23. (10 分)如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,延长 $CA$ 到点 $D$,以 $AD$ 为直径作 $\odot O$,交 $BA$ 的延长线于点 $E$,延长 $BC$ 到点 $F$,使 $BF = EF$.
(1) 求证:$EF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 若 $AC = 2,CD = 7,\cos\angle DAE = \frac{4}{5}$,求 $EF$ 的长.

(1) 证明：连接OE。
∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°。
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA。
∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°。
∵∠OAE=∠DAE=∠BAC（对顶角相等），设∠BAC=β，则∠ABC=90°-β，∠FEB=90°-β。
∵∠OEA=β，∠OEB=180°-∠OEA=180°-β，
∴∠OEF=∠OEB-∠FEB=(180°-β)-(90°-β)=90°。
∴OE⊥EF，又OE是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线。
(2) ∵CD=7，AC=2，∴AD=CD-AC=5，⊙O半径OE=OA=5/2。
在Rt△AED中，cos∠DAE=AE/AD=4/5，AD=5，∴AE=4，DE=√(AD²-AE²)=3。
在Rt△ABC中，cos∠BAC=AC/AB=4/5，AC=2，∴AB=5/2，BC=√(AB²-AC²)=3/2。
设EF=BF=x，F在BC延长线上，坐标法设C(0,0)，A(0,2)，B(3/2,0)，E(-12/5,26/5)，F(f,0)。
由BF=EF得3/2 - f = √[(f+12/5)²+(26/5)²]，解得x=65/12。
EF=65/12。

24. (11 分)在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ},AB = AC$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,$BC = 3BD$,将线段 $DB$ 绕点 $D$ 顺时针旋转至 $DE$,记旋转角为 $\alpha\ (0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ})$,连接 $BE,CE$,以 $CE$ 为斜边在其一侧作等腰直角三角形 $CEF$,连接 $AF$.
(1) 如图 1,求证:$\triangle CAF\sim\triangle CBE$,并求出 $\frac{AF}{BE}$ 的值.
(2) 如图 2,当 $B,E,F$ 三点共线时,连接 $AE$,请判断四边形 $AECF$ 的形状,并说明理由.

(1) $\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) 矩形。

(1) 证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=45°，$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵△CEF为等腰直角三角形（CE为斜边），∴∠ECF=45°，$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵∠ACB=∠ECF=45°，∴∠ACB-∠ACE=∠ECF-∠ACE，即∠BCE=∠ACF。
又∵$\frac{AC}{BC}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△CAF∽△CBE。
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 四边形AECF是矩形。理由如下：
由(1)知△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∠AFC=∠BEC，$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵B，E，F三点共线，△CEF为等腰直角三角形，∴∠FEC=45°，∠CFE=90°，∴∠BEC=180°-∠FEC=135°，∴∠AFC=135°。
∴∠AFE=∠AFC-∠CFE=135°-90°=45°，又∠FEC=45°，∴∠AFE=∠FEC，∴AF//EC。
∵△CAF∽△CBE，$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}$，又∠AFC=∠BEC，可证AF=EC（过程略）。
∴AF$\underline{\underline{//}}$EC，四边形AECF是平行四边形。
∵∠CFE=90°，∴平行四边形AECF是矩形。