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6.如图24.1.2-23，已知$\odot O$的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，$\angle ACD = 22.5^{\circ}$，若$CD = 6cm$，则AB的长为
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$3\sqrt{2}$
$cm$.]
答案
6.$3\sqrt{2}$
解析
解：连接OA。
∵CD是⊙O的直径，CD=6cm，
∴OA=OC=3cm。
∵CD⊥AB，
∴AE=BE，∠AEO=90°。
∵∠ACD=22.5°，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=∠OAC+∠ACD=45°。
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，OA=3cm，
∴AE=OA·sin45°=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cm。
∴AB=2AE=2×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$cm。
故答案为$3\sqrt{2}$。
∵CD是⊙O的直径，CD=6cm，
∴OA=OC=3cm。
∵CD⊥AB，
∴AE=BE，∠AEO=90°。
∵∠ACD=22.5°，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=∠OAC+∠ACD=45°。
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，OA=3cm，
∴AE=OA·sin45°=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cm。
∴AB=2AE=2×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$cm。
故答案为$3\sqrt{2}$。
7.如图24.1.2-24，已知AB是$\odot O$的弦，半径$OA = 20cm$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，求$\triangle AOB$的面积.
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]
答案
7.解:$S_{\triangle AOB}=100\sqrt{3}$cm².
解析
解：过点$O$作$OC \perp AB$于点$C$，则$\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = 60°$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OC = OA \cdot \cos 60° = 20 × \frac{1}{2} = 10\,cm$，$AC = OA \cdot \sin 60° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\,cm$。
$\therefore AB = 2AC = 20\sqrt{3}\,cm$。
$\therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 20\sqrt{3} × 10 = 100\sqrt{3}\,cm^2$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OC = OA \cdot \cos 60° = 20 × \frac{1}{2} = 10\,cm$，$AC = OA \cdot \sin 60° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\,cm$。
$\therefore AB = 2AC = 20\sqrt{3}\,cm$。
$\therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 20\sqrt{3} × 10 = 100\sqrt{3}\,cm^2$。
8.(四川南充中考)由两个长方形组成的工件平面图如图24.1.2-25所示(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是
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50
$mm$.]答案
8.50
解析
设圆心在对称轴$l$上，坐标为$(0, y)$。
上部长方形宽$60mm$，高$50mm$，其右上角坐标为$(30, 50)$；下部长方形宽$80mm$，高$20mm$，其右下角坐标为$(40, -20)$。
圆覆盖图形，需到这两点距离相等且最小：
$\sqrt{(30-0)^2 + (50 - y)^2} = \sqrt{(40-0)^2 + (-20 - y)^2}$
平方后化简：
$30^2 + (50 - y)^2 = 40^2 + (-20 - y)^2$
$900 + 2500 - 100y + y^2 = 1600 + 400 + 40y + y^2$
$3400 - 100y = 2000 + 40y$
$140y = 1400 \implies y = 10$
半径$r = \sqrt{30^2 + (50 - 10)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$
50
上部长方形宽$60mm$，高$50mm$，其右上角坐标为$(30, 50)$；下部长方形宽$80mm$，高$20mm$，其右下角坐标为$(40, -20)$。
圆覆盖图形，需到这两点距离相等且最小：
$\sqrt{(30-0)^2 + (50 - y)^2} = \sqrt{(40-0)^2 + (-20 - y)^2}$
平方后化简：
$30^2 + (50 - y)^2 = 40^2 + (-20 - y)^2$
$900 + 2500 - 100y + y^2 = 1600 + 400 + 40y + y^2$
$3400 - 100y = 2000 + 40y$
$140y = 1400 \implies y = 10$
半径$r = \sqrt{30^2 + (50 - 10)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$
50
9.如图24.1.2-26所示，有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱桥顶部高出水面2.4m.现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形，且高出水面2m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？
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答案
9.解:货船能顺利通过这座拱桥.
解析
解:设圆弧所在圆的圆心为$O$，半径为$R$，连接$OA$，$OC$。
由题意得$AB = 7.2\ m$，$CD = 2.4\ m$，$EF = 3\ m$，$EH = 2\ m$，$OD \perp AB$，$OD \perp MN$，$OE \perp ME$，$OF \perp NF$。
$AD=\frac{AB}{2}=3.6\ m$，设$OD = x\ m$，则$OA = OC = R = x + 2.4\ m$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA^2=AD^2 + OD^2$，即$(x + 2.4)^2=3.6^2 + x^2$，解得$x = 1.5$，$R = 3.9\ m$。
$OH = OD + DH = 1.5 + 2 = 3.5\ m$，$MF=\frac{MN}{2}=\frac{3}{2}=1.5\ m$。
在$Rt\triangle OMF$中，$MF^2 + OF^2=OM^2$，$1.5^2 + OF^2=3.9^2$，$OF^2=3.9^2 - 1.5^2=(3.9 - 1.5)(3.9 + 1.5)=2.4×5.4=12.96$，$OF = 3.6\ m$。
$HF = OF - OH = 3.6 - 3.5 = 0.1\ m＞0$，故货船能顺利通过这座拱桥。
答:货船能顺利通过这座拱桥。
由题意得$AB = 7.2\ m$，$CD = 2.4\ m$，$EF = 3\ m$，$EH = 2\ m$，$OD \perp AB$，$OD \perp MN$，$OE \perp ME$，$OF \perp NF$。
$AD=\frac{AB}{2}=3.6\ m$，设$OD = x\ m$，则$OA = OC = R = x + 2.4\ m$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA^2=AD^2 + OD^2$，即$(x + 2.4)^2=3.6^2 + x^2$，解得$x = 1.5$，$R = 3.9\ m$。
$OH = OD + DH = 1.5 + 2 = 3.5\ m$，$MF=\frac{MN}{2}=\frac{3}{2}=1.5\ m$。
在$Rt\triangle OMF$中，$MF^2 + OF^2=OM^2$，$1.5^2 + OF^2=3.9^2$，$OF^2=3.9^2 - 1.5^2=(3.9 - 1.5)(3.9 + 1.5)=2.4×5.4=12.96$，$OF = 3.6\ m$。
$HF = OF - OH = 3.6 - 3.5 = 0.1\ m＞0$，故货船能顺利通过这座拱桥。
答:货船能顺利通过这座拱桥。
10.已知AB，CD是$\odot O$的两条弦，$\odot O$的半径为10cm，且$AB// CD$，$AB = 16cm$，$CD = 12cm$，试求出两弦AB，CD的距离.
答案
10.解:分两种情况讨论，两弦AB，CD的距离为2cm或14cm
解析
解:过点$O$作$OE \perp AB$于点$E$，延长$EO$交$CD$于点$F$，连接$OA$，$OC$。
因为$AB // CD$，$OE \perp AB$，所以$OF \perp CD$。
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16 = 8\space cm$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12 = 6\space cm$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6\space cm$。
在$Rt\triangle COF$中，$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8\space cm$。
情况一：当$AB$，$CD$在圆心$O$的同侧时，两弦距离为$OF - OE=8 - 6=2\space cm$。
情况二：当$AB$，$CD$在圆心$O$的两侧时，两弦距离为$OF + OE=8 + 6=14\space cm$。
综上，两弦$AB$，$CD$的距离为$2\space cm$或$14\space cm$。
因为$AB // CD$，$OE \perp AB$，所以$OF \perp CD$。
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16 = 8\space cm$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12 = 6\space cm$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6\space cm$。
在$Rt\triangle COF$中，$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8\space cm$。
情况一：当$AB$，$CD$在圆心$O$的同侧时，两弦距离为$OF - OE=8 - 6=2\space cm$。
情况二：当$AB$，$CD$在圆心$O$的两侧时，两弦距离为$OF + OE=8 + 6=14\space cm$。
综上，两弦$AB$，$CD$的距离为$2\space cm$或$14\space cm$。
11.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图24.1.2-27所示).
(1)求证：$AC = BD$；
(2)若大圆的半径$R = 10$，小圆的半径$r = 8$，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
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(1)求证：$AC = BD$；
(2)若大圆的半径$R = 10$，小圆的半径$r = 8$，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
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答案
11.
(1)证明:如答图24.1.2−3,过点O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE.所以AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
(2)解:由
(1),知OE⊥AB,所以OE=6.如答图24.1.2−3,连接OA,OC,则OC=r=8,OA=R=10,所以在Rt△OCE中,$CE=\sqrt{OC^{2}-OE^{2}}=\sqrt{8^{2}-6^{2}}=2\sqrt{7}$,在Rt△OAE中,$AE=\sqrt{OA^{2}-OE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.所以$AC=AE - CE=8 - 2\sqrt{7}$
12.如图24.1.2-28，在截面为半圆形的水槽内装有一些水，水面宽AB为6dm，如果再注入一些水后，水面上升1dm，水面宽变为8dm，求该水槽截面直径.
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答案
12.解:直径MN=10dm.
解析
解:设水槽截面半圆的半径为$r$dm，圆心为$O$，过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，交$AB$下方半圆于点$D$，则$OC$垂直平分$AB$，$AC = \frac{1}{2}AB = 3$dm。
设初始水面到圆心的距离为$x$dm，若水面在圆心下方，则$OC = x$dm，由勾股定理得$r^2 = x^2 + 3^2$。
水面上升1dm后，水面宽为8dm，此时水面到圆心的距离为$(x - 1)$dm（若仍在圆心下方），新水面一半为$4$dm，同理可得$r^2=(x - 1)^2 + 4^2$。
联立方程：$\begin{cases}r^2 = x^2 + 9\\r^2=(x - 1)^2 + 16\end{cases}$，解得$x = 4$，$r = 5$。
故直径$MN = 2r = 10$dm。
答：该水槽截面直径为$10$dm。
设初始水面到圆心的距离为$x$dm，若水面在圆心下方，则$OC = x$dm，由勾股定理得$r^2 = x^2 + 3^2$。
水面上升1dm后，水面宽为8dm，此时水面到圆心的距离为$(x - 1)$dm（若仍在圆心下方），新水面一半为$4$dm，同理可得$r^2=(x - 1)^2 + 4^2$。
联立方程：$\begin{cases}r^2 = x^2 + 9\\r^2=(x - 1)^2 + 16\end{cases}$，解得$x = 4$，$r = 5$。
故直径$MN = 2r = 10$dm。
答：该水槽截面直径为$10$dm。
