4. 如图7,长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于点E,AD = 8,AB = 4,则△BED的面积为.

10

∵长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，
∴∠CBD=∠C'BD，BC'=BC=AD=8，C'D=CD=AB=4。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠C'BD，
∴BE=DE。
设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，BE=8-x。
在Rt△ABE中，AB=4，AE=x，BE=8-x，
由勾股定理得：$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$，
即$4^{2}+x^{2}=(8-x)^{2}$，
$16+x^{2}=64-16x+x^{2}$，
$16x=48$，
解得x=3。
∴DE=8-x=5。
△BED的面积为$\frac{1}{2}×DE×AB=\frac{1}{2}×5×4=10$。
10

1. 如图8,∠B = ∠FAC = 90°,BC = 3 cm,AB = 4 cm,AF = 12 cm. 求正方形CDEF的面积.

$169\ cm^2$

2. 有一块土地的形状如图9,∠B = ∠D = 90°,AB = 20米,BC = 15米,CD = 7米,计算这块土地的面积.

234平方米

连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20米，BC=15米，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=20²+15²=400+225=625，所以AC=25米。
在Rt△ADC中，∠D=90°，CD=7米，AC=25米，由勾股定理得：AD²=AC²-CD²=25²-7²=625-49=576，所以AD=24米。
这块土地的面积为Rt△ABC的面积与Rt△ADC的面积之和，即S=S△ABC+S△ADC=1/2×AB×BC+1/2×AD×CD=1/2×20×15+1/2×24×7=150+84=234平方米。
234平方米

3. 如图10 - 1所示,一个梯子AB长5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C的距离为3米,梯子滑动后停在DE的位置上,如图10 - 2,测得DB的长为1米,求梯子顶端A下落了多少米.

1米

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5米，BC=3米，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$米。
DB=1米，BC=3米，
则CD=BC+DB=3+1=4米。
在Rt△CDE中，∠C=90°，DE=AB=5米，CD=4米，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$米。
AE=AC-CE=4-3=1米。
答：梯子顶端A下落了1米。