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1. 用 24 个 1 平方厘米的小正方形拼成一个长方形,一共有(
4
)种不同的拼法,拼成的长方形中周长最短是(20
)厘米。答案
$4$；$20$
解析
1. 找出所有可能的拼法：
因为用$24$个$1$平方厘米的小正方形拼长方形，设长方形长$a$个小正方形，宽$b$个小正方形，则$a× b = 24$。
$24 = 1×24$，$24 = 2×12$，$24 = 3×8$，$24 = 4×6$，共$4$种不同的拼法。
2. 计算不同拼法下长方形的周长：
根据长方形周长公式$C=(a + b)×2$（$a$为长，$b$为宽）。
当$a = 24$，$b = 1$时，$C=(24 + 1)×2=50$厘米；
当$a = 12$，$b = 2$时，$C=(12 + 2)×2 = 28$厘米；
当$a = 8$，$b = 3$时，$C=(8 + 3)×2 = 22$厘米；
当$a = 6$，$b = 4$时，$C=(6 + 4)×2 = 20$厘米。
所以周长最短是$20$厘米。
因为用$24$个$1$平方厘米的小正方形拼长方形，设长方形长$a$个小正方形，宽$b$个小正方形，则$a× b = 24$。
$24 = 1×24$，$24 = 2×12$，$24 = 3×8$，$24 = 4×6$，共$4$种不同的拼法。
2. 计算不同拼法下长方形的周长：
根据长方形周长公式$C=(a + b)×2$（$a$为长，$b$为宽）。
当$a = 24$，$b = 1$时，$C=(24 + 1)×2=50$厘米；
当$a = 12$，$b = 2$时，$C=(12 + 2)×2 = 28$厘米；
当$a = 8$，$b = 3$时，$C=(8 + 3)×2 = 22$厘米；
当$a = 6$，$b = 4$时，$C=(6 + 4)×2 = 20$厘米。
所以周长最短是$20$厘米。
2. 下图中摆有 4 个五角星,(
4
)个三角形,(4
)个圆。按这个规律摆放,如果有 20 个五角星,对应的应该有(20
)个三角形,(20
)个圆。答案
4,4,20,20
解析
观察图形，五角星有4个，三角形与五角星数量相同为4个，圆也与五角星数量相同为4个。规律为三角形、圆的数量均等于五角星数量。当五角星有20个时，三角形和圆也各有20个。
3. 一个旅游团共 25 人到宾馆住宿,住 3 人间和 2 人间(每个房间不能有空床位),一共有多少种不同的安排？在表中填一填。
|3 人间个数|
|2 人间个数|
如果一个 3 人间每天的住宿费是 240 元,一个 2 人间每天的住宿费是 200 元,这个旅游团每天的住宿费最少是多少元？
|3 人间个数|
1
|3
|5
|7
||2 人间个数|
11
|8
|5
|2
|如果一个 3 人间每天的住宿费是 240 元,一个 2 人间每天的住宿费是 200 元,这个旅游团每天的住宿费最少是多少元？
2080元
答案
设3人间有$x$个，2人间有$y$个，由题意可得$3x + 2y = 25$，则$y=\frac{25 - 3x}{2}$。
因为$x$、$y$都为非负整数，所以$x$只能取奇数。
当$x = 1$时，$y=\frac{25 - 3×1}{2}=11$；
当$x = 3$时，$y=\frac{25 - 3×3}{2}=8$；
当$x = 5$时，$y=\frac{25 - 3×5}{2}=5$；
当$x = 7$时，$y=\frac{25 - 3×7}{2}=2$。
|3 人间个数|1|3|5|7|
|----|----|----|----|----|
|2 人间个数|11|8|5|2|
当$x = 1$，$y = 11$时，费用为$240×1 + 200×11=240 + 2200 = 2440$（元）；
当$x = 3$，$y = 8$时，费用为$240×3 + 200×8=720 + 1600 = 2320$（元）；
当$x = 5$，$y = 5$时，费用为$240×5 + 200×5=1200 + 1000 = 2200$（元）；
当$x = 7$，$y = 2$时，费用为$240×7 + 200×2=1680 + 400 = 2080$（元）。
$2080＜2200＜2320＜2440$
答：一共有4种不同的安排，这个旅游团每天的住宿费最少是2080元。
因为$x$、$y$都为非负整数，所以$x$只能取奇数。
当$x = 1$时，$y=\frac{25 - 3×1}{2}=11$；
当$x = 3$时，$y=\frac{25 - 3×3}{2}=8$；
当$x = 5$时，$y=\frac{25 - 3×5}{2}=5$；
当$x = 7$时，$y=\frac{25 - 3×7}{2}=2$。
|3 人间个数|1|3|5|7|
|----|----|----|----|----|
|2 人间个数|11|8|5|2|
当$x = 1$，$y = 11$时，费用为$240×1 + 200×11=240 + 2200 = 2440$（元）；
当$x = 3$，$y = 8$时，费用为$240×3 + 200×8=720 + 1600 = 2320$（元）；
当$x = 5$，$y = 5$时，费用为$240×5 + 200×5=1200 + 1000 = 2200$（元）；
当$x = 7$，$y = 2$时，费用为$240×7 + 200×2=1680 + 400 = 2080$（元）。
$2080＜2200＜2320＜2440$
答：一共有4种不同的安排，这个旅游团每天的住宿费最少是2080元。
4. 从下面选出若干根小棒,可以摆出几种不同的正方形？可以摆出几种不同的长方形(不包含正方形)？请尝试摆一摆、画一画,写出所有摆法。
3 cm
5 cm
3 cm
5 cm
答案
可以摆出的不同的正方形：
选4根5cm的小棒，边长为5cm；
选4根3cm的小棒，边长为3cm；
所以能摆出2种不同的正方形。
可以摆出的不同的长方形（不包含正方形）：
选2根3cm和2根5cm的小棒，长为5cm，宽为3cm；
所以能摆出1种不同的长方形。
选4根5cm的小棒，边长为5cm；
选4根3cm的小棒，边长为3cm；
所以能摆出2种不同的正方形。
可以摆出的不同的长方形（不包含正方形）：
选2根3cm和2根5cm的小棒，长为5cm，宽为3cm；
所以能摆出1种不同的长方形。
解析
可以摆出3种不同的正方形，4种不同的长方形（不包含正方形）。
正方形摆法：
1. 边长3cm，用4根3cm小棒；
2. 边长5cm，用4根5cm小棒；
3. 边长8cm，用2根3cm和2根5cm小棒（3+5=8）。
长方形摆法（不包含正方形）：
1. 长5cm，宽3cm，用2根3cm和2根5cm小棒；
2. 长3+3=6cm，宽3cm，用4根3cm小棒（此为正方形，已排除）；
3. 长3+3=6cm，宽5cm，用2根5cm和4根3cm小棒；
4. 长5+5=10cm，宽3cm，用2根3cm和4根5cm小棒；
5. 长5+5=10cm，宽5cm，用4根5cm小棒（此为正方形，已排除）；
6. 长3+5=8cm，宽3cm，用3根3cm和1根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
7. 长3+5=8cm，宽5cm，用1根3cm和3根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
8. 长3+3+5=11cm，宽3cm，用3根3cm和1根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
9. 长3+3+5=11cm，宽5cm，用2根3cm和2根5cm小棒（长11cm，宽5cm，用2根3cm、2根5cm和2根3cm小棒，共4根3cm和2根5cm小棒）；
10. 长3+5+5=13cm，宽3cm，用2根3cm和4根5cm小棒；
11. 长3+5+5=13cm，宽5cm，用1根3cm和5根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
12. 长3+3+5+5=16cm，宽3cm，用4根3cm和2根5cm小棒；
13. 长3+3+5+5=16cm，宽5cm，用2根3cm和4根5cm小棒；
14. 长3+3+5+5=16cm，宽8cm，用4根3cm和4根5cm小棒（此为正方形，已排除）。
经过筛选，符合条件的长方形摆法为：
1. 长5cm，宽3cm；
2. 长6cm，宽5cm；
3. 长10cm，宽3cm；
4. 长11cm，宽5cm；
5. 长13cm，宽3cm；
6. 长16cm，宽3cm；
7. 长16cm，宽5cm。
（注：原答案可能存在对小棒数量的不同理解，以上为根据常见情况的补充，实际以题目给定小棒数量为准，若3cm和5cm小棒各4根，则长方形摆法为4种：长5cm宽3cm、长6cm宽5cm、长10cm宽3cm、长8cm宽3cm（3+5=8，宽3cm））。
最终答案：正方形3种，长方形4种。
正方形摆法：
1. 边长3cm，用4根3cm小棒；
2. 边长5cm，用4根5cm小棒；
3. 边长8cm，用2根3cm和2根5cm小棒（3+5=8）。
长方形摆法（不包含正方形）：
1. 长5cm，宽3cm，用2根3cm和2根5cm小棒；
2. 长3+3=6cm，宽3cm，用4根3cm小棒（此为正方形，已排除）；
3. 长3+3=6cm，宽5cm，用2根5cm和4根3cm小棒；
4. 长5+5=10cm，宽3cm，用2根3cm和4根5cm小棒；
5. 长5+5=10cm，宽5cm，用4根5cm小棒（此为正方形，已排除）；
6. 长3+5=8cm，宽3cm，用3根3cm和1根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
7. 长3+5=8cm，宽5cm，用1根3cm和3根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
8. 长3+3+5=11cm，宽3cm，用3根3cm和1根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
9. 长3+3+5=11cm，宽5cm，用2根3cm和2根5cm小棒（长11cm，宽5cm，用2根3cm、2根5cm和2根3cm小棒，共4根3cm和2根5cm小棒）；
10. 长3+5+5=13cm，宽3cm，用2根3cm和4根5cm小棒；
11. 长3+5+5=13cm，宽5cm，用1根3cm和5根5cm小棒（小棒数量不足，无法摆出）；
12. 长3+3+5+5=16cm，宽3cm，用4根3cm和2根5cm小棒；
13. 长3+3+5+5=16cm，宽5cm，用2根3cm和4根5cm小棒；
14. 长3+3+5+5=16cm，宽8cm，用4根3cm和4根5cm小棒（此为正方形，已排除）。
经过筛选，符合条件的长方形摆法为：
1. 长5cm，宽3cm；
2. 长6cm，宽5cm；
3. 长10cm，宽3cm；
4. 长11cm，宽5cm；
5. 长13cm，宽3cm；
6. 长16cm，宽3cm；
7. 长16cm，宽5cm。
（注：原答案可能存在对小棒数量的不同理解，以上为根据常见情况的补充，实际以题目给定小棒数量为准，若3cm和5cm小棒各4根，则长方形摆法为4种：长5cm宽3cm、长6cm宽5cm、长10cm宽3cm、长8cm宽3cm（3+5=8，宽3cm））。
最终答案：正方形3种，长方形4种。
5. 下图中只含有●的正方形有(
2
)个,只含有★的正方形有(8
)个,既含有●又含有★的正方形有(2
)个。答案
2,8,2
解析
假设网格为4x4小格，●在(1,1)，★在(3,3)。
包含●的正方形：边长1(1,1)、边长2(1-2行,1-2列)、边长3(1-3行,1-3列)、边长4(1-4行,1-4列)，共4个。
包含★的正方形：边长1(3,3)；边长2(2-3行,2-3列)、(2-3行,3-4列)、(3-4行,2-3列)、(3-4行,3-4列)，共4个；边长3(1-3行,1-3列)、(1-3行,2-4列)、(2-4行,1-3列)、(2-4行,2-4列)，共4个；边长4(1-4行,1-4列)，共1个。总计1+4+4+1=10个。
既含●又含★：包含●的正方形中含★的为边长3和边长4的，共2个。
只含●：4-2=2个；只含★：10-2=8个。
包含●的正方形：边长1(1,1)、边长2(1-2行,1-2列)、边长3(1-3行,1-3列)、边长4(1-4行,1-4列)，共4个。
包含★的正方形：边长1(3,3)；边长2(2-3行,2-3列)、(2-3行,3-4列)、(3-4行,2-3列)、(3-4行,3-4列)，共4个；边长3(1-3行,1-3列)、(1-3行,2-4列)、(2-4行,1-3列)、(2-4行,2-4列)，共4个；边长4(1-4行,1-4列)，共1个。总计1+4+4+1=10个。
既含●又含★：包含●的正方形中含★的为边长3和边长4的，共2个。
只含●：4-2=2个；只含★：10-2=8个。
