13. 如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需个五边形.

2

正五边形每个内角为$\frac{(5 - 2)×180^\circ}{5} = 108^\circ$。
围成环状时，每个拼接点处多边形内角和为$360^\circ$，则每相邻两个五边形之间的夹角为$360^\circ - 2×108^\circ = 144^\circ$。
圆环一周为$360^\circ$，所需五边形个数为$\frac{360^\circ}{144^\circ} = 5$。
已有3个，还需$5 - 3 = 2$个。
2

14. 蜂巢的构造非常美丽、科学,如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六边形的顶点称为格点,$\triangle ABC$的顶点都在格点上.设定$AB$边如图所示,则$\triangle ABC$是直角三角形的个数为.

6

以AB为边，分三种情况讨论直角三角形：
1. 直角在A点：AC⊥AB，根据正六边形网格性质，符合条件的格点C有1个；
2. 直角在B点：BC⊥AB，同理，符合条件的格点C有1个；
3. 直角在C点：AC²+BC²=AB²，通过方程求解及网格范围限制，符合条件的格点C有4个。
综上，共有1+1+4=6个直角三角形。

15. 如图,图1,图2,图3,…,图$n$分别是$\odot O$的内接正三角形$ABC$,正四边形$ABCD$,正五边形$ABCDE$,…,正$n$边形$ABCD$,…,点$M$,$N$分别从点$B$,$C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动.
(1)图1中$\angle APN$的度数是,图2中$\angle APN$的度数是,图3中$\angle APN$的度数是.
(2)试探索$\angle APN$的度数与正多边形边数$n$的关系:.(直接写出答案)

（1）
图1：
$\because \odot O$是正三角形$ABC$的外接圆，点$M$，$N$分别从点$B$，$C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动，
$\therefore \stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{CN}$，
$\therefore \stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{BN}$，
$\therefore CM=BN$，
又$\because AB=AC$，$\angle BAC=\angle ABN=\angle ACM=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ACM\cong\triangle ABN(SAS)$，
$\therefore \angle CAM=\angle ABN$，
$\therefore \angle APN=\angle ABN+\angle BAP=\angle CAM+\angle BAP=\angle BAC=60^{\circ}$。
图2：
$\because \odot O$是正四边形$ABCD$的外接圆，点$M$，$N$分别从点$B$，$C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动，
$\therefore \stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{CN}$，
$\therefore \stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{BN}$，
$\therefore CM=BN$，
又$\because AB=CD$，$\angle ABC=\angle DCM=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABN\cong\triangle DCM(SAS)$，
$\therefore \angle BAN=\angle CDM$，
$\because \angle CDM+\angle DCM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAN+\angle DCM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APN=\angle BAN+\angle BAM=\angle BAN+\angle DCM=90^{\circ}$。
图3：
$\because \odot O$是正五边形$ABCDE$的外接圆，点$M$，$N$分别从点$B$，$C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动，
$\therefore \stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{CN}$，
$\therefore \stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{BN}$，
$\therefore CM=BN$，
又$\because AB=AE$，$\angle ABC=\angle E=108^{\circ}$，$\angle ACM=\angle ABN$，
$\therefore \triangle ACM\cong\triangle ABN(SAS)$，
$\therefore \angle CAM=\angle ABN$，
$\therefore \angle APN=\angle ABN+\angle BAP=\angle CAM+\angle BAP=\angle BAE=108^{\circ}$。
故答案为$60^{\circ}$；$90^{\circ}$；$108^{\circ}$。
（2）$\angle APN$的度数与正多边形边数$n$的关系是$\angle APN=\frac{(n-2)× 180^{\circ}}{n}$。