1.「2026江苏南京玄武南理工附中月考」
如图,在平面直角坐标系中,
$C(0,4),A(3,0),\odot A$半径为
$2,P$为$\odot A$上任意一点,$E$是
$PC$的中点,则$OE$的最小值是
()


A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$

1.B 如图,连接AP,AC,取AC的中点H,连接EH,OH.
∵点E是PC的中点,点H是AC的中点,
∴EH是△ACP的中位线,
∴$EH=\frac{1}{2}PA=1$,
∴点E的运动轨迹是以H为圆心,1为半径的圆,
∵$C(0,4),A(3,0)$,
∴$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∵点H是AC的中点,
∴$OH=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$,
∴OE的最小值$=OH-EH=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$.故选B.

【分析】
要计算OE的最小值，首先观察到E是PC的中点，可通过构造中位线确定E的运动轨迹：①连接AP、AC，取AC的中点H，构造△ACP的中位线EH，可推出EH的长度是⊙A半径的一半，为定值，因此E的运动轨迹是以H为圆心、EH长为半径的圆；②求出定点O到圆心H的距离，再根据“点到圆上点的最短距离=点到圆心的距离-圆的半径”，即可求出OE的最小值。
【解析】
如图，连接AP、AC，取AC的中点H，连接EH、OH。
∵点E是PC的中点，点H是AC的中点，
∴EH是△ACP的中位线，
∴$EH=\frac{1}{2}PA$，
∵⊙A的半径为2，即$PA=2$，
∴$EH=\frac{1}{2}×2=1$，即点E的运动轨迹是以H为圆心，1为半径的圆。
已知$C(0,4),A(3,0)$，由勾股定理可得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
在Rt△AOC中，H是斜边AC的中点，
∴$OH=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，
根据点到圆上点的最短距离规律，OE的最小值为$OH-EH=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是隐圆类最值问题的典型题型，解题核心是通过构造中位线确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为定点到圆上点的最短距离问题，综合考查了几何知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6

2.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,F是BD的中点,若∠BAC=15°,∠DAC=45°,CD=4,则EF的长为 ()


A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$

2.A 如图,连接BE,ED,
∵$∠ABC=∠ADC=90°$,且E为AC的中点,
∴$BE=\frac{1}{2}AC$,$DE=\frac{1}{2}AC$,
∴$BE=DE$,
∵F为BD的中点,
∴$EF⊥BD$,
∵$∠ABC=∠ADC=90°$,
∴A,B,C,D四点共圆,E为圆心,
∵$∠BAC=15°$,$∠DAC=45°$,
∴$∠BAD=60°$,
∴$∠BED=2∠BAD=120°$,
∴$∠FDE=∠FBE=30°$,
∴$EF=\frac{1}{2}DE$,
在$△ADC$中,$∠DAC=45°$,$∠ADC=90°$,
∴$∠DCA=∠DAC=45°$,
∴$AD=CD=4$,
由勾股定理得$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$,
∴$DE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$,
∴$EF=\frac{1}{2}DE=\sqrt{2}$,故选A.

【分析】
解题时先观察条件：两个直角三角形共斜边AC，且E是AC中点，首先想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此连接BE、DE，可得BE=DE，即△BED为等腰三角形；已知F是BD中点，结合等腰三角形三线合一，可得EF⊥BD。接下来处理角度关系：共斜边的直角三角形的四个顶点共圆，圆心为中点E，结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BED的度数，进而得到△BED的底角为30°，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，可知EF=$\frac{1}{2}$DE。最后在等腰Rt△ADC中求出AC的长度，即可得到DE的长度，最终算出EF的长。
【解析】
如图，连接BE，ED，
∵$∠ABC=∠ADC=90°$，且E为AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线性质，得$BE=\frac{1}{2}AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$BE=DE$，即△BED为等腰三角形，
∵F为BD的中点，根据等腰三角形三线合一，
∴$EF⊥BD$。
∵$∠ABC=∠ADC=90°$，A、B、C、D四点到E点的距离相等，
∴A、B、C、D四点共圆，E为圆心，
∵$∠BAC=15°$，$∠DAC=45°$，
∴$∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠BED=2∠BAD=120°$，
∴在等腰△BED中，$∠FDE=∠FBE=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
在Rt△EFD中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$EF=\frac{1}{2}DE$。
在$△ADC$中，$∠DAC=45°$，$∠ADC=90°$，
∴$∠DCA=∠DAC=45°$，
∴$AD=CD=4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴$DE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$，
∴$EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是隐圆问题的典型题型，解题关键是通过共斜边的直角三角形判定四点共圆，结合特殊三角形的性质实现角度和边长的转化，考查了几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

3.「2026 江苏盐城东台月考」如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC ⊥ BC$，$AC=8$，$BC=12$，$P$是$△ ABC$内部的一个动点，且满足$∠ PCA = ∠ PBC$，则线段$AP$长的最小值为（）


A.4
B.$\frac{16\sqrt{13}}{13}$
C.3
D.$\frac{12\sqrt{13}}{13}$

3.A

∵$∠PCA=∠PBC$,$∠PCA+∠PCB=90°$,
∴$∠PBC+∠PCB=90°$,
∴$∠BPC=90°$,
∴点P在以BC为直径的圆上,设圆心为O,则点O为BC的中点,如图,连接OA交⊙O于P,此时PA的长最小,
∵$BC=12$,
∴$OP=OC=\frac{1}{2}BC=6$,
∴$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,
∴PA长的最小值为$10-6=4$.故选A.

【分析】
首先利用已知角相等与直角三角形的直角推导∠BPC的度数：已知∠PCA=∠PBC，且Rt△ABC中∠ACB=90°即∠PCA+∠PCB=90°，等量代换可得∠PBC+∠PCB=90°，由此得到∠BPC=90°。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此动点P的轨迹是以BC为直径的圆。接下来求AP的最小值属于点到圆上点的最短距离问题，最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此连接点A与BC的中点（即圆心），连线与圆的交点就是AP取最小值时点P的位置，最后结合勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
∵$∠PCA=∠PBC$，$∠PCA+∠PCB=∠ACB=90°$，
∴$∠PBC+∠PCB=90°$，
∴$∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°$，
∴点P在以BC为直径的圆上，设圆心为O，则O为BC的中点，连接OA交⊙O于点P，此时PA的长度最小，
∵$BC=12$，
∴⊙O的半径$OP=OC=\frac{1}{2}BC=6$，
在$\mathrm{Rt}△AOC$中，$AC=8$，$OC=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴AP的最小值为$OA-OP=10-6=4$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论；点圆最值问题；勾股定理
【点评】
本题是典型的隐圆类几何最值题，解题的突破口是通过角的数量关系判断出动点的运动轨迹为圆，再结合点到圆上点的最短距离规律求解，能有效考察学生对几何基础知识的综合运用能力和动态问题的分析能力。
【难度系数】
0.6