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20. (本题 10 分)
先阅读下列材料,再解答后面的问题.
因式分解:$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解:将“$x+y$”看成整体,令$x+y= A$,则
原式$=A^{2}+2A+1= (A+1)^{2}$.
再将“A”还原,得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你运用“整体思想”解答下列问题.
(1) 因式分解:$1+2(x-y)+(x-y)^{2}$.
(2) 因式分解:$(a+b)(a+b-4)+4$.
(3) 求证:若 n 为正整数,则式子$(n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.
先阅读下列材料,再解答后面的问题.
因式分解:$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解:将“$x+y$”看成整体,令$x+y= A$,则
原式$=A^{2}+2A+1= (A+1)^{2}$.
再将“A”还原,得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你运用“整体思想”解答下列问题.
(1) 因式分解:$1+2(x-y)+(x-y)^{2}$.
(2) 因式分解:$(a+b)(a+b-4)+4$.
(3) 求证:若 n 为正整数,则式子$(n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.
答案
(1) 令$A = x - y$，则原式$=1 + 2A + A^2 = A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$，还原得$(x - y + 1)^2$。
(2) 令$A = a + b$，则原式$=A(A - 4) + 4 = A^2 - 4A + 4 = (A - 2)^2$，还原得$(a + b - 2)^2$。
(3) $\because (n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2$，令$A = n^2 + 3n$，则原式$=A(A + 2) + 1 = A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2$。$\because n$为正整数，$\therefore n^2 + 3n + 1$是整数，故式子的值一定是某一个整数的平方。
(2) 令$A = a + b$，则原式$=A(A - 4) + 4 = A^2 - 4A + 4 = (A - 2)^2$，还原得$(a + b - 2)^2$。
(3) $\because (n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2$，令$A = n^2 + 3n$，则原式$=A(A + 2) + 1 = A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2$。$\because n$为正整数，$\therefore n^2 + 3n + 1$是整数，故式子的值一定是某一个整数的平方。
