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1. (★)经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间
线段
的长,叫做这点到圆的切线长.答案
线段
解析
根据切线长的定义，经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. (★)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的
切线长
相等,这一点和圆心的连线平分两条切线
的夹角.答案
切线长；两条切线
解析
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3. (★)三角形三条
内角平分线
的交点,叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形三边
的距离相等.答案
内角平分线 ，三边
解析
根据三角形的内心的定义和性质可知，三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，且三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4. (★)(2023·青海)如图 24.2 - 19,⊙O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB = 4,AC = 5,AD = 1,那么BC的长为
7
.答案
7
解析
∵⊙O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F，
∴AD=AE，BD=BF，CE=CF。
∵AD=1，
∴AE=1。
∵AB=4，AC=5，
∴BD=AB - AD=4 - 1=3，CE=AC - AE=5 - 1=4。
∴BF=BD=3，CF=CE=4。
∴BC=BF + CF=3 + 4=7。
*5. (★)如图 24.2 - 20,PA,PB分别切⊙O于点A,B,点E是⊙O上一点,且∠AEB = 60°,则∠P的度数为
60°
.答案
$60°$
解析
连接$OA$，$OB$，由于$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，
根据切线与半径垂直的性质，有$OA \perp PA$，$OB \perp PB$，即$\angle OAP = \angle OBP = 90°$。
由于点$E$在$\odot O$上，且$\angle AEB = 60°$，
根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，有$\angle AOB = 2\angle AEB = 120°$。
接下来，考虑四边形$OAPB$，其内角和为$360°$，
因此，$\angle P = 360° - \angle OAP - \angle OBP - \angle AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°$。
根据切线与半径垂直的性质，有$OA \perp PA$，$OB \perp PB$，即$\angle OAP = \angle OBP = 90°$。
由于点$E$在$\odot O$上，且$\angle AEB = 60°$，
根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，有$\angle AOB = 2\angle AEB = 120°$。
接下来，考虑四边形$OAPB$，其内角和为$360°$，
因此，$\angle P = 360° - \angle OAP - \angle OBP - \angle AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°$。
*6. (★)如图 24.2 - 21,PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,有以下结论:①PA = PB;②∠1 = ∠2;③∠3 = ∠4;④AB垂直平分OP;⑤AB被OP垂直平分.其中正确的结论有【
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
】A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
1.
∵ PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，
∴ 由切线长定理得 PA = PB，∠1 = ∠2，故①②正确。
2. 在△OPA 与△OPB 中，
OP = OP，PA = PB，OA = OB，
∴ △OPA ≌ △OPB（SSS），
∴ ∠3 = ∠4，故③正确。
3.
∵ OA ⊥ PA，∠1 = ∠2，
∴ OP 垂直平分 AB（等腰三角形三线合一），
即 AB 被 OP 垂直平分，故⑤正确。
4. 设 OP 交 AB 于点 D，
在 Rt△ODA 中，∠AOD 不一定等于∠OAD，
∴ AB 不一定垂直平分 OP，故④错误。
综上，①②③⑤正确，共 4 个。
∵ PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，
∴ 由切线长定理得 PA = PB，∠1 = ∠2，故①②正确。
2. 在△OPA 与△OPB 中，
OP = OP，PA = PB，OA = OB，
∴ △OPA ≌ △OPB（SSS），
∴ ∠3 = ∠4，故③正确。
3.
∵ OA ⊥ PA，∠1 = ∠2，
∴ OP 垂直平分 AB（等腰三角形三线合一），
即 AB 被 OP 垂直平分，故⑤正确。
4. 设 OP 交 AB 于点 D，
在 Rt△ODA 中，∠AOD 不一定等于∠OAD，
∴ AB 不一定垂直平分 OP，故④错误。
综上，①②③⑤正确，共 4 个。
*7. (★★)如图 24.2 - 22,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,⊙O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在$\overset{\frown}{AB}$上,若PA长为2,则△PEF的周长是
4
.答案
4
解析
1. 根据题意，$PA$，$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$，$B$，由切线性质可知$PA = PB = 2$。
2. 因为$EF$是$\odot O$的切线，切点为$C$，且$EF$分别交$PA$，$PB$于点$E$，$F$，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，所以$EA = EC$，$FB = FC$。
3. 计算$\triangle PEF$的周长，$\triangle PEF$的周长$C_{\triangle PEF}=PE + EF+PF$，将$EF = EC + FC$代入可得$C_{\triangle PEF}=PE + EC + FC+PF$，又因为$EA = EC$，$FB = FC$，所以$C_{\triangle PEF}=PE + EA+FB + PF=PA + PB$。
4. 已知$PA = PB = 2$，则$C_{\triangle PEF}=2 + 2=4$。
2. 因为$EF$是$\odot O$的切线，切点为$C$，且$EF$分别交$PA$，$PB$于点$E$，$F$，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，所以$EA = EC$，$FB = FC$。
3. 计算$\triangle PEF$的周长，$\triangle PEF$的周长$C_{\triangle PEF}=PE + EF+PF$，将$EF = EC + FC$代入可得$C_{\triangle PEF}=PE + EC + FC+PF$，又因为$EA = EC$，$FB = FC$，所以$C_{\triangle PEF}=PE + EA+FB + PF=PA + PB$。
4. 已知$PA = PB = 2$，则$C_{\triangle PEF}=2 + 2=4$。
8. (★★)(2023·潜江)如图 24.2 - 23,在△ABC中,∠ACB = 70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD的度数为
35°
.答案
35°
解析
设∠CAB=2α，∠CBA=2β，∵AO、BO分别平分∠CAB、∠CBA，∴∠OAD=α，∠OBE=β。
∵∠ACB=70°，∴2α+2β+70°=180°，得α+β=55°。
∵D、E为切点，∴BD=BE（切线长定理），△BDE为等腰三角形，∠BDE=∠BED=(180°-2β)/2=90°-β。
∵∠ADF+∠BDE=180°（平角定义），∴∠ADF=180°-(90°-β)=90°+β。
在△ADF中，∠AFD=180°-∠FAD-∠ADF=180°-α-(90°+β)=90°-(α+β)=90°-55°=35°。
∵∠ACB=70°，∴2α+2β+70°=180°，得α+β=55°。
∵D、E为切点，∴BD=BE（切线长定理），△BDE为等腰三角形，∠BDE=∠BED=(180°-2β)/2=90°-β。
∵∠ADF+∠BDE=180°（平角定义），∴∠ADF=180°-(90°-β)=90°+β。
在△ADF中，∠AFD=180°-∠FAD-∠ADF=180°-α-(90°+β)=90°-(α+β)=90°-55°=35°。
*9. (★★)如图 24.2 - 24,一圆O内切于四边形ABCD,且AB = 18,CD = 12,则这个四边形的周长为【
A.40
B.50
C.60
D.65
C
】A.40
B.50
C.60
D.65
答案
C
解析
圆 $O$ 内切于四边形 $ABCD$，设圆与四边形各边的切点分别为 $E, F, G, H$。根据切线长定理，从一点到圆的两个切点的切线长相等。
对于四边形 $ABCD$，设 $AE = AH = x$，$BE = BF = y$，$CF = CG = z$，$DG = DH = w$。
已知 $AB = 18$，$CD = 12$，则 $AB=AE + BE=x + y = 18$，$CD=CG+DG = z + w = 12$。
四边形 $ABCD$ 的周长 $C = AB+BC + CD+DA=(x + y)+(y + z)+(z + w)+(w + x)=2(x + y+z + w)$。
因为圆 $O$ 内切于四边形 $ABCD$，利用切线长定理可知，四边形 $ABCD$ 的周长可以表示为 $2(AB + CD)$。
把 $AB = 18$，$CD = 12$ 代入可得：$C=2×(18 + 12)=2×30 = 60$。
对于四边形 $ABCD$，设 $AE = AH = x$，$BE = BF = y$，$CF = CG = z$，$DG = DH = w$。
已知 $AB = 18$，$CD = 12$，则 $AB=AE + BE=x + y = 18$，$CD=CG+DG = z + w = 12$。
四边形 $ABCD$ 的周长 $C = AB+BC + CD+DA=(x + y)+(y + z)+(z + w)+(w + x)=2(x + y+z + w)$。
因为圆 $O$ 内切于四边形 $ABCD$，利用切线长定理可知，四边形 $ABCD$ 的周长可以表示为 $2(AB + CD)$。
把 $AB = 18$，$CD = 12$ 代入可得：$C=2×(18 + 12)=2×30 = 60$。
*10. (★★)如图 24.2 - 25,△ABC中,∠A = 60°,BC = 6,它的周长为16. 若⊙O与BC,AC,AB三边分别切于点E,F,D,则DF的长为【
A.2
B.3
C.4
D.6
A
】A.2
B.3
C.4
D.6
答案
A
解析
设⊙O与AB、AC的切点分别为D、F，与BC的切点为E，设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z。由切线长定理得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
∵△ABC周长为16，BC=6，
∴AB+AC+BC=16，即(AD+BD)+(AF+CF)+BC=16，
∴(x+y)+(x+z)+6=16，化简得2x+(y+z)=10。
又
∵BC=BE+CE=y+z=6，
∴2x+6=10，解得x=2，即AD=AF=2。
在△ADF中，AD=AF=2，∠A=60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴DF=AD=2。
∵△ABC周长为16，BC=6，
∴AB+AC+BC=16，即(AD+BD)+(AF+CF)+BC=16，
∴(x+y)+(x+z)+6=16，化简得2x+(y+z)=10。
又
∵BC=BE+CE=y+z=6，
∴2x+6=10，解得x=2，即AD=AF=2。
在△ADF中，AD=AF=2，∠A=60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴DF=AD=2。
