14. 如图,$ P $ 是抛物线 $ y = -x^{2} + x + 1 $ 在第一象限上的点,过点 $ P $ 分别向 $ x $ 轴和 $ y $ 轴引垂线,垂足分别为点 $ A $,$ B $,则四边形 $ OAPB $ 周长的最大值为.

4

设点$ P(x,y) $，其中$ x＞0,y＞0 $。
因为$ P $在抛物线$ y=-x^2+x+1 $上，所以$ y=-x^2+x+1 $。
四边形$ OAPB $为矩形，周长$ C=2(OA+OB)=2(x+y) $。
将$ y=-x^2+x+1 $代入，得$ C=2[x+(-x^2+x+1)]=2(-x^2+2x+1) $。
化简得$ C=-2x^2+4x+2 $，其中$ x $满足$ 0＜x＜\frac{1+\sqrt{5}}{2} $（由$ y＞0 $解得）。
二次函数$ C=-2x^2+4x+2 $开口向下，对称轴为$ x=1 $，在$ x=1 $时取最大值。
当$ x=1 $时，$ y=-1+1+1=1 $，此时$ C=2(1+1)=4 $。

15. 某同学在用描点法画二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 图象时,列出了下面的表格：

由于粗心,他算错了一个 $ y $ 值,则这个错误的数值是.

-5

观察表格，$x=-1$与$x=1$时$y=-2$，可知二次函数对称轴为$x=0$（y轴），故函数为$y=ax^2+c$。由$x=0$时$y=1$，得$c=1$。将$x=-1,y=-2$代入得$-2=a(-1)^2+1$，解得$a=-3$，函数为$y=-3x^2+1$。检验$x=2$时，$y=-3×2^2+1=-11$，表格中$x=2$时$y=-5$错误。

16. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} - bx + 1 $,当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则实数 $ b $ 的取值范围为.

$b \geqslant 4$

对于二次函数 $y = 2x^{2} - bx + 1$，其对称轴为 $x = \frac{b}{4}$（由二次函数对称轴公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 得出，这里 $a = 2$）。
因为当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，所以对称轴 $x = \frac{b}{4}$ 必须满足 $\frac{b}{4} \geqslant 1$（因为二次函数开口向上，对称轴左侧函数值随$x$增大而减小）。
解这个不等式，得到 $b \geqslant 4$。

17. (6 分)已知点 $ (0,3) $ 在二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象上,且当 $ x = 1 $ 时,函数 $ y $ 有最小值 $ 2 $.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如果两个不同的点 $ C(m,6) $,$ D(n,6) $ 也在这个函数的图象上,求 $ m + n $ 的值.(直接写出结果)

(1)
由题意，当$x = 1$时，$y$有最小值$2$，所以设二次函数的顶点式为$y = a(x - 1)^{2} + 2$。
又因为点$(0,3)$在二次函数图象上，代入得：
$3 = a(0 - 1)^{2} + 2$，
$3 = a + 2$，
解得$a = 1$。
因此，这个二次函数的表达式为$y = (x - 1)^{2} + 2$，或展开为$y = x^{2} - 2x + 3$。
(2)
由题意，点$C(m,6)$和$D(n,6)$在二次函数图象上，代入$y = x^{2} - 2x + 3$得：
$6 = m^{2} - 2m + 3$，
$6 = n^{2} - 2n + 3$，
整理得：
$m^{2} - 2m - 3 = 0$，
$n^{2} - 2n - 3 = 0$，
根据二次方程的性质，$m$和$n$是方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$的两个不相等的实数根。
由根与系数的关系，得$m + n = 2$。