1. 一项工程,甲单独完成比乙单独完成多用6天,若甲、乙合作3天后,乙需再用7天才能全部完成,若设甲单独完成此项工程需$x$天,则下列方程正确的是()
A.$\frac{3}{x}+\frac{7}{x + 6}= 1$
B.$\frac{3}{x}+\frac{10}{x + 6}= 1$
C.$\frac{3}{x}+\frac{7}{x - 6}= 1$
D.$\frac{3}{x}+\frac{10}{x - 6}= 1$

D

设甲单独完成此项工程需$x$天，则乙单独完成此项工程需$(x - 6)$天。
甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x - 6}$。
甲、乙合作3天，甲完成的工作量为$\frac{3}{x}$，乙完成的工作量为$\frac{3}{x - 6}$。
乙再用7天完成的工作量为$\frac{7}{x - 6}$。
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{3}{x} + \frac{3}{x - 6} + \frac{7}{x - 6} = 1$，即$\frac{3}{x} + \frac{10}{x - 6} = 1$。
D

2. 为改善生态环境,防止水土流失,某乡镇计划在坡地上种植960棵树,由于青年团员的支援,每日比原计划多种20棵树,结果提前4天完成任务,问原计划每天种植多少棵树？若设原计划每天种植$x$棵树,则可列方程：.

$\frac{960}{x}-\frac{960}{x+20}=4$

题型1 某地要开一条水渠,需要在规定的时间内完成,若由A队单独去做,恰好如期完成；若由B队去做,则需超过规定日期3天.现在A,B两队合作2天后,余下的工程由B队独做,恰好在规定日期内完成,设规定的日期为$x$天,下列方程错误的是()
A.$\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}= 1$
B.$\frac{2}{x}= \frac{3}{x + 3}$
C.$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})×2+\frac{1}{x + 3}(x - 2)= 1$
D.$\frac{1}{x}+\frac{x}{x + 3}= 1$

题型1
本题可根据工作总量$=$工作时间$×$工作效率，分别分析各选项方程的合理性。
选项A：
已知规定日期为$x$天，$A$队单独做恰好如期完成，则$A$队的工作效率是$\frac{1}{x}$；$B$队单独做需超过规定日期$3$天，则$B$队的工作效率是$\frac{1}{x + 3}$。
$A$、$B$两队合作$2$天的工作量为$2×(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})$，余下工程由$B$队独做$(x - 2)$天，$B$队总的工作量为$\frac{x}{x + 3}$，总的工作量为$1$，所以$\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}= 1$，该方程**正确**。
选项B：
$A$队做$2$天的工作量$\frac{2}{x}$，相当于$B$队做$3$天的工作量$\frac{3}{x + 3}$（因为$B$队单独做比规定日期多$3$天，而现在刚好在规定日期完成，说明$A$队做$2$天的工作量等于$B$队多做$3$天的工作量），即$\frac{2}{x}= \frac{3}{x + 3}$，该方程**正确**。

选项C：
$A$队工作效率$\frac{1}{x}$，$B$队工作效率$\frac{1}{x + 3}$，$A$、$B$两队合作$2$天工作量为$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})×2$，$B$队单独做$(x - 2)$天工作量为$\frac{1}{x + 3}(x - 2)$，总的工作量为$1$，所以$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})×2+\frac{1}{x + 3}(x - 2)= 1$，该方程**正确**。
选项D：
$\frac{1}{x}+\frac{x}{x + 3}$表示的意义不明确，不符合工作总量$ = 1$的等量关系，该方程**错误**。
综上，答案是$\boldsymbol{D}$。
题型2
本题可根据时间$=$路程$÷$速度，结合两种速度下与规定时间的关系列方程。
已知路程是$x$千米，根据公式$t=\frac{s}{v}$（$t$为时间，$s$为路程，$v$为速度）。
每小时骑$15km$，所用时间为$\frac{x}{15}$小时，因为可早到$10$分钟（$10$分钟$=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$小时），所以规定时间是$\frac{x}{15}+\frac{1}{6}$小时；
每小时骑$12km$，所用时间为$\frac{x}{12}$小时，因为会迟到$5$分钟（$5$分钟$=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$小时），所以规定时间是$\frac{x}{12}-\frac{1}{12}$小时。
由于规定时间是固定的，则可列方程：$\boldsymbol{\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}}$。
题型3
解：设甲的速度是$3x km/h$，因为甲、乙的速度比是$3:4$，则乙的速度是$4x km/h$。
根据时间$=$路程$÷$速度，甲到达目的地的时间为$\frac{3}{3x}$小时，乙到达目的地的时间为$\frac{5}{4x}$小时。
已知甲比乙提前$10$分钟（$10$分钟$=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$小时）到达目的地，可列方程：
$\frac{5}{4x}-\frac{3}{3x}=\frac{1}{6}$
$\frac{5}{4x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{6}$
通分得到：$\frac{5 - 4}{4x}=\frac{1}{6}$
即$\frac{1}{4x}=\frac{1}{6}$
解得$x = \frac{3}{2}$。
则甲的速度是$3x = 3×\frac{3}{2}=\boldsymbol{\frac{9}{2}km/h}$，乙的速度是$4x = 4×\frac{3}{2}=\boldsymbol{6km/h}$。
综上，甲的速度是$\boldsymbol{\frac{9}{2}km/h}$，乙的速度是$\boldsymbol{6km/h}$。

题型2 小明从家里骑自行车到学校,若每小时骑15km,可早到10分钟；若每小时骑12km就会迟到5分钟,问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是$x$km,则据题意列出的方程是______.

1. 首先，将时间单位统一：
因为$1$小时$ = 60$分钟，所以$10$分钟$=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$小时，$5$分钟$=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$小时。
2. 然后，根据时间公式$t = \frac{s}{v}$（$t$表示时间，$s$表示路程，$v$表示速度）：
当速度$v = 15km/h$时，所用时间$t_1=\frac{x}{15}$小时，此时可早到$10$分钟，那么按规定时间需要$t_1+\frac{1}{6}$小时；
当速度$v = 12km/h$时，所用时间$t_2=\frac{x}{12}$小时，此时会迟到$5$分钟，那么按规定时间需要$t_2-\frac{1}{12}$小时。
3. 最后，因为规定时间是固定的：
所以可列方程$\frac{x}{15}+\frac{1}{6}=\frac{x}{12}-\frac{1}{12}$。
故答案为：$\frac{x}{15}+\frac{1}{6}=\frac{x}{12}-\frac{1}{12}$。

题型3 甲、乙两人分别从距目的地3km和5km的两地同时出发,甲、乙的速度比是3:4,结果甲比乙提前10min到达目的地,求甲、乙两人的速度.

1. 设甲的速度是$3xkm/h$，因为甲、乙的速度比是$3:4$，则乙的速度是$4xkm/h$。
2. 根据时间公式$t = \frac{s}{v}$（$t$表示时间，$s$表示路程，$v$表示速度）：
甲到达目的地的时间$t_{甲}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}h$；
乙到达目的地的时间$t_{乙}=\frac{5}{4x}h$。
3. 已知甲比乙提前$10min=\frac{10}{60}h=\frac{1}{6}h$到达目的地，可列方程：
$t_{乙}-t_{甲}=\frac{1}{6}$，即$\frac{5}{4x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{6}$。
4. 解方程：
先对$\frac{5}{4x}-\frac{1}{x}$进行通分，$\frac{5}{4x}-\frac{1×4}{x×4}=\frac{5 - 4}{4x}$，则方程变为$\frac{5 - 4}{4x}=\frac{1}{6}$。
即$\frac{1}{4x}=\frac{1}{6}$。
根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，可得$4x×1 = 6×1$。
解得$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
5. 求甲、乙的速度：
甲的速度$v_{甲}=3x$，把$x = \frac{3}{2}$代入，$v_{甲}=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4.5km/h$。
乙的速度$v_{乙}=4x$，把$x=\frac{3}{2}$代入，$v_{乙}=4×\frac{3}{2}=6km/h$。
答：甲的速度是$4.5km/h$，乙的速度是$6km/h$。