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11.如图5,在平面上,将边长相等的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,则$∠ 3+∠ 1-∠ 2=$（
A.$30°$
B.$24°$
C.$40°$
D.$36°$
B
）A.$30°$
B.$24°$
C.$40°$
D.$36°$
答案
11.B
解析
【分析】
解决这道题的思路很清晰：第一步先回忆正多边形内角的计算公式，算出题目涉及的四个正多边形的内角度数；第二步结合图形重叠的特征，明确∠1、∠2、∠3分别是相邻两个正多边形的内角差值；第三步把三个角的度数代入算式计算即可得到结果。
【解析】
正n边形的每个内角计算公式为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$，据此先计算各正多边形的内角：
1. 等边三角形（正3边形）内角：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
2. 正方形（正4边形）内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
3. 正五边形内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
4. 正六边形内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
结合图形重叠的特点，三个角的度数分别为：
$∠1=120°-108°=12°$
$∠2=108°-90°=18°$
$∠3=90°-60°=30°$
代入算式计算：
$∠3+∠1-∠2=30°+12°-18°=24°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算、角度和差计算
【点评】
本题侧重考查正多边形内角公式的基础应用，解题核心是准确计算各正多边形内角，结合图形明确所求角的含义，计算难度较低，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路很清晰：第一步先回忆正多边形内角的计算公式，算出题目涉及的四个正多边形的内角度数；第二步结合图形重叠的特征，明确∠1、∠2、∠3分别是相邻两个正多边形的内角差值；第三步把三个角的度数代入算式计算即可得到结果。
【解析】
正n边形的每个内角计算公式为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$，据此先计算各正多边形的内角：
1. 等边三角形（正3边形）内角：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
2. 正方形（正4边形）内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
3. 正五边形内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
4. 正六边形内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
结合图形重叠的特点，三个角的度数分别为：
$∠1=120°-108°=12°$
$∠2=108°-90°=18°$
$∠3=90°-60°=30°$
代入算式计算：
$∠3+∠1-∠2=30°+12°-18°=24°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算、角度和差计算
【点评】
本题侧重考查正多边形内角公式的基础应用，解题核心是准确计算各正多边形内角，结合图形明确所求角的含义，计算难度较低，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
12.在如图6所示的四边形中，若去掉一个$50°$的角得到一个五边形，则$∠ 1+∠ 2=$
230
度. 答案
12.230
解析
【分析】
解题思路可以从两个角度入手：①利用多边形内角和公式求解：先求出四边形的内角和，减去50°得到去掉这个角后剩余三个内角的和，再求出五边形的内角和，用五边形内角和减去剩余三个内角的和，即可得到∠1+∠2的度数；②利用平角和三角形内角和求解：去掉50°角后会形成一个含50°角的小三角形，先求出这个三角形另外两个内角的和，而∠1、∠2分别和这两个内角组成平角（和为180°），用两个平角的和减去这两个内角的和即可求出结果。
【解析】
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$
1. 首先计算四边形内角和：$(4-2)×180°=360°$
去掉50°角后，四边形剩余三个内角的和为：$360°-50°=310°$
2. 再计算得到的五边形的内角和：$(5-2)×180°=540°$
3. 因此$∠1+∠2=540°-310°=230°$
【答案】
230
【知识点】
多边形内角和定理；平角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于多边形内角和的基础应用题型，两种解题思路都紧扣平面几何角的基本性质，解题的核心是理清剪去一个角前后各角的数量关系，是多边形章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
解题思路可以从两个角度入手：①利用多边形内角和公式求解：先求出四边形的内角和，减去50°得到去掉这个角后剩余三个内角的和，再求出五边形的内角和，用五边形内角和减去剩余三个内角的和，即可得到∠1+∠2的度数；②利用平角和三角形内角和求解：去掉50°角后会形成一个含50°角的小三角形，先求出这个三角形另外两个内角的和，而∠1、∠2分别和这两个内角组成平角（和为180°），用两个平角的和减去这两个内角的和即可求出结果。
【解析】
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$
1. 首先计算四边形内角和：$(4-2)×180°=360°$
去掉50°角后，四边形剩余三个内角的和为：$360°-50°=310°$
2. 再计算得到的五边形的内角和：$(5-2)×180°=540°$
3. 因此$∠1+∠2=540°-310°=230°$
【答案】
230
【知识点】
多边形内角和定理；平角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于多边形内角和的基础应用题型，两种解题思路都紧扣平面几何角的基本性质，解题的核心是理清剪去一个角前后各角的数量关系，是多边形章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
13.如图7，点M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，求∠MON的度数. 
图7
图7答案
13.$45°$
解析
【分析】
求解本题首先要利用正多边形的性质：正多边形的中心到各顶点的距离相等，相邻顶点与中心的夹角（中心角）相等，等于360°除以边数。我们可以先连接OA、OB，结合已知AM=BN，证明△OAM和△OBN全等，得到对应角相等，再通过角的和差关系将∠MON转化为正八边形的中心角，代入计算即可得到结果。
【解析】
连接OA、OB。
∵ O是正八边形的中心，
∴ OA=OB，正八边形的中心角∠AOB=360°÷8=45°，且∠OAM=∠OBN（正八边形的边与中心连线的夹角相等）。
在△OAM和△OBN中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠ OAM=∠ OBN\\AM=BN\end{array} $
∴ △OAM≌△OBN（SAS），
∴ ∠AOM=∠BON，
∴ ∠MON=∠MOB+∠BON=∠MOB+∠AOM=∠AOB=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
1.正多边形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形与全等三角形的综合应用题，解题的核心是通过连接正多边形的中心和顶点构造全等三角形，将未知角转化为已知的正多边形中心角，解题思路清晰，技巧性不强，熟练掌握基础性质即可求解。
【难度系数】
0.7
求解本题首先要利用正多边形的性质：正多边形的中心到各顶点的距离相等，相邻顶点与中心的夹角（中心角）相等，等于360°除以边数。我们可以先连接OA、OB，结合已知AM=BN，证明△OAM和△OBN全等，得到对应角相等，再通过角的和差关系将∠MON转化为正八边形的中心角，代入计算即可得到结果。
【解析】
连接OA、OB。
∵ O是正八边形的中心，
∴ OA=OB，正八边形的中心角∠AOB=360°÷8=45°，且∠OAM=∠OBN（正八边形的边与中心连线的夹角相等）。
在△OAM和△OBN中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠ OAM=∠ OBN\\AM=BN\end{array} $
∴ △OAM≌△OBN（SAS），
∴ ∠AOM=∠BON，
∴ ∠MON=∠MOB+∠BON=∠MOB+∠AOM=∠AOB=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
1.正多边形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形与全等三角形的综合应用题，解题的核心是通过连接正多边形的中心和顶点构造全等三角形，将未知角转化为已知的正多边形中心角，解题思路清晰，技巧性不强，熟练掌握基础性质即可求解。
【难度系数】
0.7
14. 如图8,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD//BC,AE//DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形；
(2)若AB=6,AC=8,求EF的长.
(1)求证:四边形AECD是菱形；
(2)若AB=6,AC=8,求EF的长.
答案
14.(1)略
(2)$EF=\frac{24}{5}$
(2)$EF=\frac{24}{5}$
解析
【分析】
(1)要证明四边形AECD是菱形，先根据两组对边分别平行判定它是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到一组邻边相等，即可得证。(2)求EF的长，EF是菱形CD边上的高，可先利用勾股定理求出BC的长，得到菱形的边长，再通过面积法，用两种方式表示菱形的面积，建立等式即可求出EF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=EC（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴平行四边形AECD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2)解：
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵E是BC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}BC=5$，
∵四边形AECD是菱形，
∴CD=EC=5。
计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
∵E是BC中点，
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12$，
∴菱形AECD的面积$S=2S_{△ AEC}=24$。
又
∵菱形面积也可表示为$S=CD· EF$，
∴$5× EF=24$，
解得$EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$EF=\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形的典型综合题，既考查了特殊四边形的判定逻辑，也考查了利用面积法求解线段长度的技巧，解题时要注意结合图形性质灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形AECD是菱形，先根据两组对边分别平行判定它是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到一组邻边相等，即可得证。(2)求EF的长，EF是菱形CD边上的高，可先利用勾股定理求出BC的长，得到菱形的边长，再通过面积法，用两种方式表示菱形的面积，建立等式即可求出EF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=EC（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴平行四边形AECD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2)解：
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵E是BC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}BC=5$，
∵四边形AECD是菱形，
∴CD=EC=5。
计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
∵E是BC中点，
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12$，
∴菱形AECD的面积$S=2S_{△ AEC}=24$。
又
∵菱形面积也可表示为$S=CD· EF$，
∴$5× EF=24$，
解得$EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$EF=\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形的典型综合题，既考查了特殊四边形的判定逻辑，也考查了利用面积法求解线段长度的技巧，解题时要注意结合图形性质灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
15.如图9所示,六个圆的半径都是1.顺次连接六个圆心得到六边形ABCDEF.
（1）六边形ABCDEF的内角和是多少度？
（2）图中阴影部分的面积之和是多少？
（1）六边形ABCDEF的内角和是多少度？
（2）图中阴影部分的面积之和是多少？
答案
15.(1)$720°$
(2)$2π$
(2)$2π$
解析
【分析】
（1）求六边形内角和可直接使用多边形内角和公式，公式为$(n-2)×180°$，其中$n$是多边形的边数，本题中六边形边数$n=6$，代入公式计算即可。
（2）观察阴影部分可知，阴影是6个半径均为1的扇形，所有扇形的圆心角之和恰好等于六边形的内角和，无需单独计算每个扇形的面积，将总圆心角代入扇形面积公式即可求出总面积，简化计算过程。
【解析】
（1）根据多边形内角和公式：$ S_{\mathrm{内角和}}=(n-2)×180° $（$n≥3$且$n$为整数）
六边形的边数$n=6$，代入得：
$ (6-2)×180°=4×180°=720° $
（2）已知六个扇形的半径$r=1$，所有扇形的圆心角之和等于六边形内角和为$720°$，
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360} $（$n$为圆心角度数），则阴影部分总面积：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{720×π×1^2}{360}=2π $
【答案】
（1）$720°$；（2）$2π$
【知识点】
多边形内角和公式、扇形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是发现阴影部分扇形的圆心角总和等于六边形内角和，将多个扇形面积求和转化为整体计算，避免了分步计算的繁琐，考验对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求六边形内角和可直接使用多边形内角和公式，公式为$(n-2)×180°$，其中$n$是多边形的边数，本题中六边形边数$n=6$，代入公式计算即可。
（2）观察阴影部分可知，阴影是6个半径均为1的扇形，所有扇形的圆心角之和恰好等于六边形的内角和，无需单独计算每个扇形的面积，将总圆心角代入扇形面积公式即可求出总面积，简化计算过程。
【解析】
（1）根据多边形内角和公式：$ S_{\mathrm{内角和}}=(n-2)×180° $（$n≥3$且$n$为整数）
六边形的边数$n=6$，代入得：
$ (6-2)×180°=4×180°=720° $
（2）已知六个扇形的半径$r=1$，所有扇形的圆心角之和等于六边形内角和为$720°$，
根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360} $（$n$为圆心角度数），则阴影部分总面积：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{720×π×1^2}{360}=2π $
【答案】
（1）$720°$；（2）$2π$
【知识点】
多边形内角和公式、扇形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是发现阴影部分扇形的圆心角总和等于六边形内角和，将多个扇形面积求和转化为整体计算，避免了分步计算的繁琐，考验对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
