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7. 小明准备用无人机测量自己居住的楼房 AB 的高度,当无人机飞行到点 C 正上方的点 D 时,测得飞行高度为50 m,楼顶点 A 的俯角为45°,楼底点 B 的俯角为58°,已知 A,B,C,D 均在一个平面内,请帮小明求出楼房 AB 的高度.(结果精确到1 m.参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)
答案
解：设BC=x米，AB=h米。
在Rt△DBC中，∠DBC=58°，DC=50米，
tan58°=DC/BC，即1.60=50/x，解得x=50/1.60=31.25。
过A作AF⊥DC于F，则AF=BC=x=31.25米，DF=DC-FC=50-h。
在Rt△ADF中，∠DAF=45°，
tan45°=DF/AF，即1=(50-h)/31.25，解得h=50-31.25=18.75≈19。
答：楼房AB的高度约为19米。
在Rt△DBC中，∠DBC=58°，DC=50米，
tan58°=DC/BC，即1.60=50/x，解得x=50/1.60=31.25。
过A作AF⊥DC于F，则AF=BC=x=31.25米，DF=DC-FC=50-h。
在Rt△ADF中，∠DAF=45°，
tan45°=DF/AF，即1=(50-h)/31.25，解得h=50-31.25=18.75≈19。
答：楼房AB的高度约为19米。
8. 广德寺多宝塔位于湖北襄阳襄城区是全国重点文物保护单位.如图,小明的身高 CD 为1.7 m,他站在 D 处测得塔顶的仰角∠ACG 为45°,小娟的身高 EF 为1.5 m,她站在距离塔底中心点 B a m 远的 F 处,测得塔顶的仰角∠AEH 为62.3°.若小明与小娟相距23 m.求广德寺多宝塔的高度 AB.(点 D,B,F 在同一条直线上.参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)
答案
设广德寺多宝塔的高度$ AB $为$ h $米，塔底中心点$ B $到点$ F $的距离$ a $为$ x $米。
在直角三角形$ \triangle ACG $中，由于$ \angle ACG = 45^\circ $，且$ CD = 1.7 $米，$ GB = CD = 1.7 $米，
所以$ AG = CG × \tan(45^\circ) = CG × 1 = CG $。
由于$ AG = AB - GB = h - 1.7 $，且$ CG = DB $（因为$ D, B, F $在同一直线上），
所以$ h - 1.7 = DB $ ①。
在直角三角形$ \triangle AEH $中，由于$ \angle AEH = 62.3^\circ $，且$ EF = 1.5 $米，$ HB = EF = 1.5 $米，
所以$ AH = EH × \tan(62.3^\circ) \approx EH × 1.9 $。
由于$ AH = AB - HB = h - 1.5 $，且$ EH = BF = x $，
所以$ h - 1.5 = 1.9x $ ②。
由于小明与小娟相距23米，即$ DF = 23 $米，
所以$ DB + BF = 23 $，
即$ (h - 1.7) + x = 23 $ ③。
将①②代入③中，得：
$ (h - 1.7) + \frac{h - 1.5}{1.9} = 23 $，
$ 1.9h - 3.23 + h - 1.5 = 43.7 $，
$ 2.9h = 48.43 $，
$ h \approx 16.7 $。
综上，广德寺多宝塔的高度$ AB $约为16.7米。
在直角三角形$ \triangle ACG $中，由于$ \angle ACG = 45^\circ $，且$ CD = 1.7 $米，$ GB = CD = 1.7 $米，
所以$ AG = CG × \tan(45^\circ) = CG × 1 = CG $。
由于$ AG = AB - GB = h - 1.7 $，且$ CG = DB $（因为$ D, B, F $在同一直线上），
所以$ h - 1.7 = DB $ ①。
在直角三角形$ \triangle AEH $中，由于$ \angle AEH = 62.3^\circ $，且$ EF = 1.5 $米，$ HB = EF = 1.5 $米，
所以$ AH = EH × \tan(62.3^\circ) \approx EH × 1.9 $。
由于$ AH = AB - HB = h - 1.5 $，且$ EH = BF = x $，
所以$ h - 1.5 = 1.9x $ ②。
由于小明与小娟相距23米，即$ DF = 23 $米，
所以$ DB + BF = 23 $，
即$ (h - 1.7) + x = 23 $ ③。
将①②代入③中，得：
$ (h - 1.7) + \frac{h - 1.5}{1.9} = 23 $，
$ 1.9h - 3.23 + h - 1.5 = 43.7 $，
$ 2.9h = 48.43 $，
$ h \approx 16.7 $。
综上，广德寺多宝塔的高度$ AB $约为16.7米。
9. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作,原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁,直至近代,重差测量法仍有借鉴意义.
如图,为测量海岛上一座山峰 AH 的高度,直立两根高2 m 的标杆 BC 和 DE,两杆间距 BD 相距6 m,D,B,H 三点共线.从点 B 处退行到点 F,观察山顶 A,发现 A,C,F 三点共线,且仰角为45°;从点 D 处退行到点 G,观察山顶 A,发现 A,E,G 三点共线,且仰角为30°.(点 F,G 都在直线 HB 上)
(1)求 FG 的长(结果保留根号);
(2)山峰高度 AH 的长(结果精确到0.1 m.参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)
如图,为测量海岛上一座山峰 AH 的高度,直立两根高2 m 的标杆 BC 和 DE,两杆间距 BD 相距6 m,D,B,H 三点共线.从点 B 处退行到点 F,观察山顶 A,发现 A,C,F 三点共线,且仰角为45°;从点 D 处退行到点 G,观察山顶 A,发现 A,E,G 三点共线,且仰角为30°.(点 F,G 都在直线 HB 上)
(1)求 FG 的长(结果保留根号);
(2)山峰高度 AH 的长(结果精确到0.1 m.参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)
答案
(1)设AH=h，HB=x，BF=m，DG=n。
∵A、C、F共线，BC⊥HF，AH⊥HF，∴△FBC∽△FAH，
∴BC/AH=FB/FH，即2/h=m/(x+m)。
在Rt△AFH中，∠AFH=45°，∴HF=AH=h，即x+m=h，代入上式得2/h=m/h，∴m=2。
∵A、E、G共线，DE⊥HG，AH⊥HG，∴△GDE∽△GAH，
∴DE/AH=DG/HG，即2/h=n/HG。
在Rt△AGH中，∠AGH=30°，∴HG=AH/tan30°=h√3，代入上式得2/h=n/(h√3)，∴n=2√3。
∵BD=6，F、B、D、G共线，∴FG=FD+DG=(BD-BF)+DG=(6-2)+2√3=4+2√3。
(2)由HG=HB+BD+DG得h√3=x+6+2√3，
又HF=HB+BF得h=x+2，即x=h-2，代入上式：
h√3=(h-2)+6+2√3，
h√3-h=4+2√3，
h(√3-1)=4+2√3，
h=(4+2√3)/(√3-1)=(4+2√3)(√3+1)/2=(6√3+10)/2=3√3+5≈3×1.73+5≈10.2。
(1)FG=4+2√3；(2)AH≈10.2m。
∵A、C、F共线，BC⊥HF，AH⊥HF，∴△FBC∽△FAH，
∴BC/AH=FB/FH，即2/h=m/(x+m)。
在Rt△AFH中，∠AFH=45°，∴HF=AH=h，即x+m=h，代入上式得2/h=m/h，∴m=2。
∵A、E、G共线，DE⊥HG，AH⊥HG，∴△GDE∽△GAH，
∴DE/AH=DG/HG，即2/h=n/HG。
在Rt△AGH中，∠AGH=30°，∴HG=AH/tan30°=h√3，代入上式得2/h=n/(h√3)，∴n=2√3。
∵BD=6，F、B、D、G共线，∴FG=FD+DG=(BD-BF)+DG=(6-2)+2√3=4+2√3。
(2)由HG=HB+BD+DG得h√3=x+6+2√3，
又HF=HB+BF得h=x+2，即x=h-2，代入上式：
h√3=(h-2)+6+2√3，
h√3-h=4+2√3，
h(√3-1)=4+2√3，
h=(4+2√3)/(√3-1)=(4+2√3)(√3+1)/2=(6√3+10)/2=3√3+5≈3×1.73+5≈10.2。
(1)FG=4+2√3；(2)AH≈10.2m。
