登录
7. 如图,数轴上点 $A$,$B$ 的横坐标分别对应 1,2,过点 $B$ 作 $PQ\perp AB$,以点 $B$ 为圆心,$AB$ 长为半径画弧,交 $PQ$ 于点 $C$,以原点 $O$ 为圆心,$OC$ 长为半径画弧,交数轴于点 $M$,则点 $M$ 对应的数是(
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{7}$
B
)A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{7}$
答案
B
解析
由题意得，点A对应1，点B对应2，所以AB=2-1=1。
因为PQ⊥AB，点B为圆心，AB长为半径画弧交PQ于点C，所以BC=AB=1，且BC⊥AB。
点B的坐标为(2,0)，则点C的坐标为(2,1)（或(2,-1)，不影响OC长度）。
根据勾股定理，OC=√(2²+1²)=√5。
以原点O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，所以OM=OC=√5，故点M对应的数是√5。
因为PQ⊥AB，点B为圆心，AB长为半径画弧交PQ于点C，所以BC=AB=1，且BC⊥AB。
点B的坐标为(2,0)，则点C的坐标为(2,1)（或(2,-1)，不影响OC长度）。
根据勾股定理，OC=√(2²+1²)=√5。
以原点O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，所以OM=OC=√5，故点M对应的数是√5。
8. 给出下列实数：$\frac{2017}{2018}$,$\pi$,$\sqrt{9}$,$\sqrt{3}$,$2\pi$,$\sqrt[3]{8}$,$0.36$,$0.3737737773…$(相邻两个 3 之间 7 的个数逐次加 1),$-\frac{5}{2}$,$\sqrt{\frac{4}{9}}$。其中无理数的个数是(
A.4
B.5
C.6
D.7
A
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
A
解析
无理数的定义：无限不循环小数，初步了解无理数（如π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数）。
$\frac{2017}{2018}$：这是一个分数，可以表示为两个整数的比，因此它是有理数。
$\pi$：这是一个无限不循环小数，因此它是无理数。
$\sqrt{9}$：这等于3，是一个整数，因此它是有理数。
$\sqrt{3}$：3的平方根不能表示为两个整数的比，且是无限不循环小数，因此它是无理数。
$2\pi$：由于$\pi$是无理数，与有理数相乘仍然是无理数，所以$2\pi$也是无理数。
$\sqrt[3]{8}$：这等于2，是一个整数，因此它是有理数。
$0.36$：这是一个有限小数，因此它是有理数。
$0.3737737773…$（相邻两个3之间7的个数逐次加1）：这是一个无限不循环小数，因此它是无理数。
$-\frac{5}{2}$：这是一个分数，可以表示为两个整数的比，因此它是有理数。
$\sqrt{\frac{4}{9}}$：这等于$\frac{2}{3}$，是一个有理数。
所以，无理数有：$\pi$，$\sqrt{3}$，$2\pi$，$0.3737737773…$（相邻两个3之间7的个数逐次加1），共4个。
$\frac{2017}{2018}$：这是一个分数，可以表示为两个整数的比，因此它是有理数。
$\pi$：这是一个无限不循环小数，因此它是无理数。
$\sqrt{9}$：这等于3，是一个整数，因此它是有理数。
$\sqrt{3}$：3的平方根不能表示为两个整数的比，且是无限不循环小数，因此它是无理数。
$2\pi$：由于$\pi$是无理数，与有理数相乘仍然是无理数，所以$2\pi$也是无理数。
$\sqrt[3]{8}$：这等于2，是一个整数，因此它是有理数。
$0.36$：这是一个有限小数，因此它是有理数。
$0.3737737773…$（相邻两个3之间7的个数逐次加1）：这是一个无限不循环小数，因此它是无理数。
$-\frac{5}{2}$：这是一个分数，可以表示为两个整数的比，因此它是有理数。
$\sqrt{\frac{4}{9}}$：这等于$\frac{2}{3}$，是一个有理数。
所以，无理数有：$\pi$，$\sqrt{3}$，$2\pi$，$0.3737737773…$（相邻两个3之间7的个数逐次加1），共4个。
9. 如图,$PM = PN$,$MQ$ 为 $\triangle PMN$ 的角平分线。若 $\angle MQN = 72^{\circ}$,则 $\angle P$ 的度数是(
A.$18^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$48^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
B
)A.$18^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$48^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
B
解析
设∠PMN=∠PNM=2x，∵PM=PN，∴△PMN为等腰三角形，底角∠PMN=∠PNM=2x。
∵MQ平分∠PMN，∴∠QMN=∠PMN/2=x。
在△MQN中，∠MQN=72°，∠QMN=x，∠QNM=2x，由三角形内角和定理得：x+2x+72°=180°，解得x=36°。
∴∠PMN=∠PNM=2x=72°，在△PMN中，∠P=180°-2×72°=36°。
∵MQ平分∠PMN，∴∠QMN=∠PMN/2=x。
在△MQN中，∠MQN=72°，∠QMN=x，∠QNM=2x，由三角形内角和定理得：x+2x+72°=180°，解得x=36°。
∴∠PMN=∠PNM=2x=72°，在△PMN中，∠P=180°-2×72°=36°。
10. 如图,在平面直角坐标系中,函数 $y = 2x$ 和 $y = -x$ 的图象分别为直线 $l_{1}$,$l_{2}$,过点 $(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线,交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$,过点 $A_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线,交 $l_{2}$ 于点 $A_{2}$,过点 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线,交 $l_{1}$ 于点 $A_{3}$,过点 $A_{3}$ 作 $y$ 轴的垂线,交 $l_{2}$ 于点 $A_{4}$,依次进行下去,则点 $A_{2017}$ 的坐标为(
A.$(2^{1008},2^{1009})$
B.$(2^{1008},-2^{1009})$
C.$(1008,1009)$
D.$(-1008,-1009)$
A
)A.$(2^{1008},2^{1009})$
B.$(2^{1008},-2^{1009})$
C.$(1008,1009)$
D.$(-1008,-1009)$
答案
A
解析
由题意，已知$l_1:y = 2x$，$l_2:y = -x$，过点$(1,0)$作$x$轴的垂线交$l_1$于点$A_1$，把$x = 1$代入$y = 2x$得$y = 2$，所以$A_1(1,2)$。
过点$A_1$作$y$轴的垂线交$l_2$于点$A_2$，把$y = 2$代入$y = -x$得$x = -2$，所以$A_2(-2,2)$。
过点$A_2$作$x$轴的垂线交$l_1$于点$A_3$，把$x = -2$代入$y = 2x$得$y = -4$，所以$A_3(-2,-4)$。
过点$A_3$作$y$轴的垂线交$l_2$于点$A_4$，把$y = -4$代入$y = -x$得$x = 4$，所以$A_4(4,-4)$。
观察可得$A_1(1,2)$，$A_2(-2,2)$，$A_3(-2,-4)$，$A_4(4,-4)$，$A_5(4,8)$，$A_6(-8,8)$，$A_7(-8,-16)$，$A_8(16,-16)$，$\cdots$
可以发现规律，当$n$为奇数时，$A_n\left((-2)^{\frac{n - 1}{2}},(-2)^{\frac{n + 1}{2}}×(-1)^{\frac{n - 1}{2}+1}×2\right)$（经过规律总结实际坐标规律为$A_n\left((-2)^{\frac{n - 1}{2}},2^{\frac{n + 1}{2}}\right)$ ），当$n$为偶数时，$A_n\left((-2)^{\frac{n}{2}}, - 2^{\frac{n}{2}}\right)$。
因为$2017$是奇数，$\frac{2017 - 1}{2}=1008$，$\frac{2017 + 1}{2}=1009$，所以$A_{2017}$的坐标为$(2^{1008},2^{1009})$。
过点$A_1$作$y$轴的垂线交$l_2$于点$A_2$，把$y = 2$代入$y = -x$得$x = -2$，所以$A_2(-2,2)$。
过点$A_2$作$x$轴的垂线交$l_1$于点$A_3$，把$x = -2$代入$y = 2x$得$y = -4$，所以$A_3(-2,-4)$。
过点$A_3$作$y$轴的垂线交$l_2$于点$A_4$，把$y = -4$代入$y = -x$得$x = 4$，所以$A_4(4,-4)$。
观察可得$A_1(1,2)$，$A_2(-2,2)$，$A_3(-2,-4)$，$A_4(4,-4)$，$A_5(4,8)$，$A_6(-8,8)$，$A_7(-8,-16)$，$A_8(16,-16)$，$\cdots$
可以发现规律，当$n$为奇数时，$A_n\left((-2)^{\frac{n - 1}{2}},(-2)^{\frac{n + 1}{2}}×(-1)^{\frac{n - 1}{2}+1}×2\right)$（经过规律总结实际坐标规律为$A_n\left((-2)^{\frac{n - 1}{2}},2^{\frac{n + 1}{2}}\right)$ ），当$n$为偶数时，$A_n\left((-2)^{\frac{n}{2}}, - 2^{\frac{n}{2}}\right)$。
因为$2017$是奇数，$\frac{2017 - 1}{2}=1008$，$\frac{2017 + 1}{2}=1009$，所以$A_{2017}$的坐标为$(2^{1008},2^{1009})$。
