★7. 若 $a,b,c$ 是直角三角形的三条边长,斜边 $c$ 上的高线长是 $h$,给出下列结论：
①长度分别为 $a^{2},b^{2},c^{2}$ 的三条线段能组成一个三角形；
②长度分别为 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 的三条线段能组成一个三角形；
③长度分别为 $a + b,c + h,h$ 的三条线段能组成直角三角形；
④长度分别为 $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ 的三条线段能组成直角三角形。
其中正确结论的序号为 $$。

②③

①由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，而$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，不满足三边关系，所以长度分别为$a^{2},b^{2},c^{2}$的三条线段不能组成三角形。
②因为$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a + b+2\sqrt{ab}$，$c^{2}=(a^{2}+b^{2})$，且$(a + b)-c\gt0$（直角三角形两直角边之和大于斜边），$a,b,c$是正数，通过分析可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt\sqrt{c}$，同理$\sqrt{a}+\sqrt{c}\gt\sqrt{b}$，$\sqrt{b}+\sqrt{c}\gt\sqrt{a}$，满足三边关系，所以长度分别为$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$的三条线段能组成三角形。
③因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$ab = ch$（直角三角形面积公式），则$(c + h)^{2}=c^{2}+2ch+h^{2}$，$h^{2}+(a + b)^{2}=h^{2}+a^{2}+2ab + b^{2}=h^{2}+c^{2}+2ch$，所以$h^{2}+(a + b)^{2}=(c + h)^{2}$，满足勾股定理的逆定理，长度分别为$a + b,c + h,h$的三条线段能组成直角三角形。
④假设$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$能组成直角三角形，不妨设$\frac{1}{a}$为斜边，则$\frac{1}{a}^{2}=\frac{1}{b}^{2}+\frac{1}{c}^{2}$，通分得到$\frac{1}{a^{2}}=\frac{c^{2}+b^{2}}{b^{2}c^{2}}$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即$\frac{1}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{b^{2}c^{2}}=\frac{1}{b^{2}}$，得$a = b$，对于任意直角三角形不一定成立，所以长度分别为$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$的三条线段不能组成直角三角形。
综上，正确结论的序号为②③。

8. 如图,$P$ 是正三角形 $ABC$ 内的一点,且 $PA = 6,PB = 8,PC = 10$,若将 $\triangle PAC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后得到 $\triangle P'AB$。
(1) 求点 $P$ 与点 $P'$ 之间的距离。
(2) 求 $\angle APB$ 的大小。
]

(1) $PP' = 6$。
(2) $\angle APB = 150°$。

(1) 连接 $PP'$。
由于 $\triangle ABC$ 是正三角形，
所以$\angle BAC = 60°$，
由题意，得 $\triangle PAC \cong \triangle P'AB$，
则$AP = AP'$，
$\angle PAP' = \angle BAC = 60°$，
所以$\triangle APP'$ 为等边三角形，
因此$PP' = PA = 6$。
(2) 由（1）得$PP'=6$，
在$\triangle PBP'$中，
$PB = 8$，$P'B=PC=10$，$PP'=6$，
由于 $6^2 + 8^2 = 10^2$，
根据勾股定理的逆定理，
得 $\triangle PBP'$ 为直角三角形，
$\angle BPP' = 90°$，
由 $\triangle APP'$ 为等边三角形，
所以$\angle APP' = 60°$，
故 $\angle APB = \angle BPP' + \angle APP' = 90° + 60° = 150°$。

9. 在 $\triangle ABC$ 中，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，设 $c$ 为最长边，当 $a^{2}+b^{2}= c^{2}$ 时，$\triangle ABC$ 是直角三角形；当 $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$ 时，利用代数式 $a^{2}+b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的大小关系，探究 $\triangle ABC$ 的形状（按角分类）。
(1) 当 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $6,8,9$ 时，$\triangle ABC$ 为 三角形；当 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $6,8,11$ 时，$\triangle ABC$ 为 三角形。
(2) 猜想，当 $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ 时，$\triangle ABC$ 为锐角三角形；当 $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ 时，$\triangle ABC$ 为钝角三角形。
(3) 判断当 $a = 2,b = 3$ 时，$\triangle ABC$ 的形状，并求出对应的 $c$ 的取值范围。
因为$c$为最长边，即$c\geqslant3$，
当$\triangle ABC$是直角三角形时，$c^{2}=2^{2}+3^{2}=13$，$c=\sqrt{13}$；
当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$c^{2}＞2^{2}+3^{2}=13$，$c＞\sqrt{13}$，又因为三角形三边关系$c＜2 + 3=5$，所以$\sqrt{13}＜c＜5$；
当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$c^{2}＜2^{2}+3^{2}=13$，$c＜\sqrt{13}$，结合$c\geqslant3$，所以$3\leqslant c＜\sqrt{13}$。
综上，当$3\leqslant c＜\sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；当$c = \sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$\sqrt{13}＜c＜5$时，$\triangle ABC$是钝角三角形。

(1)
对于三边长分别为$6,8,9$时：
$6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$9^{2}=81$，因为$6^{2}+8^{2}＞9^{2}$，所以$\triangle ABC$为锐角三角形；
对于三边长分别为$6,8,11$时：
$6^{2}+8^{2}=100$，$11^{2}=121$，因为$6^{2}+8^{2}＜11^{2}$，所以$\triangle ABC$为钝角三角形。
(2)
$＞$；$＜$
(3)
因为$c$为最长边，即$c\geqslant3$，
当$\triangle ABC$是直角三角形时，$c^{2}=2^{2}+3^{2}=13$，$c=\sqrt{13}$；
当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$c^{2}＞2^{2}+3^{2}=13$，$c＞\sqrt{13}$，又因为三角形三边关系$c＜2 + 3=5$，所以$\sqrt{13}＜c＜5$；
当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$c^{2}＜2^{2}+3^{2}=13$，$c＜\sqrt{13}$，结合$c\geqslant3$，所以$3\leqslant c＜\sqrt{13}$。
综上，当$3\leqslant c＜\sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；当$c = \sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$\sqrt{13}＜c＜5$时，$\triangle ABC$是钝角三角形。