23. (本题 12 分)
问题：如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB= 8$,$AD= 5$,$\angle DAB$,$\angle ABC的平分线AE$,$BF分别与直线CD交于点E$,$F$,求$EF$的长.
探究：(1)把“问题”中的条件“$AB= 8$”去掉,其余条件不变.
① 当点$E与点F$重合时,求$AB$的长；
② 当点$E与点C$重合时,求$EF$的长.
(2)把“问题”中的条件“$AB= 8$,$AD= 5$”去掉,其余条件不变,当点$C$,$D$,$E$,$F$相邻两点间的距离相等时,求$\frac{AD}{AB}$的值.

原题：2；(1)①10；②5；(2)1/2或2或2/3。

23. 问题：
解：
在平行四边形$ABCD$中，$AB // CD$，$AD = BC = 5$，$AB = CD = 8$。
$AE$平分$\angle DAB$，则$\angle DAE = \angle BAE$，又$\angle BAE = \angle DEA$（内错角），故$\triangle ADE$为等腰三角形，$DE = AD = 5$。
$BF$平分$\angle ABC$，则$\angle ABF = \angle CBF$，又$\angle ABF = \angle CFB$（内错角），故$\triangle BCF$为等腰三角形，$CF = BC = 5$。
$CD = 8$，则$EF = DE + CF - CD = 5 + 5 - 8 = 2$。
探究（1）：
① 当点$E$与点$F$重合时：
由问题知$DE = AD = 5$，$CF = BC = 5$，且$E$与$F$重合时$DE + CF = CD$。
又$CD = AB$，故$AB = DE + CF = 5 + 5 = 10$。
② 当点$E$与点$C$重合时：
$E$与$C$重合，则$DE = CD = AB$，又$DE = AD = 5$，故$AB = 5$。
此时$CF = BC = 5$，$CD = AB = 5$，则$EF = CF = 5$（$E$与$C$重合，$F$在$CD$延长线上）。
探究（2）：
设$AD = BC = x$，$AB = CD = y$，则$DE = x$，$CF = x$。
点$C, D, E, F$相邻两点距离相等，分两种情况：
情况1：$D$在$C, E$之间，$E$在$D, F$之间
此时$CD = DE = EF = x$，即$y = x$，则$\frac{AD}{AB} = \frac{x}{y} = 1$。
情况2：$C$在$D, F$之间，$F$在$C, E$之间
此时$CD = CF = FE = y$，即$x = y$，则$\frac{AD}{AB} = \frac{x}{y} = 1$。
综上，$\frac{AD}{AB} = 1$。
答案： 问题：$2$；探究（1）① $10$；② $5$；（2）$1$。