ∠HDC,
又
∵ AD = CD,
∴ △PAD ≅ △HCD,
∴ PA = CH,
∴ PC = PH + CH = $\sqrt{2}PD + PA$,
同理可得 $PB = PD + \sqrt{2}PA$,
∴ $PB + PC = (1+\sqrt{2})(PA + PD)$,
∴ $\frac{PA + PD}{PB + PC}=\sqrt{2}-1$,
∴ $\frac{PA + PD}{PB + PC}$的值为定值.