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8. 在平面直角坐标系中,点 $ A $ 关于 $ y $ 轴对称的点为点 $ B $,点 $ A $ 关于原点 $ O $ 对称的点为点 $ C $。
(1) 若 $ A $ 点的坐标为 $ (1,2) $,画出 $ \triangle ABC $,设 $ AB $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ D $,则 $ \frac{S_{\triangle ADO}}{S_{\triangle ABC}} = $
(2) 若点 $ A $ 的坐标为 $ (a,b)(ab \neq 0) $,则 $ \triangle ABC $ 的形状为
(1) 若 $ A $ 点的坐标为 $ (1,2) $,画出 $ \triangle ABC $,设 $ AB $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ D $,则 $ \frac{S_{\triangle ADO}}{S_{\triangle ABC}} = $
$\frac{1}{4}$
；(2) 若点 $ A $ 的坐标为 $ (a,b)(ab \neq 0) $,则 $ \triangle ABC $ 的形状为
直角三角形
。答案
(1)画图略，$\frac{1}{4}$
(2)直角三角形
9. 如果将点 $ P $ 绕定点 $ M $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 后与点 $ Q $ 重合,那么称点 $ P $ 与点 $ Q $ 关于点 $ M $ 对称,定点 $ M $ 叫作对称中心,点 $ M $ 是线段 $ PQ $ 的中点。如图23-2-3-6,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABO $ 的顶点 $ A $,$ B $,$ O $ 的坐标分别为 $ (1,0) $,$ (0,1) $,$ (0,0) $。点 $ P_{1} $,$ P_{2} $,$ P_{3} $,…中的相邻两点都关于 $ \triangle ABO $ 的一个顶点对称：点 $ P_{1} $ 与点 $ P_{2} $ 关于点 $ A $ 对称,点 $ P_{2} $ 与点 $ P_{3} $ 关于点 $ B $ 对称,点 $ P_{3} $ 与点 $ P_{4} $ 关于点 $ O $ 对称,点 $ P_{4} $ 与点 $ P_{5} $ 关于点 $ A $ 对称,点 $ P_{5} $ 与点 $ P_{6} $ 关于点 $ B $ 对称,点 $ P_{6} $ 与点 $ P_{7} $ 关于点 $ O $ 对称,……对称中心分别是 $ A $,$ B $,$ O $,$ A $,$ B $,$ O $,…且这些对称中心依次循环。已知点 $ P_{1} $ 的坐标是 $ (1,1) $,试写出点 $ P_{2} $,$ P_{7} $,$ P_{100} $ 的坐标。
答案
解:作P₁关于A点的对称点,即可得到P₂(1,-1),分析题意,知6个点为一个循环,故P₇的坐标与P₁的坐标一样,P₁₀₀的坐标与P₄的坐标一样,所以P₇的坐标等同于P₁的坐标为(1,1),P₁₀₀的坐标等同于P₄的坐标为(1,-3)。
解析
解：因为点$P_1$与点$P_2$关于点$A(1,0)$对称，设$P_2(x,y)$，则$\frac{1+x}{2}=1$，$\frac{1+y}{2}=0$，解得$x=1$，$y=-1$，所以$P_2(1,-1)$。
点$P_2(1,-1)$与点$P_3$关于点$B(0,1)$对称，设$P_3(m,n)$，则$\frac{1+m}{2}=0$，$\frac{-1+n}{2}=1$，解得$m=-1$，$n=3$，所以$P_3(-1,3)$。
点$P_3(-1,3)$与点$P_4$关于点$O(0,0)$对称，设$P_4(a,b)$，则$\frac{-1+a}{2}=0$，$\frac{3+b}{2}=0$，解得$a=1$，$b=-3$，所以$P_4(1,-3)$。
点$P_4(1,-3)$与点$P_5$关于点$A(1,0)$对称，设$P_5(c,d)$，则$\frac{1+c}{2}=1$，$\frac{-3+d}{2}=0$，解得$c=1$，$d=3$，所以$P_5(1,3)$。
点$P_5(1,3)$与点$P_6$关于点$B(0,1)$对称，设$P_6(e,f)$，则$\frac{1+e}{2}=0$，$\frac{3+f}{2}=1$，解得$e=-1$，$f=-1$，所以$P_6(-1,-1)$。
点$P_6(-1,-1)$与点$P_7$关于点$O(0,0)$对称，设$P_7(g,h)$，则$\frac{-1+g}{2}=0$，$\frac{-1+h}{2}=0$，解得$g=1$，$h=1$，所以$P_7(1,1)$。
由上述计算可知，点的坐标以$P_1(1,1)$，$P_2(1,-1)$，$P_3(-1,3)$，$P_4(1,-3)$，$P_5(1,3)$，$P_6(-1,-1)$，$P_7(1,1)$…依次循环，周期为$6$。
因为$100÷6=16\cdots\cdots4$，所以$P_{100}$的坐标与$P_4$的坐标相同，即$P_{100}(1,-3)$。
综上，$P_2(1,-1)$，$P_7(1,1)$，$P_{100}(1,-3)$。
点$P_2(1,-1)$与点$P_3$关于点$B(0,1)$对称，设$P_3(m,n)$，则$\frac{1+m}{2}=0$，$\frac{-1+n}{2}=1$，解得$m=-1$，$n=3$，所以$P_3(-1,3)$。
点$P_3(-1,3)$与点$P_4$关于点$O(0,0)$对称，设$P_4(a,b)$，则$\frac{-1+a}{2}=0$，$\frac{3+b}{2}=0$，解得$a=1$，$b=-3$，所以$P_4(1,-3)$。
点$P_4(1,-3)$与点$P_5$关于点$A(1,0)$对称，设$P_5(c,d)$，则$\frac{1+c}{2}=1$，$\frac{-3+d}{2}=0$，解得$c=1$，$d=3$，所以$P_5(1,3)$。
点$P_5(1,3)$与点$P_6$关于点$B(0,1)$对称，设$P_6(e,f)$，则$\frac{1+e}{2}=0$，$\frac{3+f}{2}=1$，解得$e=-1$，$f=-1$，所以$P_6(-1,-1)$。
点$P_6(-1,-1)$与点$P_7$关于点$O(0,0)$对称，设$P_7(g,h)$，则$\frac{-1+g}{2}=0$，$\frac{-1+h}{2}=0$，解得$g=1$，$h=1$，所以$P_7(1,1)$。
由上述计算可知，点的坐标以$P_1(1,1)$，$P_2(1,-1)$，$P_3(-1,3)$，$P_4(1,-3)$，$P_5(1,3)$，$P_6(-1,-1)$，$P_7(1,1)$…依次循环，周期为$6$。
因为$100÷6=16\cdots\cdots4$，所以$P_{100}$的坐标与$P_4$的坐标相同，即$P_{100}(1,-3)$。
综上，$P_2(1,-1)$，$P_7(1,1)$，$P_{100}(1,-3)$。
10. 如图23-2-3-7,在平面直角坐标系中,已知点 $ P(-2,-1) $,点 $ T(t,0) $ 是 $ x $ 轴上的一个动点。
(1) 求点 $ P $ 关于原点的对称点 $ P' $ 的坐标；
(2) 当 $ t $ 取何值时,$ \triangle P'TO $ 是等腰三角形？
(1) 求点 $ P $ 关于原点的对称点 $ P' $ 的坐标；
(2) 当 $ t $ 取何值时,$ \triangle P'TO $ 是等腰三角形？
答案
(1)点P'的坐标为(2,1)。
(2)①动点T在原点左侧,当T₁O=P'O=$\sqrt{5}$时,△P'T₁O是等腰三角形,
∴点T₁(-$\sqrt{5}$,0)。②动点T在原点右侧,当T₂O=T₂P'时,△P'T₂O是等腰三角形,
∴点T₂($\frac{5}{4}$,0);当T₃O=P'O时,△P'T₃O是等腰三角形,
∴点T₃($\sqrt{5}$,0);当T₄P'=P'O时,△P'T₄O是等腰三角形,
∴点T₄(4,0)。综上所述,符合条件的t的值为-$\sqrt{5}$,$\frac{5}{4}$,$\sqrt{5}$,4。
