4. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 70^{\circ}-\angle B$,则 $\angle C$ 的度数为()
A.$35^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$140^{\circ}$

C

在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$。
因为$\angle A = 70° - \angle B$，所以$\angle A + \angle B = 70°$。
则$\angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - 70° = 110°$。
C

5. 如图,$F$ 是 $AB$ 上一点,$E$ 是 $AC$ 上一点,$BE$,$CF$ 相交于点 $D$,$\angle A = 70^{\circ}$,$\angle ACF = 30^{\circ}$,$\angle ABE = 20^{\circ}$,则 $\angle BDC$ 的度数为()

A.$172^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

C

6. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 4\angle C$,则 $\angle C$ 的度数为 。

32°

在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$。
已知$\angle A = 20°$，$\angle B = 4\angle C$，则：
$20° + 4\angle C + \angle C = 180°$
$5\angle C = 160°$
$\angle C = 32°$
$32°$

7. 如图,直线 $l$,$m$ 分别与 $\triangle ABC$ 的边 $BC$,$AB$ 平行,$\angle 1 = 120^{\circ}$,$\angle 2 = 100^{\circ}$,则 $\angle B$ 的度数是()

A.$70^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

D

设直线$l$与$AC$交于点$D$，直线$m$与$AC$交于点$D$。
因为直线$l// BC$，所以$\angle 1+\angle C=180^{\circ}$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle 1=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
因为直线$m// AB$，所以$\angle 2+\angle A=180^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\angle 2=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-80^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$。
D

8. 如图,把三角形铁皮 $ABC$ 加工成四边形 $ABCD$ 形状的零件,$\angle A = 40^{\circ}$,且 $D$ 恰好是 $\triangle ABC$ 两条角平分线的交点,工人师傅量得 $\angle BDC = 110^{\circ}$,则这个四边形零件加工 。(填“合格”或“不合格”)

合格

在△ABC中，∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°。
∵D是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，
∴∠DBC=∠ABC/2，∠DCB=∠ACB/2。
∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)/2=140°/2=70°。
在△BDC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-70°=110°。
∵量得∠BDC=110°，与计算结果一致，
合格

9. 如图,$CD\perp AB$ 于点 $D$,且 $CD$ 平分 $\angle ACB$,$F$ 是 $BC$ 上任意一点,$FE\perp AB$ 于点 $E$,且 $\angle 1= \angle 2$。
(1)求证：$\angle 3= \angle ACB$。
(2)若 $\angle 3 = 86^{\circ}$,求 $\angle B$ 的度数。

解:
(1)证明:
∵CD⊥AB,FE⊥AB,
∴CD//FE,
∴∠2=∠BCD.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BCD,
∴BC//DG,
∴∠3=∠ACB.
(2)
∵∠ACB=∠3=86°,CD平分∠ACB,
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=43°.又
∵∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=47°.

10. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图1,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C＞\angle B$,$AE$ 平分 $\angle BAC$,$AD\perp BC$ 于点 $D$。
猜想 $\angle B$,$\angle C$,$\angle EAD$ 的数量关系,并说明理由。

(1)小亮阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入 $\angle B$,$\angle C$ 的值求 $\angle EAD$,得到下面几组对应值：
| $\angle B/$度 | $10$ | $30$ | $30$ | $20$ | $20$ |
| $\angle C/$度 | $70$ | $70$ | $60$ | $60$ | $80$ |
| $\angle EAD/$度 | $30$ | $20$ | $15$ | $a$ | $30$ |

上表中 $a = $ 。
(3)小亮突发奇想,交换 $B$,$C$ 两个字母位置,如图2,过 $EA$ 的延长线作 $FD\perp BC$ 交 $CB$ 的延长线于点 $D$,当 $\angle B = 80^{\circ}$,$\angle C = 20^{\circ}$ 时,求 $\angle F$ 的度数。

解:
(1)20.
(2)猜想:∠EAD=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B).理由:
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=90°−∠C.
∵AE平分∠BAC,∠BAC=180°−∠B−∠C,
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−$\frac{1}{2}$∠B−$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=90°−$\frac{1}{2}$∠B −$\frac{1}{2}$∠C−(90°−∠C)=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B).
(3)如图，过点A作AH⊥CD于点H.
∵AH⊥CD,FD⊥CD,
∴AH//DF,
∴∠F=∠EAH=$\frac{1}{2}$(∠B−∠C)=$\frac{1}{2}$(80°−20°)=30°.