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11 若一个自然数的算术平方根是$ x $，则比这个自然数大2的自然数的算术平方根是（
A.$ x^2 + 2 $
B.$ x + 2 $
C.$ \sqrt{x^2 + 2} $
D.$ \sqrt{x + 2} $
C
）A.$ x^2 + 2 $
B.$ x + 2 $
C.$ \sqrt{x^2 + 2} $
D.$ \sqrt{x + 2} $
答案
11. C
解析
【分析】
解题时可按三步思路推导：第一步，根据算术平方根的定义，先推导得到算术平方根为$x$对应的原自然数；第二步，计算比该自然数大2的数的表达式；第三步，再根据算术平方根的定义，写出新数的算术平方根即可，注意不要混淆原自然数和它的算术平方根的关系。
【解析】
1. 根据算术平方根的定义：若一个非负数$a$的算术平方根为$b$，则$a=b^2$。已知一个自然数的算术平方根是$x$，因此这个自然数为$x^2$。
2. 比这个自然数大2的自然数为：$x^2+2$。
3. 再次结合算术平方根的定义，非负数的算术平方根需带根号表示，因此$x^2+2$的算术平方根为$\sqrt{x^2+2}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；列代数式
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对算术平方根概念的理解，解题的关键是明确“原数等于它的算术平方根的平方”，避免出现把原数直接当成$x$的低级错误。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思路推导：第一步，根据算术平方根的定义，先推导得到算术平方根为$x$对应的原自然数；第二步，计算比该自然数大2的数的表达式；第三步，再根据算术平方根的定义，写出新数的算术平方根即可，注意不要混淆原自然数和它的算术平方根的关系。
【解析】
1. 根据算术平方根的定义：若一个非负数$a$的算术平方根为$b$，则$a=b^2$。已知一个自然数的算术平方根是$x$，因此这个自然数为$x^2$。
2. 比这个自然数大2的自然数为：$x^2+2$。
3. 再次结合算术平方根的定义，非负数的算术平方根需带根号表示，因此$x^2+2$的算术平方根为$\sqrt{x^2+2}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；列代数式
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对算术平方根概念的理解，解题的关键是明确“原数等于它的算术平方根的平方”，避免出现把原数直接当成$x$的低级错误。
【难度系数】
0.8
12 教材P65习题T4·变式（2025宿迁宿豫期中）如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（
A.$\sqrt[3]{6}$倍
B.$\sqrt{6}$倍
C.6倍
D.12倍
B
）A.$\sqrt[3]{6}$倍
B.$\sqrt{6}$倍
C.6倍
D.12倍
答案
12. B
解析
【分析】
解题时先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积=边长²。我们可以先设原正方形的边长为a，先求出原面积，再根据面积扩大为原来的6倍得到扩大后的面积，最后利用算术平方根的定义求出扩大后的边长，将其与原边长作比即可得到边长的扩大倍数。
【解析】
设原正方形的边长为a，根据正方形面积公式可得：
原正方形面积$S_{原}=a^2$
已知面积扩大为原来的6倍，则扩大后的正方形面积$S_{现}=6S_{原}=6a^2$
根据算术平方根的定义，正方形的边长是面积的算术平方根，因此扩大后的边长为：
$a_{现}=\sqrt{S_{现}}=\sqrt{6a^2}=a\sqrt{6}$（边长为正数，因此取正的平方根）
则边长扩大的倍数为$\frac{a_{现}}{a}=\frac{a\sqrt{6}}{a}=\sqrt{6}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题是算术平方根在几何问题中的基础应用，解题核心是明确正方形面积和边长的平方对应关系，避免将算术平方根和立方根混淆，只要掌握相关基础概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积=边长²。我们可以先设原正方形的边长为a，先求出原面积，再根据面积扩大为原来的6倍得到扩大后的面积，最后利用算术平方根的定义求出扩大后的边长，将其与原边长作比即可得到边长的扩大倍数。
【解析】
设原正方形的边长为a，根据正方形面积公式可得：
原正方形面积$S_{原}=a^2$
已知面积扩大为原来的6倍，则扩大后的正方形面积$S_{现}=6S_{原}=6a^2$
根据算术平方根的定义，正方形的边长是面积的算术平方根，因此扩大后的边长为：
$a_{现}=\sqrt{S_{现}}=\sqrt{6a^2}=a\sqrt{6}$（边长为正数，因此取正的平方根）
则边长扩大的倍数为$\frac{a_{现}}{a}=\frac{a\sqrt{6}}{a}=\sqrt{6}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题是算术平方根在几何问题中的基础应用，解题核心是明确正方形面积和边长的平方对应关系，避免将算术平方根和立方根混淆，只要掌握相关基础概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
13（2025宿迁宿城期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为4 cm²和25 cm²的两个小正方形，则阴影部分的面积为
20
cm². 答案
13. 20
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可先求出大正方形的面积，再减去两个空白小正方形的面积即可。首先根据正方形面积公式与算术平方根的定义，计算出两个小正方形的边长，结合图形可知大正方形的边长为两个小正方形边长的和，进而求出大正方形面积，最后作差就能得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为25cm²的小正方形的边长为$\sqrt{25}=5$cm，
面积为4cm²的小正方形的边长为$\sqrt{4}=2$cm，
由图可知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，即$5+2=7$cm，
∴大正方形的面积为$7^2=49$cm²，
则阴影部分的面积为$49-25-4=20$cm²。
【答案】
20
【知识点】
算术平方根；正方形面积计算；组合图形求面积
【点评】
本题将算术平方根的计算和几何图形面积计算结合，解题的核心是结合图形特征得到大正方形与两个小正方形边长的关系，解题思路清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可先求出大正方形的面积，再减去两个空白小正方形的面积即可。首先根据正方形面积公式与算术平方根的定义，计算出两个小正方形的边长，结合图形可知大正方形的边长为两个小正方形边长的和，进而求出大正方形面积，最后作差就能得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为25cm²的小正方形的边长为$\sqrt{25}=5$cm，
面积为4cm²的小正方形的边长为$\sqrt{4}=2$cm，
由图可知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，即$5+2=7$cm，
∴大正方形的面积为$7^2=49$cm²，
则阴影部分的面积为$49-25-4=20$cm²。
【答案】
20
【知识点】
算术平方根；正方形面积计算；组合图形求面积
【点评】
本题将算术平方根的计算和几何图形面积计算结合，解题的核心是结合图形特征得到大正方形与两个小正方形边长的关系，解题思路清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
14（2025南通启东期中）已知$\sqrt{9.31}\approx3.0512$，$\sqrt{0.931}\approx0.9649$，则$\sqrt{93.1}\approx$
9.649
。答案
14. 9.649
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的相关规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就对应向右（或向左）移动1位。首先对比已知的$\sqrt{0.931}\approx0.9649$和所求的$\sqrt{93.1}$，发现被开方数0.931的小数点向右移动2位得到93.1，因此对应算术平方根的小数点也向右移动1位即可得到结果。
【解析】
我们知道：若被开方数扩大为原来的100倍，则其算术平方根扩大为原来的10倍。
观察可得：$93.1 = 0.931 × 100$
因此$\sqrt{93.1} = \sqrt{0.931 × 100} = \sqrt{0.931} × \sqrt{100}$
代入已知$\sqrt{0.931}\approx0.9649$，$\sqrt{100}=10$
可得$\sqrt{93.1}\approx0.9649 × 10 = 9.649$
【答案】
9.649
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.小数点移动规律
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查被开方数和算术平方根的变化规律，解题的关键是准确判断已知与所求被开方数的小数点移动位数，牢记对应规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的相关规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就对应向右（或向左）移动1位。首先对比已知的$\sqrt{0.931}\approx0.9649$和所求的$\sqrt{93.1}$，发现被开方数0.931的小数点向右移动2位得到93.1，因此对应算术平方根的小数点也向右移动1位即可得到结果。
【解析】
我们知道：若被开方数扩大为原来的100倍，则其算术平方根扩大为原来的10倍。
观察可得：$93.1 = 0.931 × 100$
因此$\sqrt{93.1} = \sqrt{0.931 × 100} = \sqrt{0.931} × \sqrt{100}$
代入已知$\sqrt{0.931}\approx0.9649$，$\sqrt{100}=10$
可得$\sqrt{93.1}\approx0.9649 × 10 = 9.649$
【答案】
9.649
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.小数点移动规律
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查被开方数和算术平方根的变化规律，解题的关键是准确判断已知与所求被开方数的小数点移动位数，牢记对应规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
(2025南京建邺月考)已知$\sqrt{a-1} + |b+2| = 0$，则$\sqrt{(a+b)^2}$的值为
1
答案
15. 1
解析
【分析】
本题需结合非负数的性质求解：算术平方根和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值均为0。我们可以先据此列方程求出a、b的取值，再代入目标式计算即可，计算时注意算术平方根的结果是非负的。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-1} ≥ 0$，$|b+2| ≥ 0$，且$\sqrt{a-1} + |b+2| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}a-1=0 \\ b+2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1 \\ b=-2\end{cases}$
将$a=1$，$b=-2$代入$\sqrt{(a+b)^2}$得：
$\sqrt{(1-2)^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；算术平方根；绝对值
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，同时要熟练掌握算术平方根的运算规则，避免出现开方后取负值的错误。
【难度系数】
0.8
本题需结合非负数的性质求解：算术平方根和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值均为0。我们可以先据此列方程求出a、b的取值，再代入目标式计算即可，计算时注意算术平方根的结果是非负的。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-1} ≥ 0$，$|b+2| ≥ 0$，且$\sqrt{a-1} + |b+2| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}a-1=0 \\ b+2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1 \\ b=-2\end{cases}$
将$a=1$，$b=-2$代入$\sqrt{(a+b)^2}$得：
$\sqrt{(1-2)^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；算术平方根；绝对值
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，同时要熟练掌握算术平方根的运算规则，避免出现开方后取负值的错误。
【难度系数】
0.8
16 新趋势 情境素材 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h(km)，观测者能看到地面的最远距离为d(km)，则$d≈\sqrt{2hR}$，其中R是地球半径，通常取6 400 km. 小亮站在大洋湾景区望海楼俯瞰美景，眼睛离地面的高度h为0.02 km，求此时他能观测到地面的最远距离. 
答案
16. 解：由 $R = 6\ 400\ \mathrm{km}$，$h = 0.02\ \mathrm{km}$，得 $d \approx \sqrt{2× 0.02× 6\ 400}=16(\mathrm{km})$。
故此时观测者能看到的最远距离 $d$ 约是 16 km。
故此时观测者能看到的最远距离 $d$ 约是 16 km。
解析
【分析】
本题属于公式代入求值类题目，解题时首先明确题目给出的计算公式$d≈\sqrt{2hR}$中各字母的含义，找到对应已知量：地球半径$R=6400\mathrm{km}$，观测点高度$h=0.02\mathrm{km}$，接下来将两个已知量代入公式，先计算根号内的乘积，再求所得结果的算术平方根，即可得到最远距离$d$。
【解析】
解：已知地球半径$R=6400\mathrm{km}$，观测点高度$h=0.02\mathrm{km}$，将其代入公式$d≈\sqrt{2hR}$得：
$\begin{aligned}d&\approx\sqrt{2×0.02×6400}\\&=\sqrt{0.04×6400}\\&=\sqrt{256}\\&=16(\mathrm{km})\end{aligned}$
答：此时他能观测到地面的最远距离约为16km。
【答案】
16 km
【知识点】
算术平方根计算，代数式代入求值，二次根式实际应用
【点评】
本题结合生活古诗情境考查数学知识的应用，解题核心是准确代入数值、正确计算算术平方根，属于基础应用类题目，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9
本题属于公式代入求值类题目，解题时首先明确题目给出的计算公式$d≈\sqrt{2hR}$中各字母的含义，找到对应已知量：地球半径$R=6400\mathrm{km}$，观测点高度$h=0.02\mathrm{km}$，接下来将两个已知量代入公式，先计算根号内的乘积，再求所得结果的算术平方根，即可得到最远距离$d$。
【解析】
解：已知地球半径$R=6400\mathrm{km}$，观测点高度$h=0.02\mathrm{km}$，将其代入公式$d≈\sqrt{2hR}$得：
$\begin{aligned}d&\approx\sqrt{2×0.02×6400}\\&=\sqrt{0.04×6400}\\&=\sqrt{256}\\&=16(\mathrm{km})\end{aligned}$
答：此时他能观测到地面的最远距离约为16km。
【答案】
16 km
【知识点】
算术平方根计算，代数式代入求值，二次根式实际应用
【点评】
本题结合生活古诗情境考查数学知识的应用，解题核心是准确代入数值、正确计算算术平方根，属于基础应用类题目，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9
17 新趋势 新概念（2025无锡惠山期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1,4,9这三个数，$\sqrt{1 × 4}=2$，$\sqrt{1 × 9}=3$，$\sqrt{4 × 9}=6$，其结果分别为2,3,6，都是整数，所以1,4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）3,12,16
（2）请证明2,8,18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（3）已知4,a,25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值.
（1）3,12,16
不是
“和谐组合”（填“是”或“不是”）；（2）请证明2,8,18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（3）已知4,a,25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值.
答案
17. (1) 不是
(2) 证明:因为 $\sqrt{2× 18}=6$，$\sqrt{2× 8}=4$，$\sqrt{18× 8}=12$，
所以 2,8,18 这三个数是“和谐组合”，
其中最小算术平方根是 4,最大算术平方根是 12.
(3) 解:①当 $4≤ a≤ 25$ 时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，得 $a=0$(舍去)；
②当 $a≤ 4＜25$ 时，$\sqrt{4× 25}=5\sqrt{4a}$，得 $a=1$,经检验符合题意；
③当 $4＜25≤ a$ 时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4× 25}$，得 $a=100$,经检验符合题意.
综上,$a$ 的值为 1 或 100.
(2) 证明:因为 $\sqrt{2× 18}=6$，$\sqrt{2× 8}=4$，$\sqrt{18× 8}=12$，
所以 2,8,18 这三个数是“和谐组合”，
其中最小算术平方根是 4,最大算术平方根是 12.
(3) 解:①当 $4≤ a≤ 25$ 时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，得 $a=0$(舍去)；
②当 $a≤ 4＜25$ 时，$\sqrt{4× 25}=5\sqrt{4a}$，得 $a=1$,经检验符合题意；
③当 $4＜25≤ a$ 时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4× 25}$，得 $a=100$,经检验符合题意.
综上,$a$ 的值为 1 或 100.
解析
【分析】
（1）判断是否为“和谐组合”只需按照定义，计算三个数任意两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数则是，否则不是。
（2）先依次计算2、8、18两两乘积的算术平方根，验证全为整数即可证明是“和谐组合”，再从计算结果中找出最小、最大值对应要求的两个算术平方根。
（3）因a的大小未知，需分三种情况讨论：a在4和25之间、a≤4、a≥25，分别确定每种情况的最小和最大算术平方根，再根据“最大是最小的5倍”列方程求解，最后舍去不符合正整数要求的解。
【解析】
（1）计算得：$\sqrt{3×12}=6$（整数），$\sqrt{3×16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$（非整数），存在结果不是整数，因此不是和谐组合。
（2）证明：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{8×18}=12$，
三个结果均为整数，因此2,8,18是“和谐组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。
（3）解：分三种情况讨论：
①当$4≤a≤25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
②当$a≤4＜25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，列方程$10=5\sqrt{4a}$，解得$a=1$，符合题意；
③当$4＜25≤a$时，最小算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=5×10$，解得$a=100$，符合题意。
综上，a的值为1或100。
【答案】
(1) 不是
(2) 2,8,18是“和谐组合”，最小算术平方根为4，最大算术平方根为12
(3) $a$的值为1或100
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的应用，解题关键是准确理解新定义的运算规则，第三问需要根据a的取值范围分类讨论，避免漏解，同时要注意检验解是否符合正整数的前提要求。
【难度系数】
0.6
（1）判断是否为“和谐组合”只需按照定义，计算三个数任意两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数则是，否则不是。
（2）先依次计算2、8、18两两乘积的算术平方根，验证全为整数即可证明是“和谐组合”，再从计算结果中找出最小、最大值对应要求的两个算术平方根。
（3）因a的大小未知，需分三种情况讨论：a在4和25之间、a≤4、a≥25，分别确定每种情况的最小和最大算术平方根，再根据“最大是最小的5倍”列方程求解，最后舍去不符合正整数要求的解。
【解析】
（1）计算得：$\sqrt{3×12}=6$（整数），$\sqrt{3×16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$（非整数），存在结果不是整数，因此不是和谐组合。
（2）证明：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{8×18}=12$，
三个结果均为整数，因此2,8,18是“和谐组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。
（3）解：分三种情况讨论：
①当$4≤a≤25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
②当$a≤4＜25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，列方程$10=5\sqrt{4a}$，解得$a=1$，符合题意；
③当$4＜25≤a$时，最小算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=5×10$，解得$a=100$，符合题意。
综上，a的值为1或100。
【答案】
(1) 不是
(2) 2,8,18是“和谐组合”，最小算术平方根为4，最大算术平方根为12
(3) $a$的值为1或100
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的应用，解题关键是准确理解新定义的运算规则，第三问需要根据a的取值范围分类讨论，避免漏解，同时要注意检验解是否符合正整数的前提要求。
【难度系数】
0.6
