1. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上.如果添加下列条件后,不一定能使△ADE 与△ABC 相似,那么这个条件是()

A.∠AED= ∠B
B.∠ADE= ∠C
C.$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}$
D.$\frac{AD}{AB}= \frac{DE}{BC}$

D

选项A，∠AED=∠B，且∠A=∠A，由两角对应相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ACB，能相似；选项B，∠ADE=∠C，且∠A=∠A，同理可得△ADE∽△ACB，能相似；选项C，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，且∠A=∠A，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ACB，能相似；选项D，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，但DE与BC不是对应边的夹角，不符合相似三角形判定定理，不一定能使△ADE与△ABC相似。

2. 如图,在△ABC 中,D 为 BC 上一点,$BC= \sqrt{3}AB= 3BD$,则AD:AC 的值为.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$（或$\frac{\sqrt{3}}{3}$对应的填空形式，若为选择题按实际选项填字母）若本题是填空题则答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

设$BD=x$，因为$BC = \sqrt{3}AB = 3BD$，所以$BC = 3x$，$AB=\sqrt{3}x$。
则$DC=BC - BD=3x - x = 2x$。
由于$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$\angle B$是公共角，所以$\triangle ABD\sim\triangle CBA$。
根据相似三角形性质可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

3. 如图,△ABC 的高 AD,BE 交于点 F.写出图中所有与△AFE 相似的三角形,并选择其中一个进行证明.

与△AFE相似的三角形为△BFD、△ACD、△BCE；证明见上。

与△AFE相似的三角形：△BFD、△ACD、△BCE。
选择△BFD证明：
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠AEF=∠BDF=90°（垂直定义）。
∵∠AFE与∠BFD是对顶角，
∴∠AFE=∠BFD（对顶角相等）。
在△AFE和△BFD中，
∠AEF=∠BDF=90°，∠AFE=∠BFD，
∴△AFE∽△BFD（两角对应相等的两个三角形相似）。