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23. 【基础巩固】
(1)如图甲所示,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD= ∠B.求证：$AC^2= AD·AB$.
【尝试应用】
(2)如图乙所示,在□ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上的一点,∠BFE= ∠A.若BF= 4,BE= 3,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图丙所示,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF//AC,AC= 2EF,∠EDF= $\frac{1}{2}$∠BAD,AE= 2,DF= 5,求菱形ABCD的边长.
(1)如图甲所示,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD= ∠B.求证：$AC^2= AD·AB$.
【尝试应用】
(2)如图乙所示,在□ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上的一点,∠BFE= ∠A.若BF= 4,BE= 3,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图丙所示,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF//AC,AC= 2EF,∠EDF= $\frac{1}{2}$∠BAD,AE= 2,DF= 5,求菱形ABCD的边长.
答案
(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，∴$AC^2=AD·AB$。
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C。∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C。∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BF}$，即$\frac{4}{BC}=\frac{3}{4}$，∴BC=$\frac{16}{3}$，∴AD=$\frac{16}{3}$。
(3)解：设菱形ABCD的边长为x，AC与BD交于点O。∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAD=2∠OAD，AC=2AO。∵EF//AC，AC=2EF，∴EF=$\frac{1}{2}$AC=AO，且△BEF∽△BAC，∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{2}$，∴BE=AE=2，∴AB=AE+BE=4，即菱形ABCD的边长为4。
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C。∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C。∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BF}$，即$\frac{4}{BC}=\frac{3}{4}$，∴BC=$\frac{16}{3}$，∴AD=$\frac{16}{3}$。
(3)解：设菱形ABCD的边长为x，AC与BD交于点O。∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAD=2∠OAD，AC=2AO。∵EF//AC，AC=2EF，∴EF=$\frac{1}{2}$AC=AO，且△BEF∽△BAC，∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{2}$，∴BE=AE=2，∴AB=AE+BE=4，即菱形ABCD的边长为4。
